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2024年湖南省初中学业水平考试模拟数学试题（三）（原卷版）
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这是一份2024年湖南省初中学业水平考试模拟数学试题（三）（原卷版），共7页。
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
2. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能亳秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“祝”字一面相对面上的字是（ ）
A. 祝B. 试C. 顺D. 利
5. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A. 23°B. 25°C. 27°D. 29°
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 两直线被第三条直线所截，截得内错角相等
C. 三角形的外角大于三角形的内角
D 对顶角相等
7. 如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A 5cmB. 3cmC. 2cmD. 1．5cm
8. 为更好地学习贯彻“第十四届全国人大会议”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“第十四届全国人大会议”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：，，，，，．则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 如图，，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线、上，若，则________．
13. 因式分解：______．
14. 国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为______．
15. 《九章算术》是我国古代重要数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
16. 如图，已知圆心角的度数为，则圆周角的度数是_______．
17. 在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为_________．
18. 图1是某收纳盒实物图，图2是盒子打开时部分侧面示意图，两平行的支撑杆，与收纳盒相连．当支撑杆绕点A或B旋转时，收纳盒沿斜上方平移，且，始终保持与平行．点A位于的中垂线上，其到的距离是到距离的倍，已知，，．转动，当点E在点B的正上方时，E到的距离为，盒子关闭时，支撑杆绕点B旋转，点E恰好与点M重合，则支撑杆的长为______；将盒子完全打开如图3所示，支撑杆经过点N，则与的距离为______．
三、解答题（本大题共8小题，第19—20题每小题6分，第21—22题每小题8分，第23—24题每小题9分，第25—26题每小题10分，共66分）
19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
22. 如图，，，，点D在边上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23. 在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表：
（1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
（2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
24. 2024年1月17日，长征七号运载火箭在文昌航天发射场托举天舟七号货运飞船点火升空，随后将飞船精准送入预定轨道，中国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．运载火箭从发射点处发射，当火箭到达处时、在地面雷达站处测得点的仰角为，在地面雷达站处测得点的仰角为．已知，三点在同一条直线上，求两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）．
25. 如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求证：；
(3)在(2)的条件下，延长，交于点，若，，求的长和的半径．
26. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．原料
甲
乙
蛋白质的含量/（单位/kg）
600
100
原料价格/（元/kg）
8
4
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
2. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能亳秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“祝”字一面相对面上的字是（ ）
A. 祝B. 试C. 顺D. 利
5. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A. 23°B. 25°C. 27°D. 29°
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 两直线被第三条直线所截，截得内错角相等
C. 三角形的外角大于三角形的内角
D 对顶角相等
7. 如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A 5cmB. 3cmC. 2cmD. 1．5cm
8. 为更好地学习贯彻“第十四届全国人大会议”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“第十四届全国人大会议”知识竞赛，某班参赛的6名同学的成绩（单位：分）分别为：，，，，，．则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 如图，，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线、上，若，则________．
13. 因式分解：______．
14. 国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为______．
15. 《九章算术》是我国古代重要数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
16. 如图，已知圆心角的度数为，则圆周角的度数是_______．
17. 在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为_________．
18. 图1是某收纳盒实物图，图2是盒子打开时部分侧面示意图，两平行的支撑杆，与收纳盒相连．当支撑杆绕点A或B旋转时，收纳盒沿斜上方平移，且，始终保持与平行．点A位于的中垂线上，其到的距离是到距离的倍，已知，，．转动，当点E在点B的正上方时，E到的距离为，盒子关闭时，支撑杆绕点B旋转，点E恰好与点M重合，则支撑杆的长为______；将盒子完全打开如图3所示，支撑杆经过点N，则与的距离为______．
三、解答题（本大题共8小题，第19—20题每小题6分，第21—22题每小题8分，第23—24题每小题9分，第25—26题每小题10分，共66分）
19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
22. 如图，，，，点D在边上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23. 在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表：
（1）现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
（2）如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
24. 2024年1月17日，长征七号运载火箭在文昌航天发射场托举天舟七号货运飞船点火升空，随后将飞船精准送入预定轨道，中国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．运载火箭从发射点处发射，当火箭到达处时、在地面雷达站处测得点的仰角为，在地面雷达站处测得点的仰角为．已知，三点在同一条直线上，求两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）．
25. 如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求证：；
(3)在(2)的条件下，延长，交于点，若，，求的长和的半径．
26. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．原料
甲
乙
蛋白质的含量/（单位/kg）
600
100
原料价格/（元/kg）
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