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2025中考数学一轮复习讲义第16讲 二次函数（含解析+答案解析）
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这是一份2025中考数学一轮复习讲义第16讲 二次函数（含解析+答案解析），共29页。学案主要包含了任务二和任务三．，∵抛物线的对称轴为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
A．34B．1C．43D．32
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（−52，−52），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+14（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．−72＜m≤﹣2C．﹣4≤m≤﹣2D．−72≤m＜−94
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（ ）
A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣6
4．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度v0不可能为（提示ℎ=12gt2，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）
A．2.5m/sB．3m/sC．3.5m/sD．5m/s
7．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A．−12B．32C．−12或32D．−32或12
8．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列判断正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m＝2n
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
二．填空题（共5小题）
11．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 m．
12．将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为 ．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
15．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2−6512x−12512表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 m．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
17．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
19．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−112x2+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；当他在点P着陆时，飞行时间为5s．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
2025年中考数学一轮复习之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
A．34B．1C．43D．32
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据开口向上，开口越小a越大，进而建立坐标系，求解析式求得a的值，即可求解．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点A，B，C时，抛物线开口向上，a的值最大，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，﹣3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（1，﹣3）代入得，
﹣3＝﹣2a，
解得：a=32，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（−52，−52），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+14（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．−72＜m≤﹣2C．﹣4≤m≤﹣2D．−72≤m＜−94
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据雅系点的概念令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，方程的根为52a=−52，从而求得a＝﹣1，c=−254，所以函数y＝ax2﹣4x+c+14=−x2﹣4x﹣6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，
由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，
又方程的根为52a=−52，
解得a＝﹣1，c=−254，
故函数y＝ax2﹣4x+c+14=−x2﹣4x﹣6，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与y轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴x＝﹣2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2﹣4x﹣6的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（ ）
A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣6
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，由它们的顶点与原点的连线互相垂直，根据勾股定理得出关于m的方程，解方程即可求得．
【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+m，
∴这条抛物线的顶点为（2，m﹣4），
∴关于y轴对称的抛物线的顶点（﹣2，m﹣4），
∵它们的顶点与原点的连线互相垂直，
∴2×[22+（m﹣4）2]＝42，
整理得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
∴m的值是2或6．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的意义，关于y轴对称的点和抛物线的关系．
4．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y=−13(x−5)2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；
函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确；
开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确；
当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除D；根据抛物线得a＜0，故排除A．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除D；
∵抛物线得a＜0，
∴排除A；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
6．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度v0不可能为（提示ℎ=12gt2，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）
A．2.5m/sB．3m/sC．3.5m/sD．5m/s
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据高度求出运动时间，结合水平移动的范围求出运动的初速度范围，从而确定速度的大小．
【解答】解：∵ℎ=12gt2，
∴t=2ℎg=2×0.4510=0.3（s），
∵L＜x＜L+2R，
根据x＝v0t，
可得最小速度为：Lt=（m/s），
最大速度为：L+2Rt=0.3+2×（m/s），
由此可知，选项A，B，C在此范围内，不符合题意，选项D.5m/s不在此范围内，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
7．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A．−12B．32C．−12或32D．−32或12
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值＝2，解方程求出m的值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，
∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点坐标为（m，2m+1），
∵顶点到x轴的距离为2，
∴|2m+1|＝2，
即2m+1＝2或2m+1＝﹣2，
解得m=12或−32，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标．
8．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，得四边形PMCQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，
∴四边形PMCQ是矩形，
∴MC＝PQ，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
∴MA=MC=12AC=12(AB+BC)=152，BC=CD=12BD=12(CD+BC)=112，
∴MN＝AD﹣AM﹣CD＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣CD=21−112−152=8，
∴PQ＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列判断正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m＝2n
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，即可得到m和n的关系．
【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线x=0+32=32，
∵32−1=12，2−32=12，
∴m＝n．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，弹簧的长度即可解答．
【解答】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，
故选项A不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，
故选项B不符合题意；
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，
此时弹簧的长度为12﹣2＝10（cm），
故选C不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，
此时弹簧的长度为12﹣6＝6（cm），
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题．
二．填空题（共5小题）
11．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 8 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当y＝0时自变量的值即可．
【解答】解：由题意得：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2．
将点（0，1.28）代入y＝a（x﹣3）2+2，
得a=−225，
即抛物线解析式为：y=−225（x﹣3）2+2，
当y＝0时，化简得：
−225（x﹣3）2+2＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去）．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
12．将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为 （2，﹣3） ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象平移的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标即可．
【解答】解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ﹣1或5 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣1或5．
【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝5，求出x的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2，
∴−m2=2，解得m＝﹣4，
∴关于x的方程x2+mx＝5可化为x2﹣4x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣5）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5．
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4.5 ．
【考点】二次函数的最值；矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】4.5．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得出BF＝AE=b−22，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH=12EF•OG得出S△FGH==12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x=b−22，
∴E（b−22，2），
∴AE=b−22，
∴BF＝AE=b−22，
∴EF＝4﹣2×b−22=6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH=12EF•OG=12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5，
∵−12＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了待定系数法求由此函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH得出S△FGH=12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5是解题的关键．
15．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2−6512x−12512表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 52 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】52．
【分析】依据题意，先求出y=−548x2−6512x−12512的顶点坐标，再根据对称性求出另一个顶点坐标，进而可以得解．
【解答】解：由题意，∵y=−548x2−6512x−12512=−548（x+26）2+60，
∴y轴左侧喷泉最高点坐标为（﹣26，60）．
：两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，
∴y轴右侧喷泉最高点坐标为（26，60）．
∴两个喷泉最高点之间的距离是26﹣（﹣26）＝52（m）．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）a＞0或−14＜a＜0或a＜−12．
【分析】（1）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，进而即可得到结论；
（2）分别用作差法和二次函数图象的对称性比较y1、y2大小即可；
（3）分当a＞0时和a＜0时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
∴y1=a(2−m)2+(1−4a)(2−m)+3，y2=a(2+m)2+(1−4a)(2+m)+3，
∴y1−y2=a(2−m)2+(1−4a)(2−m)+3−a(2+m)2−(1−4a)(2+m)−3
＝a（﹣4m）+（1﹣4a）（﹣2m）
＝﹣2m，
∵m＞0，
∴y1﹣y2＜0，即y1＜y2；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线x=−1−4a2a=2−12a，
|2−m−2+12a|=|12a−m|，|2+m−2+12a|=|12a+m|，
当a＞0时，|12a−m|＜|12a+m|，此时，y1＜y2，
当a＜0时，|12a−m|＞|12a+m|，此时，y1＜y2，
综上所述：y1＜y2；
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线x=2−12a＜2，
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
当a＜0且2−12a＜3或2−12a＞4时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴−14＜a＜0或a＜−12．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键．
17．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
【考点】二次函数的最值；函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）44cm；y＝22﹣x；
（2）当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值，用x表示出y的值即可；
（2）利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可．
【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），
∴a＝2（x+y），
∵当x＝12时，y＝10，
∴a＝2（12+10）＝44（cm）．
a＝44cm，a＝2（x+y），
∴y＝22﹣x；
（2）∵由（1）知，
∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），
∴当x=−22−2=11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）．
答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形与x之间的函数关系式是解题的关键．
18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润＝每本利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入，
得：22k+b=3624k+b=32，
解得：k=−2b=80，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；
（2）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，
∴20≤x≤28，
∴当x＝28时，w最大，w最大＝﹣2×（28﹣30）2+200＝192，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
19．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：y=−15x2+2x+15．
任务二：水流不能流到圆柱形水杯内；
任务三：2+35＜OP＜8+35．
【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到−b2a=5，那么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；
任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内；
任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可．
【解答】解：任务一：
∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：x＝5．
∴−b2a=5．
∴b＝﹣10a．
把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得：
15a+b+1＝0，
把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得：
15a﹣10a+1＝0，
解得：a=−15，
∴b＝2，
∴水流抛物线的函数表达式为：y=−15x2+2x+15．
任务二：
圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12，
当x＝12时，y=−15×122+2×12+15＝10.2，
∵11＞10.2，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三：2+35＜OP＜8+35．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出函数图象的对称轴和关键点的坐标是解决本题的关键．
20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−112x2+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；当他在点P着陆时，飞行时间为5s．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y=−112x2+1712x+70；
（2）当n＝13时，MN最大，此时t=136．
【分析】（1）将A（0，70），P（30，37.5）代入解析求解即可；
（2）①设x＝kt+m，将t=0x=0，t=5x=30代入求解即可；
设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，
设M(n，−112n2+1712n+70)，则N(n，−34n+60)，进而求出MN的长度，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）将A（0，70），P（30，37.5）代入，得：
c=70，−112×900+30b+c=37.5
解得：b=1712c=70
∴y与x的函数关系式为y=−112x2+1712x+70．
（2）①设x＝kt+m，
将t=0x=0，t=5x=30代入，
得：m=05k+m=30
解得：k=6m=0，
∴x＝6t．
②设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将（0，60），（30，37.5）代入得：
d=6030k+d=37.5，
解得：d=60k=−34，
∴直线BC的解析式为y=−34x+60，
设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，
设M(n，−112n2+1712n+70)，则N(n，−34n+60)
∴MN=−112n2+136n+10，
∴当n＝13时，MN最大，此时t=136．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最值，一次函数解析式是解答本题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
11．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
x
0
1
2
3
y
1
m
n
1
制作简易水流装置
设计方案
如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围．
x
0
1
2
3
y
1
m
n
1
制作简易水流装置
设计方案
如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围．
一．选择题（共10小题）
1．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
A．34B．1C．43D．32
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（−52，−52），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+14（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．−72＜m≤﹣2C．﹣4≤m≤﹣2D．−72≤m＜−94
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（ ）
A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣6
4．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度v0不可能为（提示ℎ=12gt2，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）
A．2.5m/sB．3m/sC．3.5m/sD．5m/s
7．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A．−12B．32C．−12或32D．−32或12
8．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列判断正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m＝2n
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
二．填空题（共5小题）
11．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 m．
12．将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为 ．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
15．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2−6512x−12512表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 m．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
17．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
19．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−112x2+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；当他在点P着陆时，飞行时间为5s．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
2025年中考数学一轮复习之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
A．34B．1C．43D．32
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据开口向上，开口越小a越大，进而建立坐标系，求解析式求得a的值，即可求解．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点A，B，C时，抛物线开口向上，a的值最大，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，﹣3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（1，﹣3）代入得，
﹣3＝﹣2a，
解得：a=32，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（−52，−52），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+14（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．−72＜m≤﹣2C．﹣4≤m≤﹣2D．−72≤m＜−94
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据雅系点的概念令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，方程的根为52a=−52，从而求得a＝﹣1，c=−254，所以函数y＝ax2﹣4x+c+14=−x2﹣4x﹣6，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，
由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，
又方程的根为52a=−52，
解得a＝﹣1，c=−254，
故函数y＝ax2﹣4x+c+14=−x2﹣4x﹣6，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与y轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴x＝﹣2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2﹣4x﹣6的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
3．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（ ）
A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣6
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，由它们的顶点与原点的连线互相垂直，根据勾股定理得出关于m的方程，解方程即可求得．
【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+m，
∴这条抛物线的顶点为（2，m﹣4），
∴关于y轴对称的抛物线的顶点（﹣2，m﹣4），
∵它们的顶点与原点的连线互相垂直，
∴2×[22+（m﹣4）2]＝42，
整理得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
∴m的值是2或6．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的意义，关于y轴对称的点和抛物线的关系．
4．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝5
B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当x＞5时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y=−13(x−5)2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；
函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确；
开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确；
当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除D；根据抛物线得a＜0，故排除A．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除D；
∵抛物线得a＜0，
∴排除A；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
6．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.45m，与锅的水平距离L＝0.3m，锅的半径R＝0.5m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度v0不可能为（提示ℎ=12gt2，g＝10m/s2，水平移动距离s＝vt）（ ）
A．2.5m/sB．3m/sC．3.5m/sD．5m/s
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据高度求出运动时间，结合水平移动的范围求出运动的初速度范围，从而确定速度的大小．
【解答】解：∵ℎ=12gt2，
∴t=2ℎg=2×0.4510=0.3（s），
∵L＜x＜L+2R，
根据x＝v0t，
可得最小速度为：Lt=（m/s），
最大速度为：L+2Rt=0.3+2×（m/s），
由此可知，选项A，B，C在此范围内，不符合题意，选项D.5m/s不在此范围内，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
7．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A．−12B．32C．−12或32D．−32或12
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值＝2，解方程求出m的值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，
∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点坐标为（m，2m+1），
∵顶点到x轴的距离为2，
∴|2m+1|＝2，
即2m+1＝2或2m+1＝﹣2，
解得m=12或−32，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标．
8．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，得四边形PMCQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，
∴四边形PMCQ是矩形，
∴MC＝PQ，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
∴MA=MC=12AC=12(AB+BC)=152，BC=CD=12BD=12(CD+BC)=112，
∴MN＝AD﹣AM﹣CD＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣CD=21−112−152=8，
∴PQ＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列判断正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m＝2n
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，即可得到m和n的关系．
【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线x=0+32=32，
∵32−1=12，2−32=12，
∴m＝n．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，弹簧的长度即可解答．
【解答】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，
故选项A不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，
故选项B不符合题意；
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，
此时弹簧的长度为12﹣2＝10（cm），
故选C不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，
此时弹簧的长度为12﹣6＝6（cm），
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题．
二．填空题（共5小题）
11．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示（P为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 8 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当y＝0时自变量的值即可．
【解答】解：由题意得：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2．
将点（0，1.28）代入y＝a（x﹣3）2+2，
得a=−225，
即抛物线解析式为：y=−225（x﹣3）2+2，
当y＝0时，化简得：
−225（x﹣3）2+2＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去）．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
12．将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为 （2，﹣3） ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象平移的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标即可．
【解答】解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
13．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 ﹣1或5 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣1或5．
【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝5，求出x的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝2，
∴−m2=2，解得m＝﹣4，
∴关于x的方程x2+mx＝5可化为x2﹣4x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣5）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5．
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4.5 ．
【考点】二次函数的最值；矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】4.5．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得出BF＝AE=b−22，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH=12EF•OG得出S△FGH==12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x=b−22，
∴E（b−22，2），
∴AE=b−22，
∴BF＝AE=b−22，
∴EF＝4﹣2×b−22=6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH=12EF•OG=12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5，
∵−12＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了待定系数法求由此函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH得出S△FGH=12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5是解题的关键．
15．省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2−6512x−12512表示，则两个喷泉最高点之间的距离是 52 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】52．
【分析】依据题意，先求出y=−548x2−6512x−12512的顶点坐标，再根据对称性求出另一个顶点坐标，进而可以得解．
【解答】解：由题意，∵y=−548x2−6512x−12512=−548（x+26）2+60，
∴y轴左侧喷泉最高点坐标为（﹣26，60）．
：两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，
∴y轴右侧喷泉最高点坐标为（26，60）．
∴两个喷泉最高点之间的距离是26﹣（﹣26）＝52（m）．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）a＞0或−14＜a＜0或a＜−12．
【分析】（1）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，进而即可得到结论；
（2）分别用作差法和二次函数图象的对称性比较y1、y2大小即可；
（3）分当a＞0时和a＜0时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
∴y1=a(2−m)2+(1−4a)(2−m)+3，y2=a(2+m)2+(1−4a)(2+m)+3，
∴y1−y2=a(2−m)2+(1−4a)(2−m)+3−a(2+m)2−(1−4a)(2+m)−3
＝a（﹣4m）+（1﹣4a）（﹣2m）
＝﹣2m，
∵m＞0，
∴y1﹣y2＜0，即y1＜y2；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线x=−1−4a2a=2−12a，
|2−m−2+12a|=|12a−m|，|2+m−2+12a|=|12a+m|，
当a＞0时，|12a−m|＜|12a+m|，此时，y1＜y2，
当a＜0时，|12a−m|＞|12a+m|，此时，y1＜y2，
综上所述：y1＜y2；
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线x=2−12a＜2，
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
当a＜0且2−12a＜3或2−12a＞4时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴−14＜a＜0或a＜−12．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键．
17．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
【考点】二次函数的最值；函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）44cm；y＝22﹣x；
（2）当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值，用x表示出y的值即可；
（2）利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可．
【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），
∴a＝2（x+y），
∵当x＝12时，y＝10，
∴a＝2（12+10）＝44（cm）．
a＝44cm，a＝2（x+y），
∴y＝22﹣x；
（2）∵由（1）知，
∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），
∴当x=−22−2=11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）．
答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形与x之间的函数关系式是解题的关键．
18．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据所获得总利润＝每本利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入，
得：22k+b=3624k+b=32，
解得：k=−2b=80，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；
（2）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，
∴20≤x≤28，
∴当x＝28时，w最大，w最大＝﹣2×（28﹣30）2+200＝192，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
19．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：y=−15x2+2x+15．
任务二：水流不能流到圆柱形水杯内；
任务三：2+35＜OP＜8+35．
【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到−b2a=5，那么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；
任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内；
任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可．
【解答】解：任务一：
∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：x＝5．
∴−b2a=5．
∴b＝﹣10a．
把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得：
15a+b+1＝0，
把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得：
15a﹣10a+1＝0，
解得：a=−15，
∴b＝2，
∴水流抛物线的函数表达式为：y=−15x2+2x+15．
任务二：
圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12，
当x＝12时，y=−15×122+2×12+15＝10.2，
∵11＞10.2，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三：2+35＜OP＜8+35．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出函数图象的对称轴和关键点的坐标是解决本题的关键．
20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−112x2+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；当他在点P着陆时，飞行时间为5s．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y=−112x2+1712x+70；
（2）当n＝13时，MN最大，此时t=136．
【分析】（1）将A（0，70），P（30，37.5）代入解析求解即可；
（2）①设x＝kt+m，将t=0x=0，t=5x=30代入求解即可；
设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，
设M(n，−112n2+1712n+70)，则N(n，−34n+60)，进而求出MN的长度，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）将A（0，70），P（30，37.5）代入，得：
c=70，−112×900+30b+c=37.5
解得：b=1712c=70
∴y与x的函数关系式为y=−112x2+1712x+70．
（2）①设x＝kt+m，
将t=0x=0，t=5x=30代入，
得：m=05k+m=30
解得：k=6m=0，
∴x＝6t．
②设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将（0，60），（30，37.5）代入得：
d=6030k+d=37.5，
解得：d=60k=−34，
∴直线BC的解析式为y=−34x+60，
设运动员飞行过程中的某一位置为M，过M作MN⊥x轴交BC于点N，
设M(n，−112n2+1712n+70)，则N(n，−34n+60)
∴MN=−112n2+136n+10，
∴当n＝13时，MN最大，此时t=136．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最值，一次函数解析式是解答本题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
11．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
12．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
x
0
1
2
3
y
1
m
n
1
制作简易水流装置
设计方案
如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围．
x
0
1
2
3
y
1
m
n
1
制作简易水流装置
设计方案
如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围．
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