专题08 平面向量、概率、统计、计数原理-2024年高考数学一模试题分类汇编学案（原卷版+解析版）

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平面向量
1．（2024·辽宁沈阳·统考一模）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】由得，
又为单位向量，
，
，又，
.
故选：B.
2．（2024·重庆·统考一模）已知向量满足，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】由，得，而，
则，所以.
故答案为：
3．（2024·福建厦门·统考一模）已知，为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求即可判断夹角大小.
【详解】由题意，则与的夹角为.
故选：B
4．（2024·云南曲靖·统考一模）若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为 ．
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
5．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）若，则实数（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】B
【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再根据数量积的坐标公式即可得解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
即，解得.
故选：B.
6．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.
【详解】解：因为，，
所以，
则，
得.
故选：D
7．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知向量．若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.
【详解】因为，所以.
又，所以，解得.
故答案为：.
8．（2024·山西晋城·统考一模）已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.
【详解】设，，，因为，均为单位向量，
所以四边形为菱形，且平分，
所以与的夹角为，则与的夹角为．
故答案为：
9．（2024·河北·校联考一模）已知单位向量满足，则 .
【答案】
【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得，再由运算律求即可.
【详解】因为，所以，所以，
则，故.
故答案为：
10．（2024·广东深圳·校考一模）已知向量，且，则m=
A．−8B．−6
C．6D．8
【答案】D
【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
11．（2024·浙江·校联考一模）已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】先计算平面向量的数量积，再利用，列式解得即可.
【详解】由题意，得，
由，得，即，
∴ ，解得.
故选：D
12．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．
【详解】由与垂直，得，则，
所以1，
所以当时，的最小值为
故选：C
概率
13．（2024·广东深圳·校考一模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.
【详解】当时，这6个点数的中位数为3，当时，这6个点数的中位数为4，当时，这6个点数的中位数为4.5，
故由古典概型概率公式可得：.
故选：A.
14．（2024·辽宁沈阳·统考一模）下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.
【详解】由题知解得，A选项正确；
所以，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：ABC.
15．（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.
【详解】由题意得，则，
则，
则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为,
故选：B.
16．（2024·河北·校联考一模）在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.
【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：.
故选：B.
17．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
故选：C.
18．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，，
，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故最大值为．
故答案为：.
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）
A．0.12B．0.20C．0.44D．0.32
【答案】C
【分析】由全概率公式计算即可得.
【详解】由题意，选到非碳酸饮料的概率为.
故选：C.
20．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．已知，若，，则
B．数据，，，，，，，，，的分位数为
C．已知，若，则
D．某校三个年级，高一有人，高二有人.现用分层抽样的方法从全校抽取人，已知从高一抽取了人，则应从高三抽取人.
【答案】BCD
【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.
【详解】对于A，，，，解得：，A错误；
对于B，将数据从小到大排序为，，，，，，，，，，
，分位数为第个数，即，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，D正确.
故选：BCD.
21．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解；
（2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和.
【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
.
所以X的分布列如下：
故.
22．（2024·广东深圳·校考一模）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）利用古典概率公式即求；
（2）由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.
【详解】（1）从这6人中随机选出2人，共有种选法，
其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种．，
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．
（2）由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，
，，
，．
故X的分布列为：
∴．
23．（2024·辽宁沈阳·统考一模）某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为，选择乙公司的频率为：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析
【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；
（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：设事件用户选择甲公司的网约车出行，事件用户对等待时间满意，
事件用户对乘车舒适度满意，事件用户对乘车费用满意.
则，
，
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）解：由题知，，
，
所以，，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
24．（2024·云南曲靖·统考一模）2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率．
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围．
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【分析】（1）先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；
（2）先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.
【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能值为，
，，
的分布列如下，
所以.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，
甲最终获胜的概率为，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，
甲最终获胜的概率为
，
则
，得.
25．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
(1)求第4次闪光为红光的概率；
(2)求第次闪光为红光的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.
（2）由全概率公式得递推式，构造等比数列即可求解.
【详解】（1）由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，
所以.
（2）设事件表示“第n次闪光为红光”，事件表示“第n次闪光为黄光”，事件表示“第n次闪光为蓝光”，且，，则，
由题意知，当时， ，
即，整理得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，即第次闪红光的概率为.
26．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立D．丙与丁不相互独立
【答案】BCD
【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况，
所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况，
所以；；
对于A，，故甲与丙不相互独立，错误；
对于B，，故甲与丁相互独立，正确；
对于C，，故乙与丙不相互独立，正确；
对于D，，故丙与丁不相互独立，正确.
故选：BCD.
27．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则）
【答案】0.1/
【分析】依题意得，则，由，得，即可求解.
【详解】若，则）
因为工业生产中轴承的直径服从，
所以，则，
由，
得，
则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为.
故答案为：##
28．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.
【详解】名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有种分法，4组人有种站法，故所求概率.
故选：D.
29．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.
【详解】设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则；
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则；
若两个题目都没有思路，则；
故.
故选：D.
30．（2024·山西晋城·统考一模）某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果籽数量，得到下列频数分布表：
(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．
(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：
以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为元，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)2.5，1.8
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意计算出对应的果籽数量为2，即得第75百分位数为；
（2）先求得果籽数量为1,2,3,4对应的概率，依题要求至少有1个的果籽数量为1的前提下这2个果实的售价之和，属于条件概率，而至少有1个的果籽数量为1的概率为，则可对的四个可能值40，32，28，26分别利用条件概率公式求得概率，写出分布列即得期望.
【详解】（1）将这200个果实的果籽数量从少到多排列，因为，对应的果籽数量为2，
故这200个果实的果籽数量的第75百分位数为．
这200个果实的果籽数量的平均数为．
（2）依题意可得果籽数量为1，2，3，4对应的概率分别为，，，．
被选的2个成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为．
的可能取值为40，32，28，26，
，，
，，
则的分布列为
．
31．（2024·山西晋城·统考一模）某羽毛球超市销售4种品牌（品牌，，，）的羽毛球，该超市品牌，，，的羽毛球的个数的比例为，品牌，，，的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为 （填入，，，中的1个）．
【答案】D
【分析】先确定不是品牌，再利用全概率公式分别计算不买ACD品牌的概率即可求解.
【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌．
若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．
若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．
若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．
故答案为：D
32．（2024·河北·校联考一模）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)应该投资，理由见解析
【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；
（2）由（1）可得，分析即得解
【详解】（1）由题意，
故
分布列如下：
所以的数学期望，
记，
，
作差可得，，
则；
（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，
试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品
33．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意可知共有个团队，根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出，再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论，结合古典概型即可得解；
（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，从而可得分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意知共有个团队，
一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，
整理得，解得或（舍去），
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，
这3个团队全是跟团游团队的概率为；
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列为
数学期望.
34．（2024·吉林延边·统考一模）“斯诺克（Snker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.
(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；
(2)设比赛的总局数为，写出随机变量的分布列并求其数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）设出事件，利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式进行计算；
（2）求出随机变量的可能取值及相应的概率，从而求出分布列和数学期望.
【详解】（1）记第i局甲赢为事件，乙赢为事件，
则
（2）由题意知的取值为3，4，5.
由题意得，随机变量的分布列如下：
数学期望.
35．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
于是由全概率公式，
得.
（2）由已知得，
，
，
.
（3）由（2）可得，即，
可猜想：,
证明如下：由条件概率及，
得，，
所以.
36．（2024·福建厦门·统考一模）已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．
(1)求三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意，三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出被分至甲队即摸出红球的概率、被分至甲队即摸出红球的概率、被分至甲队即摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一队的概率；
（2）根据题意有可能取值为，分析各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.
【详解】（1）三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，
记事件“被分至甲队”， 事件“被分至甲队”， 事件“被分至甲队”，
当即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；
当被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；
当均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则被分至甲队即摸出红球的概率为；
所以，则，
同理知：新增登山爱好者均被分至乙队的概率也为，
所以三人均被分至同一队的概率为.
（2）由题设，可能取值为，
为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则，
为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，
设新增的第名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则
，，
，，
所以，
为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则，
所以.
统计
37．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇个村的得分如下：，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把个数由小到大重新排序，即可得到中位数为，众数为.
【详解】某乡镇个村的得分：，由小到大排序为：，所以中位数为，众数为.
故选：D.
38．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则这组数据的40%分位数为（ ）
A．90B．91C．90.5D．92
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】由题意，，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即.
故选：C
39．（2024·河北·校联考一模）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，
甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
混合后，新数据的平均数为，
方差为
.
故选：D.
40．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A．中位数不变B．平均数不变
C．方差不变D．第40百分位数不变
【答案】AD
【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解.
【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得原数据的第40百分位数是第4个数24.
将原数据去掉12和45，得，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由，得新数据的第40百分位数是第3个数24，
故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.
故选：AD.
41．（2024·重庆·统考一模）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先，再根据百分位数和众数的计算方法即可.
【详解】由题意得，解得，
因为，，则，
则样本数据的75%分位数位于，则，解得，
因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，
故选：D.
42．（2024·福建厦门·统考一模）已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）
A．甲组数据的第70百分位数为23B．甲、乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为24.5D．甲、乙两组数据的方差相同
【答案】BD
【分析】根据已知平均数的关系求得，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.
【详解】由题设，，所以，
甲组数据中，故第70百分位数为24，A错；
甲乙组数据的极差都为5，B对；
乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错；
由上易知：甲的平均数为，乙的平均数为，
所以甲的方差为，
乙的方差为，
故两组数据的方差相同，D对.
故选：BD
43．（2024·广东深圳·校考一模）某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程必过B．
C．相关系数D．6月份的服装销量一定为272.9万件
【答案】AB
【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由的值分析判断，对于D，将代入回归方程求解.
【详解】对于A，因为，所以线性回归方程必过，所以A正确；
对于B，由线性回归直线必过，所以，解得，所以B正确；
对于C，因为，所以相关系数，所以C错误；
对于D，当时，，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．
故选：AB．
44．（2024·浙江·校联考一模）为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（ ）
A．
B．回归直线必过点
C．加工60个零件的时间大约为
D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
【答案】BC
【分析】求得数据的样本中心点可判断B；结合回归方程可求出可判断A；将代入回归方程求得预测值可判断C；根据恒过，可判断D.
【详解】，，
所以恒过，所以，
解得：，故A错误；B正确；
所以，令，则，
故加工60个零件的时间大约为，故C正确；
因为恒过，
所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D错误.
故选:BC.
45．（2024·云南曲靖·统考一模）已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示：
则当时，预测的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可得出，求出、的值，将、的值代入，求出的值，可得出变量关于的回归方程，然后令，可得出的值.
【详解】令，由可得，如下表所示：
由表格中的数据可得，，
则有，解得，故，
当时，.
故选：C.
46．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
【答案】(1)，7.295（小时）
(2)0.104
【分析】（1）根据频率之和为求得，根据平均数的求法求得平均数.
（2）根据独立重复事件概率计算公式求得所求概率.
【详解】（1），解得，
依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为：
（小时）；
（2）100名学生的睡眠充足的频率为，
以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，
所以至少有两人睡眠时长充足的概率为.
47．（2024·重庆·统考一模）实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
(1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）分析可知，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求
【详解】（1）令
，，
则，
，
所以，
所以
（2）由题意得，
，
，
，
，
分布列为：
数学期望
48．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
【答案】(1)列联表见解析；与性别有关.
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可；
（2）根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
计数原理
49．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）

A．8B．12C．16D．24
【答案】D
【分析】根据分步分类计数原理即可求解.
【详解】中途共三次转向可以分为两类:
第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法，
第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有种方法.
故总的方法有24种，
故选：D.
50．（2024·福建厦门·统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．
【答案】
【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.
【详解】若三人选书没有要求，则有种，
若三人选择的书完全相同，则有种，
所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种.
故答案为：.
51．（2024·重庆·统考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50B．36C．26D．14
【答案】A
【分析】按照和分组讨论安排.
【详解】（1）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种，
故选：A.
52．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种B．72种C．96种D．120种
【答案】A
【分析】根据题意分两种情况讨论：
当是最后一名，可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次；
当不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法计数原理可得.
【详解】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：
①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有种情况，此时有种名次排列情况；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.
故选A．
53．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有 种（用数字作答）.
【答案】105
【分析】分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意可得恰有两名女生人选的选法有种，
恰有3名女生人选的选法有种，
恰有4名女生人选的选法有种，
所以至少有两名女生人选的选法有（种），
故答案为：105
54．（2024·辽宁沈阳·统考一模）的展开式中常数项的二项式系数为 .
【答案】20
【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求得答案.
【详解】此二项式展开式的通项公式为，
，则当时，对应的为常数项，
故常数项的二项式系数为，
故答案为：20.
55．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）在二项式的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【分析】写出二项式展开式的通项，令的幂指数等于0可得答案.
【详解】，
因为的通项公式为，
所以在中，当时，不满足；
在中，当时，，则常数项为.
故答案为：．
56．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）已知多项式，则 .
【答案】74
【分析】利用二项展开式的通项分别求得和的展开式的项，进而求得的值.
【详解】对于，
其二项展开式的通项为，
令，得，
故，
对于，
其二项展开式的通项为，
令，得，故，
所以.
故答案为：74.
57．（2024·山西晋城·统考一模）若的展开式存在常数项，则常数项为（ ）
A．B．35C．D．21
【答案】C
【分析】先确定n值，再利用通项公式求解.
【详解】若的展开式存在常数项，则，且常数项为．
故选：C
58．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．20D．30
【答案】A
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】，
其展开式的通项公式为，
令，则，
而的展开式的通项公式为：
，
令，则的展开式中的系数为:
,
故选：A.
59．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知（为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
【答案】15
【分析】代入，解出，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可.
【详解】令，则，即，
则对，有，
令，即，有，即有，
令，即，有，即有，
故展开式中的系数为15.
故答案为：15.
60．（2024·河北·校联考一模）已知二项展开式，下列说法正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项是
B．的展开式中的各项系数之和为
C．的展开式中的二项式系数最大值是
D．，其中为虚数单位
【答案】BC
【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.
【详解】，
对A：令，即，则，故A错误；
对B：令，即，故各项系数之和为，故B正确；
对C：由，故二项式系数中的最大值为，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
2
3
4
5
X
5
6
7
8
P
2
3
果籽数量
1
2
3
4
水果数
100
50
40
10
果籽数量
1
2
3
4
价格/元
20
12
8
6
40
32
28
26
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
P
3
4
5
P
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（万件）
50
96
142
185
227
1
2
3
4
5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号x
1
2
3
4
5
6
产值y/百万辆
9
18
30
51
59
80
1
2
3
4
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200