湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期(9月)综合自主测试数学试题
展开时量:120分钟 分值:150分
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合,且,则( )
A.6 B.4 C. D.
2.已知,则( )
A. B. C.2 D.1
3.已知的图象与直线在区间上存在两个交点,则当最大时,曲线的对称轴为( )
A. B.
C. D.
4.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.若平面单位向量满足,则( )
A. B. C. D.
6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕,由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来,明清时代进入巅峰,形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏派砖雕被称为“南方之秀”,是南方地区砖雕艺术的典型代表,被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕,其正面是一个扇环,如图(2),砖雕厚度为所对的圆心角为直角,则该梅花砖雕的表面积为( )(单位:)
A. B. C. D.
7.已知过抛物线的焦点的直线与交于两点,线段的中点为,且,若点在抛物线上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足,若数列的前项和为,不等式恒成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知,直线,且,则( )
A. B.
C. D.
10.如图,正方体的棱长为4,点分别在棱上,满足,记平面与平面的交线为,则( )
A.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B.当时,三棱锥体积为
C.当时,三棱锥的外接球表面积为
D.当时,直线与平面所成的角的正弦值为
11.已知函数的定义域均为为的导函数,且,,若为奇函数,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知,且,若的展开式中存在常数项,则展开式中的系数为__________.
13.已知是定义域为的奇函数.若以点为圆心,半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分,则的解析式为__________.
14.如图,对于曲线所在平面内的点,若存在以为顶点的角,使得对于曲线上的任意两个不同的点恒有成立,则称角为曲线的相对于点的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线(其中是自然对数的底数),点为坐标原点,曲线的相对于点的“确界角”为,则__________.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)某校组织了科技展参观活动,学生自愿参观,事后学校进行了一次问卷调查,分别抽取男、女生各40人作为样本.据统计:男生参观科技展的概率为,参观科技展的学生中女生占.
(1)根据已知条件,填写下列列联表,试根据小概率值的独立性检验,分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关.
(2)用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人,再从这12人中随机抽取6人,用随机变量表示女生人数,求的分布列和数学期望.
参考公式和数据:,其中.
16.(15分)在中,角,的对边分别为的面积为S,
(1)求角.
(2)若的面积为为边的中点,求的长.
17.(15分)如图(1),在中,,点为的中点.将沿折起到的位置,使,如图(2).
(1)求证:.
(2)在线段上是否存在点,使得?若存在,求二面角的余弦值;若不存在,说明理由.
18.(17分)费马原理,也称为时间最短原理:光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中,根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言,空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图,其中平凸透镜的平面圆直径为6,且与轴交于点.平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜,所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像.(提示:光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线,试判断属于哪一种圆锥曲线,并求出其相应的解析式.
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,试求出点所有可能的坐标.
19.(17分)已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为,求的值及的单调区间.
(2)若的极大值为,求的取值范围.
(3)当时,求证:.
雅礼中学2025届高三综合自主测试(9月)
数学参考答案
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.D 【解析】,
,故选:D.
2.C 【解析】由,得,则,所以.
故选:C.
3.D 【解析】当时,要使得的图象与直线存在两个交点,则,解得,
又因为,所以,所以,
此时曲线的对称轴为,
解得,
故选:D
4.C 【解析】设,
对任意,
所以,
所以的定义域为,
,
所以函数为奇函数.
令,
可得,即,
所以,可得,
由可得,解得,
所以的定义域为,
又,
所以函数为奇函数,排除BD选项,
当时,是减函数,
则,
所以,排除A选项.
故选:C
5.A 【解析】法一由得,所以,
所以,故选:A.
法二由题意可设,
则,得,
又,则,故,
所以.
故选:A
6.C 【解析】延长与交于点.由,
得.
因为所对的圆心角为直角,所以.
所以该梅花砖雕的侧面积,
扇环的面积为,
则该梅花砖雕的表面积.
故选:C.
7.A 【解析】设,由的中点为,得,
由抛物线的定义可得,
又,所以,故抛物线的方程为.
易知点在直线上,
设与平行且与抛物线相切的直线方程为,
由,可得,
则,得,
则切线与直线之间的距离即的最小值,故的最小值为.
故选:A
8.D 【解析】由,得数列是首项为3,公差为2的等差数列,则,于是,
当为偶数时,,
当为奇数时,,
当为偶数时,;当为奇数时,,因此
,
由不等式恒成立,得,即,解得,所以的取值范围为.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)
9.ABD 【解析】,且,所以,当且仅当时等号成立,故A正确;,当且仅当时等号成立,,故B正确;
,故C错误;
,当且仅当,即时等号成立,故D正确.
故选:ABD.
10.BD 【解析】设正方体的棱长为4,以为原点,以所在的直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.如图所示:
对于A选项,时,在A点,,
由可知,所以截面即为四边形;
由图形知,截面为五边形或六边形.故A错误.
对于B选项,当时,,
所以,所以平面,
又平面,所以,
三棱锥体积为,故B正确.
对于C选项,当时,且平面,
所以根据球的性质容易判断,三棱锥的外接球的球心在过线段的中点,且垂直于平面的直线上,,
所以的中点,可记球心,外接球的半径,解得,
所以三棱锥的外接球表面积为,故C错误.
对于D选项,当时,,所以,设平面的一个法向量为,
则,令,则,所以可取,
由平面知,平面的法向量为,
记平面与平面的交线的一个方向向量为,
则,令,则,所以可取,
又平面的法向量为,则,
设与平面所成的角为,则,故D正确.
故选:BD.
11.ABD 【解析】已知函数的定义域均为,
因为,可得,
又因为为奇函数,则,可得,即为偶函数,
则,即,可得,
所以,可知的周期为8.
对于选项A:因为
令,则,可得,故A正确;
对于选项B:因为,令,可得,故B正确;
对于选项C:因为,且为偶函数,则,
令,可得,
又因为,令,则,
可得,可得,
但由题设条件无法推出,故C错误;
对于选项D:因为的周期为8,故,故D正确;故选:ABD.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.6
【解析】展开式的通项公式为
因为存在常数项,所以,故只有当时满足题意,
即求展开式中含的项的系数,
令,即,
所以展开式中含的项为,
所以展开式中的系数为6.
故答案为:6
13.
【解析】以点为圆心,半径为2的圆的方程为,
则该圆在轴上方的部分的方程为,
由是奇函数,得,当时,,
,
所以的解析式为.
故答案为:
14.1
【解析】函数,
因为
所以该函数在单调递减,在单调递增.
过原点作的切线,设切点,
由,则切线的斜率为,
直线过,
,
即,由函数与的图象在有且只有一个交点,
且当时满足方程,故方程有唯一解,则;
过原点作的切线,设切点,
由,得切线的斜率,
则切线过原点,
则有,
则,则有,
两切线垂直,曲线的相对于点的“确界角”为,
则.
故答案为:1.
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15.(1)因为男生参观科技展的概率为,所以参观科技展的男生人数为.
因为参观科技展的学生中女生占,所以参观科技展的人数为.
则参观科技展的女生人数为.
结合男、女生各有40人,填写列联表如下:
零假设为:学生参观科技展情况与性别无关.
根据列联表中的数据,计算得到
.
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为该校学生参观科技展情况与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人,抽男生8人,女生4人,所以的可能取值为,
则,
.
所以的分布列为
所以.
16.(1)由题意得
,
由正弦定理,得,即,
所以.又,所以.
(2)因为的面积为,
所以,所以.
因为,所以,
即,所以.
因为是边的中点,所以,
所以,
所以,所以的长为.
17.(1)依题意可知点为的中点,,所以.
又平面,所以平面.
又平面,所以.
依题意可知平面,
所以平面.
又平面,所以.
因为平面,所以平面.
又平面,所以.
(2)由题意,得,
由(1),所以.
以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,过点且平行于的直线为轴,建立空间直角坐标系,
如图,则.
所以.
设,即,
则.
若存在点,使得,则,
解得,则.
设平面的法向量为,
则令,得,
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
则令,得,
所以平面的一个法向量为.
所以.
由图可知,二面角为锐角,
故二面角的余弦值为.
18.(1)设上任意一点,光线从点至点的光程为,光线穿过
凸透镜后从点折射到点的光程为,
则,
由题意得,得,化简得,
.令,得,
为双曲线的一部分,解析式为.
(2)由题意知.
设,
则,
,
易知,得,
即.
将点A的坐标代入,得,
化简整理得.
同理可得,
与为方程的两个解,
.
由题知,解得,
点的坐标可能为或.
19.(1)由题意,得,所以.
因为曲线在处的切线方程为,
又,所以,所以.
所以.
令,得;令,得.
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)由题意得.
当时,令,得;令,得.
所以在上单调递减,在上单调递增,此时只有极小值,不符合题意.
当时,令,得.
因为的极大值为,所以,解得.
综上,的取值范围为.
(3)当时,.
要证,即证,
只需证.
先证:.
设,则.
设,则.
所以函数在上单调递增,则,即,
所以函数在上单调递增,则,所以.
再证:,即证.
设,则.
当时,单调递增;
当时,单调递减.所以.
设,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
所以.所以,即.
综上,得证.
故.参观科技展
未参观科技展
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参观科技展
未参观科技展
合计
男生
32
8
40
女生
16
24
40
合计
48
32
80
0
1
2
3
4
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