湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试数学试题

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2024届高三4月综合测试数学试题，共18页。试卷主要包含了已知，则实数的大小关系为，除以5的余数是，已知函数，数列满足，则，函数的图象可以是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（麦子大约20000粒，）
A. B. C. D.
5.已知，则实数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.除以5的余数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
8.已知函数，数列满足，则（ ）
A.0 B.1 C.675 D.2023
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.函数的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数在上为增函数
B.-1是函数的极小值点
C.函数必有2个零点
D.
11.如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，分别为圆柱上､下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径为，则（ ）
A.球与圆柱的体积之比为
B.四面体CDEF体积的取值范围为
C.平面截得球的截面面积的最小值为
D.若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知，则__________.
13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________.
14.已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（13分）记为数列的前项和，若，.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
16.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
17.（15分）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥､缓释肥､未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
（1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
（2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
（3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
18.（17分）已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
（1）求双曲线的方程；
（2）过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
（3）过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.
19.（17分）已知函数（），为的导函数，.
（1）若，求在上的最大值；
（2）设，，其中.若直线的斜率为，且，求实数的取值范围.
雅礼中学2024届高三综合自主测试（4月）
数学参考答案
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.D
【解析】因为，
所以且，所以错，错，
，C错，
，D对，
故选：D.
2.C
【解析】由，得，
则复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
3.B
【解析】因为椭圆的长轴长为6，所以椭圆的焦点在轴上，且，
所以该椭圆的离心率为.故选B.
4.C
【解析】64个格子放满麦粒共需，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒，
，
，
故选：C.
5.D
【解析】令，其在上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，
则在上单调递减，
画出与的函数图象，
可以得到，
又在上单调递减，画出与的函数图象，
可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，.
综上，.
故选：D.
6.D
【解析】，
由此可知除以5的余数即为除以5的余数，
故所求余数为4.故选D.
7.B
【解析】由可得，
故，设的公比为，则，即，
故，
则.
由于时，，
故随着的增大而增大，
而，
故满足的最小正整数的值为6.
故选：B.
8.B
【解析】的定义域为，且，
故为上的奇函数.
而
因在上为增函数，在为增函数，
故为上的增函数.
又即为，故，
因为，故为周期数列且周期为3.
因为，
所以.
故选：B.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.BC
【解析】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，
对于，变号零点是0，则，则，不成立，故不符合题意；
对于，变号零点小于0，不变号零点为0，则，
此时，当，当，
当时，，满足图象，故B符合题意；
对于，当时，，
当时，，当时，，满足图象，故C符合题意；
对于D，，当时，，与图象不符，故D不符合题意.故选BC.
10.BD
【解析】，
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数，
故-1是函数的极小值点，错误，B正确.
若，则有1个零点，若，则没有零点，C错误.
在上为增函数，
则，即，
化简得，D正确.故选BD.
11.AD
【解析】对于，球的体积为，
圆柱的体积为，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于，设为点到平面的距离，，
而平面经过线段的中点，
四面体的体积错误；
对于C，过作于，如图，
而，则，
又，
于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，
则，又，
则平面截球的截面圆的面积错误；
对于D，令经过点的圆柱的母线与下底面圆的公共点为，连接，
当与都不重合时，设，则，
当与之一重合时，上式也成立，
因此，
则，
令，
则，
而，即，
因此，解得，
所以的取值范围为，D正确.故选AD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.1
【解析】由，得，即，
则，
即，
所以.
13.；
【解析】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，
事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”，
则..
解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得
他自驾去上班的概率是.
解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率.
14.
【解析】由题意可知，函数的图象如图所示，根据函数图象，
函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时取得最大值2，当时取得最小值0，
直线是该图象的渐近线.令，
则关于的方程可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根，
设为方程的两个实数根，
显然，有以下两种情况符合题意：
①当时，，则；
②当时，，则.
综上可知，实数的取值范围是
四､解答题（本题共6小题，共70分）
15.（1）由题设，则，
又，故是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
所以.
16.（1）为等边三角形，D为中点，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
，
取中点G，连接，
为等边三角形，
，
平面平面，平面平面，平面.
平面，
，
与相交，，平面，
平面；
（2）以为坐标原点，，所在直线为x轴，y轴，过C且与平行的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
设，则
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
取，可得，
为平面的一个法向量，
取平面的一个法向量为，
则，
解得，此时，
在线段上存在点F使得平面与平面的夹角为，且.
17.（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米，
所以估计为；
（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为，估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2.3，且
；
；
；
，
则的分布列为：
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
18.（1）因为虚轴长，所以.
又因为点在双曲线上，所以，
解得.
故双曲线的方程为.
（2）证明：如下图所示：
设，则
所以
因为在双曲线上，所以，可得；
于是，
所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是.
（3）证明：设，直线的方程为，如下图所示：
联立，消去整理可得①
则
所以②
③
直线的方程为，令，得点的横坐标为；
同理可得点的横坐标为；
所以
将①②③式代入上式，并化简得到
所以的中点的横坐标为，
故的中点是定点.
19.（1）解：若，可得，则，
即，
可得，
当时，，所以在上单调递增，
又由，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，即函数的最大值为.
（2）解：由，可得，
因为，
所以对任意且，
都有，
因为，可得，
则，
对任意且，令，
则
对于恒成立，
由
则对于恒成立，
记，
可得，
①若，则，在单调递增，所以，符合题意；
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，当时，，不符合题意（舍去），
综上可得，，即实数的取值范围为.株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
0
1
2
3