新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题08幂函数与二次函数(原卷版+解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题08幂函数与二次函数(原卷版+解析)，共53页。

命题方向一：幂函数的定义及其图像
命题方向二：幂函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的综合应用
命题方向三：二次方程的实根分布及条件
命题方向四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
命题方向五：二次函数的单调性问题
命题方向六：二次函数绝对值的最大值的最小值问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍重点考查二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）．
【知识点总结】
1、幂函数的定义
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数．
（3）幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
【方法技巧与总结】
二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
【典例例题】
命题方向一：幂函数的定义及其图像
例1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
例3．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A．B．
C．或D．以上都不正确
变式1．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
命题方向二：幂函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的综合应用
例4．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1B．4C．7D．10
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
变式5．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【通性通解总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
命题方向三：二次方程的实根分布及条件
例7．（2023·四川资阳·高二统考开学考试）已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．
例8．（2023·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
例9．（2023·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设关于的一元二次方程有两个实根．
(1)若，求的值；
(2)求证：且．
变式12．（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）关于的方程的两个实根，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【通性通解总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
命题方向四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例10．（2023·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数，.
(1)若关于x的不等式对一切实数x都成立，求b的取值范围；
(2)当时，函数的最小值为1，求值.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
例12．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数，且.
(1)若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，求实数的值；
(2)已知，函数.若的最大值为8，求实数的值.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，试写出函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
变式17．（2023·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.
【通性通解总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
命题方向五：二次函数的单调性问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________.
例14．（2023·广东·高三统考学业考试）函数f（x）=x2-2（a-1）x+2在区间上是减函数，则实数a的范围是___________
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_____________.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
变式20．（2023·上海·高三专题练习）设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.
命题方向六：二次函数绝对值的最大值的最小值问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求的最大值；
(2)若的最大值为，求的最小值．
例17．（2023·四川内江·高一威远中学校校考期中）设函数，，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记的最大值为M，
①求M；
②求证：．
例18．（2023·浙江·高二学军中学校联考开学考试）已知，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若的最大值为，求的取值范围.
变式21．（2023·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）设为实数，函数．
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；
（3）求的最小值.
变式22．（2023·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·北京·高三统考学业考试）已知，且．当ab取最大值时，（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京海淀·校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
7．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是（ ）
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上的最小值为2，最大值为5
D．在区间上的最大值为
11．（2023·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校考期末）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（ ）
A．且B．是偶函数
C．在定义域上是减函数D．的值域为
12．（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
14．（2023·全国·高三专题练习）函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时，_____
15．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知正数，满足，给出以下结论：①，②，③，④．其中正确的是______．（请写出所有正确结论的序号）
16．（2023·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
18．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
（1）当时，求的值域；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求时，的解析式；
(2)问是否存在这样的正数：当时，的值域为？若存在，求出所有的的值；若不存在，说明理由.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
专题08 幂函数与二次函数
【命题方向目录】
命题方向一：幂函数的定义及其图像
命题方向二：幂函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的综合应用
命题方向三：二次方程的实根分布及条件
命题方向四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
命题方向五：二次函数的单调性问题
命题方向六：二次函数绝对值的最大值的最小值问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍重点考查二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）．
【知识点总结】
1、幂函数的定义
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数．
（3）幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
【方法技巧与总结】
二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
【典例例题】
命题方向一：幂函数的定义及其图像
例1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设幂函数，则，，.
故选：B.
例2．（2023·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【解析】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
例3．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A．B．
C．或D．以上都不正确
【答案】B
【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以，
解得：.
故选：B.
变式1．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【答案】B
【解析】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
又互质，为偶数，为奇数.
故选：B.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】幂函数定义域为R，选项C不满足；
，有，即是偶函数，选项B不满足；
因，则函数在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A不满足，
显然选项D满足幂函数的上述特点，即大致图象是D.
故选：D
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.由图象可知，当时，，则
故选：B
【通性通解总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
命题方向二：幂函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的综合应用
例4．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1B．4C．7D．10
【答案】C
【解析】由题意知，
因为其图像关于y轴成轴对称，则.
故选：C．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
变式4．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
变式5．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，所以，
故令得，所以
所以的图象过定点
故选：D
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，
在为减函数，且函数值为负，
等价于，
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【解析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
【通性通解总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
命题方向三：二次方程的实根分布及条件
例7．（2023·四川资阳·高二统考开学考试）已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．
【解析】（1）证明：当时，，
则，即：，解得：，
所以是关于x的方程有解的一个充分条件.
（2）当时，因为方程有一个正根和一个负根，
所以，解得：
反之，当时，，且，
所以有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当时，关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件为.
例8．（2023·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
【解析】（1）设．
依题意有，即，得．
（2）设．
依题意有，解得．
（3）设．
方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
例9．（2023·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设关于的一元二次方程有两个实根．
(1)若，求的值；
(2)求证：且．
【解析】（1）根据韦达定理可得，
又因为，所以，
消去得解得.经检验满足
（2）依题意解得，
所以函数的对称轴为，
又因为，
所以函数的图象与轴的两个交点都在点的左侧，
即且，得证.
变式12．（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）关于的方程的两个实根，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）令，开口向上，对称轴为，
由，，则，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，则，解得，
所以的取值范围为.
【通性通解总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
命题方向四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例10．（2023·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数，.
(1)若关于x的不等式对一切实数x都成立，求b的取值范围；
(2)当时，函数的最小值为1，求值.
【解析】（1）因为恒成立，
所以，
当且仅当时，取最小值为，
所以，
即：，解得.
故b的取值范围为.
（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，
①若，则在上单调递增，∴，解得；
②若，则在上单调递减，∴，解得（舍）；
③若，则在上单调递减，在上单调递增，
∴，
解得或（舍）；
综上，或.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
【解析】（1）设，则，
因为，
所以，
故，解得：
又
所以，
所以；
（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．
当时，，
所以此时函数的最大值为；
当时，，
所以此时函数的最大值为；
综上：．
例12．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数，且.
(1)若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，求实数的值；
(2)已知，函数.若的最大值为8，求实数的值.
【解析】（1）由题意 ，将 代入得： ；
（2） ，其中 ，
令 ，则有 ， 是关于t的开口向上，对称轴为 的抛物线，
，并且 ，
在 上的最大值为 ，又 ；
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，试写出函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
【解析】（1）当时， ,
所以 ,
当时，，其图象开口向上，对称轴方程为，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，其图象开口向下，对称轴方程为，
所以在上单调递减.
综上可知，的单调递减区间为和，单调递增区间为.
（2）由题意知，，作出大致图象如图：
易得，，
所以可判断在上的最大值在，，中取得.
当时，.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，若，则；
若，则.
综上可知，在区间上，
.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【解析】（1）当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
（2），
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
【解析】（1）设，
则
解之得：
（2）根据题意：
解之得：
的取值范围为
变式16．（2023·全国·高三专题练习）知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【解析】（1）因为函数的定义域为，
则在上恒成立，
当时，，得，不合题意舍去；
当时，，解得，
综合得；
（2）函数在上恒有意义，即在上恒成立
，恒成立，
令，，则，当时，，
；
（3）当时，或，
解得，
当时，或，
解得．
故存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2．
变式17．（2023·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；
当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即
当时，，
当时，，所以的最大值为.
故答案为：
【通性通解总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
命题方向五：二次函数的单调性问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，
因为函数在区间上不是单调函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
例14．（2023·广东·高三统考学业考试）函数f（x）=x2-2（a-1）x+2在区间上是减函数，则实数a的范围是___________
【答案】[2，+∞）
【解析】函数f（x）图像的对称轴为直线x=a-1.因为f（x）在区间上是减函数，
所以，得.
故答案为：[2，+∞）.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】要使f（x）在R上单调递增，必须满足三条：
第一条：f（x）在(－∞，1)上单调递增；
第二条：f（x）在(1，＋∞)上单调递增；
第三条：x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．
故有解得．
故实数a的取值范围为．
故答案为：.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由题可知，在区间上单调递减，
设，
而外层函数在定义域内单调递减，
则可知内层函数在区间上单调递增，
由于二次函数的对称轴为，
由已知，应有，且满足当时，，
即，解得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得，
在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得，
综上得：，
所以的取值范围是.
故答案为：
变式20．（2023·上海·高三专题练习）设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围.因为在上是减函数，故，所以
故答案为：.
命题方向六：二次函数绝对值的最大值的最小值问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求的最大值；
(2)若的最大值为，求的最小值．
【解析】（1）由题意得，
当时，，
因为，所以是偶函数，
故的最大值为4．
（2）由题意得，
①若，则当时，在上单调递增，，
当时，．
因为，
所以．
②若，则当时，，
当时，．
因为，所以当时，，
当时，．
③若，则当时，，
当时，在上单调递减，．
因为，所以．
综上所述，当时，，当时，．
故的最小值为4．
例17．（2023·四川内江·高一威远中学校校考期中）设函数，，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记的最大值为M，
①求M；
②求证：．
【解析】（1）
当时，
因为，
所以
（2）设，，
对称轴为，开口向上，，，
1）当时，，，所以
2）当时，，，所以
3）当时，，，所以
综上所述：
②
当时，
所以
当时，
所以
当时，，所以
综上所述：所以
例18．（2023·浙江·高二学军中学校联考开学考试）已知，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若的最大值为，求的取值范围.
【解析】（1）①当时,,在单调递减
②当时,即时,在单调递减
③当时,即时,在递增,在递减
④当时,不成立,所以无解.
综上所述,当时,在单调递减；
当时,在递增,在递减
（2）①当时,在递减,
,,
∵,
∴,
∴,
∴.
得.
②当时,在递增,在递减,
又,,
∵,
∴,同时,
∴
∴
∴
又∵,
∴,
又∵,
∴
且可得在递增,
所以.
综上所述, 当时,;当时,.
变式21．（2023·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）设为实数，函数．
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；
（3）求的最小值.
【解析】（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，
∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，
在区间上的最大值为0；
（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，
①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，
故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；
②当0＜a＜1时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），
故当0＜a＜22时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当22≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，
故t（a）＝g（a）＝a2，
④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，
t（a）＝g（2）＝4a﹣4，
故t（a）；
（3）由（2）知，
当a＜22时，t（a）＝4﹣2a是单调减函数，，无最小值；
当时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8；
当时，t（a）＝4a﹣4是单调增函数，最小值为t（2）＝4；
比较得t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8．
变式22．（2023·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【解析】（1）分析题意可知在上单调，从而可知
，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知
，再由可得，
，即可得证.
试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..
考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】当时，函数，
当时，；当时，，
所以函数在上的值域为
因为是上的奇函数，所以的值域为，
所以的最小值是.
故选：A.
2．（2023·北京·高三统考学业考试）已知，且．当ab取最大值时，（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
所以当时，有最大值，
此时.
故选：C.
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数在均单调递减可得即；
函数在均单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
4．（2023·北京海淀·校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】选项A，是非奇非偶函数，是区间上的增函数，错误；
选项B，是偶函数，是区间上的减函数，错误；
选项C，是偶函数，是区间上的增函数，正确；
选项D，是奇函数，是区间上的增函数，错误；
故选：C
5．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以且在区间上恒成立，
所以，解得或.
故选：B
6．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
【答案】B
【解析】依题意，则，设
单调递减,
单调递增,
知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.
故选：B．
7．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，，
而函数是偶函数，所以有，
所以，
所以的周期为4，
则，
．
当时，，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，又，
所以，
即，
故选：C
8．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程和依次化为：和，
因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，
而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，
于是，函数，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由解得，
所以，
函数图象如图所示，
由图可知函数的单调减区间为和，
故选：AC
10．（2023·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是（ ）
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上的最小值为2，最大值为5
D．在区间上的最大值为
【答案】BC
【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线．
在选项A中，因为在区间上单调递减，
所以在区间上的最小值为，A错误．
在选项B中，因为在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上的最小值为．
又因为，
所以在区间上的最大值为，B正确．
在选项C中，因为在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为，最大值为，C正确．
在选项D中，当时，在区间上的最大值为2，
当时，由图象知在区间上的最大值为，D错误．
故选:BC.
11．（2023·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校考期末）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（ ）
A．且B．是偶函数
C．在定义域上是减函数D．的值域为
【答案】AB
【解析】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；
对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；
对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；
对于D;的值域不可能取到0，D项错误.
故选：AB
12．（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时，_____
【答案】2
【解析】解法一：因为函数是二次函数，
所以（a，）在区间[0，c]（）上的最大值是在[0，c]的端点取到或者在处取得．
若在取得，则；若在取得，则；
若在取得，则；
进一步，若，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；
若，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；
由此推断，即有，，
于是有．
解法二：设，，则．
首先作出在时的图象，显然经过（0，0）和的直线为，该曲线在[0，c]上单调递增；
其次在图象上找出一条和平行的切线，
不妨设切点为，于是求导得到数量关系．
结合点斜式知该切线方程为．
因此，即得．此时，
即，那么，．从而有．
15．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知正数，满足，给出以下结论：①，②，③，④．其中正确的是______．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】因为，所以，所以，故①正确，②错误；
令，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，故③正确；
令，
则，
可知当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，故④正确．
故答案为：①③④.
16．（2023·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【解析】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
18．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意且，解得；
（2）由（1），的对称轴 ，
因为在上不单调，所以，
解得．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【解析】（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
（1）当时，求的值域；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，函数，
的值域
（2）对，成立，等价于在的最小值大于或等于1．
而在上单调递减，所以，即
（3）对，，使得成立，
等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由，
21．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求时，的解析式；
(2)问是否存在这样的正数：当时，的值域为？若存在，求出所有的的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）当时，，于是，
因为是定义在上的奇函数，
所以，即；
（2）假设存在正实数，当时， 的值域为，
根据题意，，
因为 ，
则，得，
又函数在上是减函数，所以，
由此得到：是方程的两个根，
即，
解方程求得，
所以，存在正实数，当时，的值域为.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点