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2025年高考数学精品教案第六章 平面向量 复数 第6讲 复 数
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这是一份2025年高考数学精品教案第六章 平面向量 复数 第6讲 复 数，共12页。
学生用书P131
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
思维拓展
（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆.
3.复数的四则运算
（1）复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
（2）复数的运算律
对任意的z1，z2，z3∈C：
（3）复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行
若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数；复数z1－z2是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的复数.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.复数z＝a－bi（a，b∈R）中，虚部为b
B.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小
C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
2.[2023南京市六校联考]复数z＝1+i1+2i（i为虚数单位），则｜z｜＝（ D ）
A.25B.23C.103D.105
解析 解法一 z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝3－i5＝35－15i，所以｜z｜＝（35）2＋（－15）2＝105，故选D.
解法二 ｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝12＋1212＋22＝25＝105，故选D.
3.[2021新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，则z（z＋i）＝（ C ）
A.6－2iB.4－2iC.6＋2iD.4＋2i
解析 因为z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故选C.
4.[2023合肥市二检]设i是虚数单位，复数z＝2i1－i，则在复平面内z所对应的点位于（ B ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为z＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i ，所以在复平面内z所对应的点为（－1，1），位于第二象限.故选B.
学生用书P132
命题点1 复数的概念
例1 （1）[全国卷Ⅲ]复数11－3i的虚部是（ D ）
A.－310B.－110C.110D.310
解析 11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i）＝1+3i10＝110＋310i，所以复数的虚部为310.故选D.
（2）[2023全国卷甲]设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（ C ）
A.－2B.－1
C.1D.2
解析 ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
（3）[2022全国卷甲]若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝（ D ）
A.45B.42
C.25D.22
解析 因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－2）2＝22.故选D.
方法技巧
1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后根据复数的有关概念求解即可.
2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.
3.复数的概念中的常用性质
（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z1·z2；（z1z2）＝z1z2（z2≠0）.
（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜.
训练1 （1）[2023全国卷乙]设z＝2+i1+i2＋i5，则z＝（ B ）
A.1－2iB.1＋2i
C.2－iD.2＋i
解析 z＝2+i1+i2＋i5＝2+i1－1+i＝－i（2+i）－i2＝1－2i，所以z＝1＋2i，故选B.
（2）[2022全国卷乙]已知z＝1－2i， 且z＋az＋b＝0， 其中a，b为实数，则（ A ）
A.a＝1， b＝－2B.a＝－1， b＝2
C.a＝1， b＝2D.a＝－1， b＝－2
解析 由题意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b+1=0，2a－2=0，解得a=1，b＝－2，故选A.
（3）[2023武汉市5月模拟]设复数z满足z－1z+1为纯虚数，则｜z｜＝（ A ）
A.1B.2C.3D.2
解析 因为z－1z+1为纯虚数，所以可设z－1z+1＝bi（b≠0），则z＝1+bi1－bi.
解法一 因为z＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi）＝1－b21+b2＋2b1+b2i，所以｜z｜＝（1－b2）2（1+b2）2＋（2b）2（1+b2）2＝1+2b2＋b4（1+b2）2＝1，故选A.
解法二 ｜z｜＝｜1+bi1－bi｜＝｜1+bi｜｜1－bi｜＝1+b21+(－b）2＝1，故选A.
命题点2 复数的运算
例2 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，则z－z＝（ A ）
A.－iB.i
C.0D.1
解析 因为z＝1－i2+2i＝（1－i）22（1+i)(1－i）＝－12i，
所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12i＝－i.
故选A.
（2）[2022全国卷甲]若z＝－1＋3i，则zzz－1＝（ C ）
A.－1＋3iB.－1－3i
C.－13＋33iD.－13－33i
解析 zzz－1＝－1+3i（－1+3i)(－1－3i）－1＝－1+3i3＝－13＋33i.故选C.
方法技巧
1.复数运算的解题策略
（1）复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.
（2）复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母实数化.
2.复数运算中的常用结论
（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1－i1+i＝－i.
（2）a＋bii＝b－ai.
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.
训练2 （1）[2022新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，则z＋z＝（ D ）
A.－2B.－1
C.1D.2
解析 因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D.
（2）[2023重庆二调]已知复数z满足z＋3＝4z＋5i，i是虚数单位，则z2＝（ B ）
A.－2iB.2i
C.1＋iD.1－i
解析 令z＝a＋bi（a，b∈R），则a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，
∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，
∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故选B.
命题点3 复数的几何意义
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（ A ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为（6，8），位于第一象限，故选A.
（2）[全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝ 23 .
解析 如图所示，设复平面内复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，O为原点，则OP＝OZ1＋OZ2.
由题知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cs 30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.
方法技巧
1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.
2.思维拓展
｜z－z0｜表示在复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在复平面内复数z对应的点在以复数z0对应的点为圆心、r为半径的圆上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在复平面内复数z对应的点在复数z1，z2对应点所连线段的垂直平分线上.
训练3 （1）[2023湖北十一校联考]复数z满足｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，则｜z｜＝（ C ）
A.10B.13
C.32D.5
解析 解法一 由｜z－5｜＝｜z－1｜，得复数z对应的点到点（5，0）和到点（1，0）的距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得复数z对应的点到点（1，0）和到点（0，－1）的距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝－x上.因为直线x＝3和直线y＝－x的交点为（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3）2＝32，故选C.
解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（a－1）2＋b2，（a－1）2＋b2＝a2＋（b+1）2，解得a=3，b＝－3，则｜z｜＝a2＋b2＝32.
（2）[多选/2023石家庄市三检]已知复数z1＝1＋2i，复数z满足｜z－z1｜＝2，则下列说法正确的有（ AD ）
A.z1·z1＝5
B.5－2＜｜z｜＜5＋2
C.复数 z1在复平面内所对应的点为（－1，2）
D.若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则（x－1）2＋（y－2）2＝4
解析 因为复数z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在复平面内所对应的点为（1，－2），所以选项C错误；z1·z1＝（1＋2i）（1－2i）＝5，所以选项A正确；若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则可设复数z＝x＋yi，由｜z－z1｜＝2得，｜（x－1）＋（y－2）i｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以选项D正确；由D选项的分析知，若设复数z在复平面内对应的点为Z（x，y），则｜z｜＝x2＋y2，其几何意义为圆（x－1）2＋（y－2）2＝4上任意一点到原点的距离，圆心（1，2）到原点的距离为5，半径为2，所以5－2≤｜z｜≤5＋2，所以选项B错误.综上，选AD.
1.[命题点1/浙江高考]已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ C ）
A.1 B.－1 C.2D.－2
解析 因为a－1＋（a－2）i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.
2.[命题点1/2021全国卷乙]设2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，则z＝（ C ）
A.1－2iB.1＋2iC.1＋ID.1－i
解析 设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，代入2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
3.[命题点2]在复数范围内，设方程x2－2x＋k＝0的根分别为α，β，且｜α－β｜＝22，则实数k的值为 3或－1 .
解析 当方程x2－2x＋k＝0的根为虚数时，设α＝a＋bi，β＝a－bi，a，b∈R，则α＋β＝2a＝2，∴a＝1，αβ＝a2＋b2＝k，∴k＝1＋b2，∵｜α－β｜＝｜2bi｜＝22，∴b2＝2，∴k＝3；当x2－2x＋k＝0的根为实数时，α＋β＝2，αβ＝k，则｜α－β｜＝（α＋β）2－4αβ＝4－4k＝22，∴4－4k＝8，∴k＝－1.故k的值为3或－1.
4.[命题点3]设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ C ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±i
B.若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以（1，0）为圆心，1为半径的圆
C.若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
D.若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合中有且只有两个元素
解析 若｜z｜＝1，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数z对应，故A错误；
若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以（－1，0）为圆心，1为半径的圆，故B错误；
若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为π×（2）2－π×12＝π，故C正确；
若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合是以点（1，0），（0，－1）为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误.
5.[命题点1，2，3/2023沈阳市三检]在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（2，－1），（1，－3），则z2z1的虚部是（ D ）
A.iB.－iC.1D.－1
解析 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别是（2，－1），（1，－3），所以z1＝2－i，z2＝1－3i，所以z2z1＝1－3i2－i＝（1－3i)(2+i）（2－i)(2+i）＝5－5i5＝1－i，所以z2z1的虚部为－1，故选D.
学生用书·练习帮P327
1.[2024河南信阳开学考试]i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝（ C ）
A.2 025B.1－iC.iD.－i
解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝i，故选C.
2.[2024贵阳模拟]复数z满足（1＋2i）z＝3－i，则｜z｜＝（ A ）
A.2B.3C.2D.5
解析 解法一 因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i＝（3－i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝15－75i，所以｜z｜＝（15）2＋（－75）2＝2，故选A.
解法二 因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i，所以｜z｜＝｜3－i1+2i｜＝｜3－i｜｜1+2i｜＝105＝2，故选A.
3.[2023高三名校联考]已知a+2ii＝b＋i（a，b∈R），其中i是虚数单位，则a＋b＝（ B ）
A.3B.1C.－1D.－3
解析 解法一 因为a+2ii＝b＋i，所以（a+2i）ii2＝2－ai＝b＋i，所以－a=1，b=2，即a＝－1，b=2，所以a＋b＝1，故选B.
解法二 因为a+2ii＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b=2，所以a＋b＝1，故选B.
4.[2024安徽六校联考]复数z在复平面内对应的点为（3，－1），则1－i｜z｜＋i＝（ A ）
A.15－35iB.35－35i
C.15－15iD.－15－15i
解析 由复数的几何意义可知，z＝3－i，所以｜z｜＝2，所以1－i｜z｜＋i＝1－i2+i＝（1－i)(2－i）（2+i)(2－i）＝15－35i.故选A.
5.[2024江西四校联考]设a，b∈R且b≠0，若复数（a＋bi）3是实数，则（ A ）
A.b2＝3a2B.a2＝3b2
C.b2＝9a2D.a2＝9b2
解析 因为（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i为实数，（提示：完全立方和公式为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b－b3＝0.又因为b≠0，所以3a2＝b2，故选A.
6.[角度创新]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，i为虚数单位，则z1z2＝（ B ）
A.1－2iB.－5
C.5D.5i
解析 因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，所以z2＝－1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故选B.
7.[2023长沙重点中学模拟]设复数z满足z－z－＝2i，｜z｜＝2，复数z所对应的点位于第一象限，则1z＝（ B ）
A.1+3i2B.3－i4
C.－1+3i2D.3＋i4
解析 设z＝a＋bi（a∈R，b∈R），则z－＝a－bi，所以z－z－＝2bi＝2i，则b＝1，所以
｜z｜＝a2＋b2＝a2+1＝2，解得a＝±3.又因为复数z所对应的点位于第一象限，所以a＝3，所以z＝3＋i，所以1z＝13＋i＝3－i（3＋i)(3－i）＝3－i4，故选B.
8.[角度创新]若3+4iz是纯虚数，则复数z可以是（ D ）
A.－3＋4iB.3－4i
C.4＋3iD.4－3i
解析 解法一 因为复数3+4iz是纯虚数，所以设3+4iz＝mi（m∈R且m≠0），则z＝3+4imi＝（3+4i)(－i）mi（－i）＝4－3im，显然当m＝1时，z＝4－3i，故选D.
解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），则3+4iz＝（3+4i)(a－bi）（a＋bi)(a－bi）＝（3a+4b）＋（4a－3b）ia2＋b2，因为3+4iz是纯虚数，所以3a+4b=0，4a－3b≠0，所以ab＝－43，结合选项知，选D.
9.[开放题]已知复数z＝4+ai1+i，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的一个整数值可以为 0（答案不唯一） .
解析 z＝4+ai1+i＝（4+ai)(1－i）（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）2＝a+42＋（a－4）i2，因为z在复平面内对应的点在第四象限，所以a+42>0，a－42<0，解得－4＜a＜4，又a∈Z，所以a可取－3，－2，－1，0，1，2，3.
10.[2023广西联考]设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y1－i＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为y1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以y＝x+1，1－x=0，解得y=2，x=1，所以z＝1＋2i，所以z＝1－2i，所以z在复平面内对应的点为（1，－2），位于第四象限，故选D.
11.[2023广东六校联考]设复数z＝12＋32i，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中错误的是（ B ）
A.zz＝1
B.z2＝z
C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
解析 对于A，z·z＝（12＋32i）（12－32i）＝1，故A正确；对于B，z2＝（12＋32i）2＝－12＋32i，z＝12－32i，∴z2＝－z，故B错误；对于C，（12＋32i）2－（12＋32i）＋1＝－12＋32i－12－32i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确；对于D，z＝12＋32i，z2＝－12＋32i，z3＝z2·z＝－（12－32i）（12＋32i）＝－1，故D正确，故选B.
12.[多选]18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.下列说法正确的是（ BCD ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±i
B.若在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i分别对应向量OA与OB（O为坐标原点），则向量BA对应的复数为9＋i
C.在复平面内，复数z对应的点为Z（－1，1），则z对应的点位于第三象限
D.若复数z满足1≤｜z｜≤2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为π
解析 对于A，令z＝12＋32i，满足｜z｜＝1，故A错误；对于B，由题知BA＝OA－OB，即在复平面内，BA对应的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i，故B正确；对于C，∵点
Z（－1，1），∴z在复平面内对应点（－1，－1），位于第三象限，故C正确；对于D，设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z满足1≤｜z｜≤2，∴1≤a2＋b2≤2，∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×（2）2－π×12＝π，故D正确.故选BCD.
13.[2024四川成都二中开学考试]已知复数z满足｜z－1｜＝｜z＋i｜（i为虚数单位），在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为 322 .
解析 解法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得（x－1）2＋y2＝x2＋（y＋1）2，即y＝－x，所以点Z0（2，1）与点Z（x，y）之间的距离d＝（x－2）2＋（y－1）2＝2x2－2x+5＝2（x－12）2＋92≥322，当且仅当x＝12时取等号.
解法二 由｜z－1｜＝｜z＋i｜及复数的几何意义知，点Z在点（1，0）与点（0，－1）连线的垂直平分线上，即点Z的轨迹方程为y＝－x.点Z0与点Z之间距离的最小值即点Z0（2，1）到直线y＝－x的距离，即2+12＝322.
14.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cs x＋isin x，该公式被称为欧拉公式，它在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数z＝eπ4i，根据欧拉公式可知，z1－i表示的复数的虚部为（ C ）
A.－22B.－22iC.22D.22i
解析 解法一 由题意知z＝eπ4i＝csπ4＋isinπ4＝22＋22i，根据复数的运算法则知z1－i＝22＋22i1－i＝22i，所以z1－i的虚部为22，故选C.
解法二 根据公式eix＝cs x＋isin x知，1－i＝2[cs（－π4）＋isin（－π4）]＝2e－π4i，因为z＝eπ4i，所以z1－i＝eπ4i2e－π4i＝22eπ2i＝22（csπ2＋isinπ2）＝22i，所以z1－i的虚部为22，故选C.
15.[与数列综合]已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝ －1＋i .
解析 解法一 因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，可知数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i.
解法二 由an＋1＝ian＋i＋1，可得an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所以数列{an－i}是以i为首项，i为公比的等比数列，所以an－i＝in，则an＝i＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
复数的概念
2023全国卷乙T1；2023全国卷甲T2；2022全国卷乙T2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022浙江T2；2021全国卷甲T3；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅠT1；2020全国卷ⅢT2；2019全国卷ⅡT2
本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.
复数的运算
2023新高考卷ⅠT2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022新高考卷ⅡT2；2021新高考卷ⅠT2；2021新高考卷ⅡT1；2021全国卷乙T1；2021全国卷甲T3；2020新高考卷ⅡT2；2019全国卷ⅢT2
复数的几何意义
2023新高考卷ⅡT1；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅡT15；2020北京T2；2019全国卷ⅠT2；2019全国卷ⅡT2
名称
含义
复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部为① a ，虚部为② b ，i为虚数单位且i2＝③ －1 .
复数分类
a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔④ a＝0且b≠0 （a，b∈R）.
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.
注意 实数能比较大小，虚数不能比较大小.
共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔⑤ a＝c且b＝－d （a，b，c，d∈R）.
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥ 实轴 ，y轴叫做⑦ 虚轴 .
说明 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数.
复数的模
设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧ a2＋b2 .
运算法则
运算形式
加法
z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨ （a＋c）＋（b＋d）i .
减法
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩ （a－c）＋（b－d）i .
乘法
z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝⑪ （ac－bd）＋（ad＋bc）i .
除法
z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi)(c－di）（c＋di)(c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋di≠0）.
加法运算律
交换律：z1＋z2＝⑫ z2＋z1 .结合律：（z1＋z2）＋z3＝⑬ z1＋（z2＋z3） .
乘法运算律
交换律：z1z2＝z2z1.结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
学生用书P131
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
思维拓展
（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆.
3.复数的四则运算
（1）复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
（2）复数的运算律
对任意的z1，z2，z3∈C：
（3）复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行
若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数；复数z1－z2是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的复数.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.复数z＝a－bi（a，b∈R）中，虚部为b
B.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小
C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
2.[2023南京市六校联考]复数z＝1+i1+2i（i为虚数单位），则｜z｜＝（ D ）
A.25B.23C.103D.105
解析 解法一 z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝3－i5＝35－15i，所以｜z｜＝（35）2＋（－15）2＝105，故选D.
解法二 ｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝12＋1212＋22＝25＝105，故选D.
3.[2021新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，则z（z＋i）＝（ C ）
A.6－2iB.4－2iC.6＋2iD.4＋2i
解析 因为z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故选C.
4.[2023合肥市二检]设i是虚数单位，复数z＝2i1－i，则在复平面内z所对应的点位于（ B ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为z＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i ，所以在复平面内z所对应的点为（－1，1），位于第二象限.故选B.
学生用书P132
命题点1 复数的概念
例1 （1）[全国卷Ⅲ]复数11－3i的虚部是（ D ）
A.－310B.－110C.110D.310
解析 11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i）＝1+3i10＝110＋310i，所以复数的虚部为310.故选D.
（2）[2023全国卷甲]设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（ C ）
A.－2B.－1
C.1D.2
解析 ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
（3）[2022全国卷甲]若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝（ D ）
A.45B.42
C.25D.22
解析 因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－2）2＝22.故选D.
方法技巧
1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后根据复数的有关概念求解即可.
2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.
3.复数的概念中的常用性质
（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z1·z2；（z1z2）＝z1z2（z2≠0）.
（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜.
训练1 （1）[2023全国卷乙]设z＝2+i1+i2＋i5，则z＝（ B ）
A.1－2iB.1＋2i
C.2－iD.2＋i
解析 z＝2+i1+i2＋i5＝2+i1－1+i＝－i（2+i）－i2＝1－2i，所以z＝1＋2i，故选B.
（2）[2022全国卷乙]已知z＝1－2i， 且z＋az＋b＝0， 其中a，b为实数，则（ A ）
A.a＝1， b＝－2B.a＝－1， b＝2
C.a＝1， b＝2D.a＝－1， b＝－2
解析 由题意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b+1=0，2a－2=0，解得a=1，b＝－2，故选A.
（3）[2023武汉市5月模拟]设复数z满足z－1z+1为纯虚数，则｜z｜＝（ A ）
A.1B.2C.3D.2
解析 因为z－1z+1为纯虚数，所以可设z－1z+1＝bi（b≠0），则z＝1+bi1－bi.
解法一 因为z＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi）＝1－b21+b2＋2b1+b2i，所以｜z｜＝（1－b2）2（1+b2）2＋（2b）2（1+b2）2＝1+2b2＋b4（1+b2）2＝1，故选A.
解法二 ｜z｜＝｜1+bi1－bi｜＝｜1+bi｜｜1－bi｜＝1+b21+(－b）2＝1，故选A.
命题点2 复数的运算
例2 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，则z－z＝（ A ）
A.－iB.i
C.0D.1
解析 因为z＝1－i2+2i＝（1－i）22（1+i)(1－i）＝－12i，
所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12i＝－i.
故选A.
（2）[2022全国卷甲]若z＝－1＋3i，则zzz－1＝（ C ）
A.－1＋3iB.－1－3i
C.－13＋33iD.－13－33i
解析 zzz－1＝－1+3i（－1+3i)(－1－3i）－1＝－1+3i3＝－13＋33i.故选C.
方法技巧
1.复数运算的解题策略
（1）复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.
（2）复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母实数化.
2.复数运算中的常用结论
（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1－i1+i＝－i.
（2）a＋bii＝b－ai.
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.
训练2 （1）[2022新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，则z＋z＝（ D ）
A.－2B.－1
C.1D.2
解析 因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D.
（2）[2023重庆二调]已知复数z满足z＋3＝4z＋5i，i是虚数单位，则z2＝（ B ）
A.－2iB.2i
C.1＋iD.1－i
解析 令z＝a＋bi（a，b∈R），则a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，
∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，
∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故选B.
命题点3 复数的几何意义
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（ A ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为（6，8），位于第一象限，故选A.
（2）[全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝ 23 .
解析 如图所示，设复平面内复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，O为原点，则OP＝OZ1＋OZ2.
由题知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cs 30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.
方法技巧
1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.
2.思维拓展
｜z－z0｜表示在复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在复平面内复数z对应的点在以复数z0对应的点为圆心、r为半径的圆上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在复平面内复数z对应的点在复数z1，z2对应点所连线段的垂直平分线上.
训练3 （1）[2023湖北十一校联考]复数z满足｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，则｜z｜＝（ C ）
A.10B.13
C.32D.5
解析 解法一 由｜z－5｜＝｜z－1｜，得复数z对应的点到点（5，0）和到点（1，0）的距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得复数z对应的点到点（1，0）和到点（0，－1）的距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝－x上.因为直线x＝3和直线y＝－x的交点为（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3）2＝32，故选C.
解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（a－1）2＋b2，（a－1）2＋b2＝a2＋（b+1）2，解得a=3，b＝－3，则｜z｜＝a2＋b2＝32.
（2）[多选/2023石家庄市三检]已知复数z1＝1＋2i，复数z满足｜z－z1｜＝2，则下列说法正确的有（ AD ）
A.z1·z1＝5
B.5－2＜｜z｜＜5＋2
C.复数 z1在复平面内所对应的点为（－1，2）
D.若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则（x－1）2＋（y－2）2＝4
解析 因为复数z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在复平面内所对应的点为（1，－2），所以选项C错误；z1·z1＝（1＋2i）（1－2i）＝5，所以选项A正确；若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则可设复数z＝x＋yi，由｜z－z1｜＝2得，｜（x－1）＋（y－2）i｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以选项D正确；由D选项的分析知，若设复数z在复平面内对应的点为Z（x，y），则｜z｜＝x2＋y2，其几何意义为圆（x－1）2＋（y－2）2＝4上任意一点到原点的距离，圆心（1，2）到原点的距离为5，半径为2，所以5－2≤｜z｜≤5＋2，所以选项B错误.综上，选AD.
1.[命题点1/浙江高考]已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ C ）
A.1 B.－1 C.2D.－2
解析 因为a－1＋（a－2）i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.
2.[命题点1/2021全国卷乙]设2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，则z＝（ C ）
A.1－2iB.1＋2iC.1＋ID.1－i
解析 设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，代入2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
3.[命题点2]在复数范围内，设方程x2－2x＋k＝0的根分别为α，β，且｜α－β｜＝22，则实数k的值为 3或－1 .
解析 当方程x2－2x＋k＝0的根为虚数时，设α＝a＋bi，β＝a－bi，a，b∈R，则α＋β＝2a＝2，∴a＝1，αβ＝a2＋b2＝k，∴k＝1＋b2，∵｜α－β｜＝｜2bi｜＝22，∴b2＝2，∴k＝3；当x2－2x＋k＝0的根为实数时，α＋β＝2，αβ＝k，则｜α－β｜＝（α＋β）2－4αβ＝4－4k＝22，∴4－4k＝8，∴k＝－1.故k的值为3或－1.
4.[命题点3]设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ C ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±i
B.若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以（1，0）为圆心，1为半径的圆
C.若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
D.若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合中有且只有两个元素
解析 若｜z｜＝1，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数z对应，故A错误；
若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以（－1，0）为圆心，1为半径的圆，故B错误；
若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为π×（2）2－π×12＝π，故C正确；
若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合是以点（1，0），（0，－1）为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误.
5.[命题点1，2，3/2023沈阳市三检]在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（2，－1），（1，－3），则z2z1的虚部是（ D ）
A.iB.－iC.1D.－1
解析 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别是（2，－1），（1，－3），所以z1＝2－i，z2＝1－3i，所以z2z1＝1－3i2－i＝（1－3i)(2+i）（2－i)(2+i）＝5－5i5＝1－i，所以z2z1的虚部为－1，故选D.
学生用书·练习帮P327
1.[2024河南信阳开学考试]i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝（ C ）
A.2 025B.1－iC.iD.－i
解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝i，故选C.
2.[2024贵阳模拟]复数z满足（1＋2i）z＝3－i，则｜z｜＝（ A ）
A.2B.3C.2D.5
解析 解法一 因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i＝（3－i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝15－75i，所以｜z｜＝（15）2＋（－75）2＝2，故选A.
解法二 因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i1+2i，所以｜z｜＝｜3－i1+2i｜＝｜3－i｜｜1+2i｜＝105＝2，故选A.
3.[2023高三名校联考]已知a+2ii＝b＋i（a，b∈R），其中i是虚数单位，则a＋b＝（ B ）
A.3B.1C.－1D.－3
解析 解法一 因为a+2ii＝b＋i，所以（a+2i）ii2＝2－ai＝b＋i，所以－a=1，b=2，即a＝－1，b=2，所以a＋b＝1，故选B.
解法二 因为a+2ii＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b=2，所以a＋b＝1，故选B.
4.[2024安徽六校联考]复数z在复平面内对应的点为（3，－1），则1－i｜z｜＋i＝（ A ）
A.15－35iB.35－35i
C.15－15iD.－15－15i
解析 由复数的几何意义可知，z＝3－i，所以｜z｜＝2，所以1－i｜z｜＋i＝1－i2+i＝（1－i)(2－i）（2+i)(2－i）＝15－35i.故选A.
5.[2024江西四校联考]设a，b∈R且b≠0，若复数（a＋bi）3是实数，则（ A ）
A.b2＝3a2B.a2＝3b2
C.b2＝9a2D.a2＝9b2
解析 因为（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i为实数，（提示：完全立方和公式为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b－b3＝0.又因为b≠0，所以3a2＝b2，故选A.
6.[角度创新]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，i为虚数单位，则z1z2＝（ B ）
A.1－2iB.－5
C.5D.5i
解析 因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，所以z2＝－1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故选B.
7.[2023长沙重点中学模拟]设复数z满足z－z－＝2i，｜z｜＝2，复数z所对应的点位于第一象限，则1z＝（ B ）
A.1+3i2B.3－i4
C.－1+3i2D.3＋i4
解析 设z＝a＋bi（a∈R，b∈R），则z－＝a－bi，所以z－z－＝2bi＝2i，则b＝1，所以
｜z｜＝a2＋b2＝a2+1＝2，解得a＝±3.又因为复数z所对应的点位于第一象限，所以a＝3，所以z＝3＋i，所以1z＝13＋i＝3－i（3＋i)(3－i）＝3－i4，故选B.
8.[角度创新]若3+4iz是纯虚数，则复数z可以是（ D ）
A.－3＋4iB.3－4i
C.4＋3iD.4－3i
解析 解法一 因为复数3+4iz是纯虚数，所以设3+4iz＝mi（m∈R且m≠0），则z＝3+4imi＝（3+4i)(－i）mi（－i）＝4－3im，显然当m＝1时，z＝4－3i，故选D.
解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），则3+4iz＝（3+4i)(a－bi）（a＋bi)(a－bi）＝（3a+4b）＋（4a－3b）ia2＋b2，因为3+4iz是纯虚数，所以3a+4b=0，4a－3b≠0，所以ab＝－43，结合选项知，选D.
9.[开放题]已知复数z＝4+ai1+i，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的一个整数值可以为 0（答案不唯一） .
解析 z＝4+ai1+i＝（4+ai)(1－i）（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）2＝a+42＋（a－4）i2，因为z在复平面内对应的点在第四象限，所以a+42>0，a－42<0，解得－4＜a＜4，又a∈Z，所以a可取－3，－2，－1，0，1，2，3.
10.[2023广西联考]设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y1－i＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为y1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以y＝x+1，1－x=0，解得y=2，x=1，所以z＝1＋2i，所以z＝1－2i，所以z在复平面内对应的点为（1，－2），位于第四象限，故选D.
11.[2023广东六校联考]设复数z＝12＋32i，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中错误的是（ B ）
A.zz＝1
B.z2＝z
C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
解析 对于A，z·z＝（12＋32i）（12－32i）＝1，故A正确；对于B，z2＝（12＋32i）2＝－12＋32i，z＝12－32i，∴z2＝－z，故B错误；对于C，（12＋32i）2－（12＋32i）＋1＝－12＋32i－12－32i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确；对于D，z＝12＋32i，z2＝－12＋32i，z3＝z2·z＝－（12－32i）（12＋32i）＝－1，故D正确，故选B.
12.[多选]18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点O的距离.下列说法正确的是（ BCD ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±i
B.若在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i分别对应向量OA与OB（O为坐标原点），则向量BA对应的复数为9＋i
C.在复平面内，复数z对应的点为Z（－1，1），则z对应的点位于第三象限
D.若复数z满足1≤｜z｜≤2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为π
解析 对于A，令z＝12＋32i，满足｜z｜＝1，故A错误；对于B，由题知BA＝OA－OB，即在复平面内，BA对应的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i，故B正确；对于C，∵点
Z（－1，1），∴z在复平面内对应点（－1，－1），位于第三象限，故C正确；对于D，设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z满足1≤｜z｜≤2，∴1≤a2＋b2≤2，∴复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×（2）2－π×12＝π，故D正确.故选BCD.
13.[2024四川成都二中开学考试]已知复数z满足｜z－1｜＝｜z＋i｜（i为虚数单位），在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为 322 .
解析 解法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得（x－1）2＋y2＝x2＋（y＋1）2，即y＝－x，所以点Z0（2，1）与点Z（x，y）之间的距离d＝（x－2）2＋（y－1）2＝2x2－2x+5＝2（x－12）2＋92≥322，当且仅当x＝12时取等号.
解法二 由｜z－1｜＝｜z＋i｜及复数的几何意义知，点Z在点（1，0）与点（0，－1）连线的垂直平分线上，即点Z的轨迹方程为y＝－x.点Z0与点Z之间距离的最小值即点Z0（2，1）到直线y＝－x的距离，即2+12＝322.
14.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cs x＋isin x，该公式被称为欧拉公式，它在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数z＝eπ4i，根据欧拉公式可知，z1－i表示的复数的虚部为（ C ）
A.－22B.－22iC.22D.22i
解析 解法一 由题意知z＝eπ4i＝csπ4＋isinπ4＝22＋22i，根据复数的运算法则知z1－i＝22＋22i1－i＝22i，所以z1－i的虚部为22，故选C.
解法二 根据公式eix＝cs x＋isin x知，1－i＝2[cs（－π4）＋isin（－π4）]＝2e－π4i，因为z＝eπ4i，所以z1－i＝eπ4i2e－π4i＝22eπ2i＝22（csπ2＋isinπ2）＝22i，所以z1－i的虚部为22，故选C.
15.[与数列综合]已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝ －1＋i .
解析 解法一 因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，可知数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i.
解法二 由an＋1＝ian＋i＋1，可得an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所以数列{an－i}是以i为首项，i为公比的等比数列，所以an－i＝in，则an＝i＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
复数的概念
2023全国卷乙T1；2023全国卷甲T2；2022全国卷乙T2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022浙江T2；2021全国卷甲T3；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅠT1；2020全国卷ⅢT2；2019全国卷ⅡT2
本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.
复数的运算
2023新高考卷ⅠT2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022新高考卷ⅡT2；2021新高考卷ⅠT2；2021新高考卷ⅡT1；2021全国卷乙T1；2021全国卷甲T3；2020新高考卷ⅡT2；2019全国卷ⅢT2
复数的几何意义
2023新高考卷ⅡT1；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅡT15；2020北京T2；2019全国卷ⅠT2；2019全国卷ⅡT2
名称
含义
复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部为① a ，虚部为② b ，i为虚数单位且i2＝③ －1 .
复数分类
a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔④ a＝0且b≠0 （a，b∈R）.
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.
注意 实数能比较大小，虚数不能比较大小.
共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔⑤ a＝c且b＝－d （a，b，c，d∈R）.
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥ 实轴 ，y轴叫做⑦ 虚轴 .
说明 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数.
复数的模
设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧ a2＋b2 .
运算法则
运算形式
加法
z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨ （a＋c）＋（b＋d）i .
减法
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩ （a－c）＋（b－d）i .
乘法
z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝⑪ （ac－bd）＋（ad＋bc）i .
除法
z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi)(c－di）（c＋di)(c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋di≠0）.
加法运算律
交换律：z1＋z2＝⑫ z2＋z1 .结合律：（z1＋z2）＋z3＝⑬ z1＋（z2＋z3） .
乘法运算律
交换律：z1z2＝z2z1.结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
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