[数学]河南省五市2024届高三第二次联合调研检测试题(解析版)

这是一份[数学]河南省五市2024届高三第二次联合调研检测试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了 若复数，则， 是的内角的对边，若，则， 等比数列满足， 若向量满足，则， 定义在上的函数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】，
则．
故选：A．
2. 是的内角的对边，若，则（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】由以及余弦定理，
得，解得（负值舍去）．
故选：B．
3. 等比数列满足：，，则等于（ ）
A. 128B. 256C. 512D. 1024
【答案】C
【解析】设等比数列an的公比为，则且，
即，解得，则.
故选：C.
4. 若向量满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】因为向量，满足，，，
所以，即，
所以，则．
故选：A．
5. 将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（ ）
A 72种B. 108种C. 126种D. 144种
【答案】C
【解析】由题意可知，分两种情况讨论，
①工厂安排1人，有种，
②工厂安排2人，有种，
所以不同的安排方法有种．
故选：C．
6. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，
根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，
则必须且，解得；
若时，,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
7. 双曲线的左､右焦点分别为，过作圆：的切线，切点为，该切线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，则，，
，为的中点，
，，，
设,，，
，，
点在渐近线上，，
离心率．
故选：B．
8. 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，，
依题意，可知，，

则，，，解得，，
由于，即异面直线和的距离为，
由于长方体的左右侧面为正方形，所以，
取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以，
又平面，故平面，
四面体的外接球半径为，球心为，
由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，
过作球的一个轴截面，
所以，且，
，且，
解得，
所以的轨迹长度为．
故选：D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列四个命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
【答案】CD
【解析】A. 若，，则或相交，所以该选项错误；
B. 若，，，，则或相交，所以该选项错误；
C. 若，，则由面面平行的性质定理得，所以该选项正确；
D. 若，，，，则，所以，所以该选项正确.
故选：CD.
10. 定义在上的函数满足，则（ ）
A. 是周期函数
B.
C. 的图象关于直线对称
D.
【答案】ABC
【解析】由可得，
所以，所以的周期为4，故A正确；
由，令，
则，所以，
又，故B正确；
由，可知函数关于对称，
又的周期为4，则，
所以，即函数关于对称，
则的图象关于直线对称，故C正确；
由，且关于对称，则，
所以，又，且，
则，又，所以，
，故D错误
故选：ABC.
11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为D.的最大值为
【答案】BC
【解析】设三角形的斜边长为，则 ①，
所以，
对于A，当时，由①式得，，
所以，故A错误；
对于B，的对称轴为 ，，
当时，，即的图像关于直线对称，故B正确；
对于CD，，
因为，当且仅当时，等号成立，
又由①可得，，
所以，
因为为锐角，所以，所以,，
所以,，所以,，
所以,，所以，
即，故C正确，D错误．
故选：BC．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中x的系数为______.
【答案】
【解析】在的的展开式中，
通项公式为，
令，解得；
展开式中的系数为：．
故答案为：．
13. 函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】显然不是函数的零点，故，，
令，则，
由题意可得，与的图象有一个交点，
当时，，在1,+∞单调递增，
当且时，，在单调递减，且，
的大致图象如图所示，结合函数图象可知，时，符合题意．
14. 抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为__________，__________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为,，准线方程为，
设，则，，
当位于第一象限时，,．
是等边三角形，，
设,，
则，
，
化简得，解得，
当时，，
当时，，
此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去，
当位于第四象限时，,．
是等边三角形，，
设,，
则，
，
化简得，解得，
当时，，
此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去，
，
当时，，，
，
综上可得，直线的斜率为，或．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：，并求数列的前项和.
（1）解：当时，；
当时，，
，当时，适合上式，
故.
（2）证明：，
成立，
，
，
，
，
累加得，
即，.
16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，为的中点，且.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正弦值.
（1）证明：取中点为中点为，连接，
因为为的中点，所以，且，
因为，所以，且，
所以四边形是平行四边形，故，
因为，所以，所以，
因为为等边三角形，为的中点，所以
因为平面平面
所以平面，平面，所以，
所以为等腰三角形，又，所以为等边三角形，
所以.
（2）解：设，因为，所以，
因为和均为等边三角形，为的中点，
所以，所以，所以，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面，平面的法向量分别为，
则，令，则，
由，令，则，
所以，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值为.
17. 某班欲从6人中选派3人参加学校投篮比赛，现将6人均分成甲､乙两队进行选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中的概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，.现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）.
（1）若，求甲､乙两队共投中5次的概率；
（2）以甲､乙两队投中次数的期望为依据，若乙队获胜，求的取值范围.
解：（1）记“甲，乙两队共投中5次”为事件，则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次，
则，
甲､乙两队共投中5次的概率为；
（2）记甲､乙两队投中次数分别为，
则，所以，
的取值为，则，
，
，
，
所以，的分布列为
那么乙队投中次数的期望为
若乙队胜，则，
解得，所以的取值范围为.
18. 已知函数在定义域内有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
（1）解：，
由题知在0,+∞有两个不等实根（设，
所以，解得.
故实数的取值范围是0,1.
（2）证明：由（1）知，
，
令，
记则故在0,1上单调递增，
又，
所以，使，即，
当时，故在上单调递减；
当时，故在上单调递增；
故，
综上，成立.
19. 如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；
（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）解：设，则，
由知，
，，
在上，，即，
故曲线的方程为：.
（2）证明：由题知 直线与坐标轴不平行，不妨设，
联立，得，
解得或（舍去），，
此时，同理，
当时，，
，
直线的方程为，
易知直线过定点，
当时，直线斜率不存在，此时方程为，
综上，直线过定点.
（3）解：假设存在使得，设，
因为，
所以，即，即，
关于轴对称，设，
易知，故方程为：，
令，得，同理，
，又，解得，
故存在点符合题意.
0
1
2
3