[数学]安徽皖南八校2025届高三上学期8月摸底考试试题(解析版)

这是一份[数学]安徽皖南八校2025届高三上学期8月摸底考试试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】，
所以复数在复平面内对应的点在第二象限．
故选：B．
2. 已知集合．则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题，
因为函数单调递增，
所以，
所以，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：D.
3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】因为该组数据共6个，且，
所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6，
则，解得．
故选：B．
4. 已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】球体积为，可得其半径，
圆柱的底面直径为2，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为，
所以圆柱的侧面积为.
故选：A．
5. 已知，则值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】因为，所以，
，即，
所以，解得（负根舍去）.
故选：C．
6. 已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂
足分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设点，则，即，
又两条渐近线方程为，即，
故有，
所以．
故选：B．
7. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，
则，即①，
又因为函数为奇函数，
则，即②，
联立①②可得，所以．
故选：D．
8. 数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（ ）
A. 45B. 46C. 90D. 91
【答案】B
【解析】由题设可得，其中，
故，且奇偶交错出现．
若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；
若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，
又，
当时，，
考虑时，调整为3，则对应的可增加，
依次对诸（至少一个）调整为3后，
即，
从上述的调整过程可得，取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性），
当时，取遍了中的奇数，合计46个，
故选：B．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量满足：，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A，因为，所以，
解得，故A错误；
对B，由上知，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确．
故选：BCD．
10. 设函数，定义域为，若关于不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A. 的极大值为0
B. 点是曲线的对称中心
C. 直线与函数的图象相切
D. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】对于A，由，解得或，
所以，
则，
当时，f'x<0；当或时，f'x>0；
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为f1=0，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，设切点为，则，解得
所以直线与函数的图象相切于，故C正确；
对于D，由A选项知在上单调递增，在上单调递减，
又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值，
由图可知，的取值范围为，故D错误．

故选：ABC．
11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A. 曲线的图象由两个圆构成
B. 的最大值为
C. 的取值范围为
D. 直线与曲线有且仅有3个交点
【答案】AC
【解析】对于A中，由，
得，
即，即，
所以或，
即或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确；
对于B中，由表示点到原点距离的平方，
最大值为，所以B错误；
对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为，
则点到该直线的距离，解得，
即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为，
点到直线的距离，则直线与圆相切，
设过点且与圆相切的直线方程为，
则点到该直线的距离，解得，
又由表示是点到点的斜率，
故的取值范围为，所以C正确；
对于D中，由C项可知直线与圆均相切，
所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误．
故选：AC．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是_______．
【答案】
【解析】由题意知，
因为，可得，解得，所以，
所以在上的投影向量为．
13. 已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则______．
【答案】
【解析】如图所示，设函数与的交点分别为，

由得，所以，
则，
由对称性和已知可得为等腰直角三角形，
所以点到直线的距离为，即，解得．
14. 用个不同的元素组成个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作，且当时，．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为________．
【答案】
【解析】根据题干可列出对应取值表格如下：
即个人集齐全4种卡片等价于7个不同元素组成4个非空集合，
再将4个非空集合对应4种卡片，所以．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
解：（1）由，得，①
由，得，②
由①②联立，得，
由，得，所以，
又由B∈0,π，得．
（2）因为的面积为，
所以，得．
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，
所以，可得，
所以的周长为．
16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
解：（1）由题意知，解得，
则椭圆的方程为．
（2）易知四边形为平行四边形，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立直线与椭圆消去并整理得，
由韦达定理得
，
因为与平行，所以这两条直线的距离，
则平行四边形的面积．
17. 如图，在四棱锥中，，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，点为棱的中点，求二面角的余弦值．
（1）证明：因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以，即．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取的中点，连接，
由（1）知，因为，易知，
因为为的中点，为的中点，所以，
所以平面，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则
令，则，故，
故，
设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，
故二面角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）若为函数的极值点，求的值；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）由题，故，解得，
此时，故定义域1,+∞，，
所以当时f'x<0，x∈2,+∞时，f'x>0，
所以为函数的极值点，故.
（2）设，定义域，
，
设，
所以，所以在上单调递减，
又，在上连续，
所以存在使，
当时，gx>0，即h'x>0，函数hx单调递增，
当时，gx<0，即h'x<0，函数hx单调递减，
所以函数hx的最大值为
，
因为恒成立，
即恒成立，
设，则，所以单调递增，
所以，即恒成立，
因为在上单调递减，且gx0=0，
所以只需恒成立，即，
解得.
故的取值范围是.
19. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
（1）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
（2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
（3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
（1）解：因为，则，
又，故，即，数列是“凹数列”．
（2）解：因为等差数列bn的公差为，
所以，
因为数列是凹数列，
所以对任意恒成立，
即
所以，即，
因为，
解得．
所以的取值范围为．
（3）证明：先证明必要性：
因为为“凹数列”所以对任意的，都有，
即，
所以对任意的，当时，
有，
所以，
又
，
所以．必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的，当时，有，
取，则有，
即，所以为“凹数列”.1
2
3
4
1
1
2
1
1
3
1
3
1
4
1
7
6
1
5
1
15
25
10
6
1
31
90
65
7
1
63
301
350