2023届安徽省皖南八校高三上学期开学考试数学试题含解析

2023届安徽省皖南八校高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，求出函数，的值域，得到集合，取交集得答案.

【详解】因为，

所以，

故选：B.

2．若（为虚数单位），则复数（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】由题，由，结合复数运算法则计算即可

【详解】因为，所以，

故选：.

3．已知向量，若，则的值为（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】由即可列等式解出

【详解】由题可知，，解得.

故选：B

4．设，，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】根据指数函数的性质可得,由指数函数的性质可得，,,所以,故选A.

【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

5．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（       ）

A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少

B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14

D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456

【答案】C

【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频数大小，由此判断A，再计算样本数据的中位数和平均数，判断B，C，再求锻炼天数超过15天的频率，由此估计概率，判断D.

【详解】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，故选项错误，

由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项错误；

由频率分布直方图可得，，故选项C正确；

由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为，

故选项错误.

故选：C.

6．已知等差数列的前项和为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，解出数列的等差中项和首项，代入前项和公式，计算得.

【详解】由题意，设数列公差为，因为，

解得，所以.

故选：B.

7．“”是“直线与直线平行”的（       ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；

【详解】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；

当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.

综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.

故选：A.

8．若曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由出导函数，由导数的几何意义求得切点坐标，由此得切线方程．

【详解】设切线的切点坐标为，

，

所以或，所以切点坐标为或

所求的切线方程为或.

故选：C.

9．函数的图象的一个对称中心为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正切型函数的对称中心为 ，求解即可.

【详解】由，可得，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以为图象的一个对称中心，

故选：D

10．如图，在正方体中，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，若平面，则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】先证平面、平面，则可证平面平面，

，则可证平面，即可得时，有最小值，最后结合几何关系求长度即可

【详解】取的中点分别为，连接，

四边形中，，且，则四边形为平行四边形，则，

同理易得四边形为平行四边形，则，

因为平面平面，所以平面，

又因为平面平面，所以平面，，平面，所以平面平面，

因为平面，则平面，

当时，有最小值，则易求出为的中点，，所以的最小值为，

故选：B.

11．已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（       ）

A．2 B．8 C．2或8 D．6

【答案】C

【分析】设，依题意可得，消元解得即可.

【详解】解：设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，

以点为圆心的圆与的准线相切，所以，

圆与轴相交的弦长为6，所以，

所以，解得或.

故选：C.

12．已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（       ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】D

【分析】由已知可得，由此证明函数的周期性，确定其周期，再利用周期性的性质确定.

【详解】函数的图象关于直线对称，

函数的图象关于直线对称，

，

取可得，

∴

又对有，

取可得，

所以.，，

，

，即，

的周期.

故选：D.

二、填空题

13．（x﹣）4的展开式中的常数项为_____.

【答案】6；

【分析】先得出二项式的展开式中的通项，令，可得答案.

【详解】因为（x﹣）4的展开式中的通项为：，令，得，

所以（x﹣）4的展开式中的常数项为，

故答案为：6.

【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式，求二项式展开式中的特定项，属于基础题.

14．已知，则___________.

【答案】

【分析】先求出，再利用和差角公式即可求解.

【详解】因为，所以，所以.

因为，

所以

故答案为：

15．已知正四棱锥的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为___________.

【答案】

【分析】由条件确定球心位置，再由等体积法求球心到四棱锥侧面的距离.

【详解】如图所示，该四棱锥为，底面中心为，外接球球心为，

设，由题意，所以

所以，解得，

因为是等腰三角形，，边上的高为，

所以，

又，，

设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，即，解得，

故答案为：.

16．已知双曲线的右焦点为，过点斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，点，若的外心的横坐标为0，则直线的方程为___________.

【答案】或

【分析】由直线与双曲线右支有2个交点求出的范围，再由是外心，由外心几何性质求出坐标，利用建立方程求解即可.

【详解】由知，设直线的方程为，

联立方程组得，

由直线与双曲线右支交于两点可得       

解得，即或.

设，则，

因为，

所以线段的中点为，

且.

设，因为在线段的垂直平分线上，所以，

得，即，故.

因为，且，

所以，

化简得，

得或（舍去），

所以直线的方程为，

即直线的方程为或.

故答案为：或

三、解答题

17．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由递推关系及等比数列的定义，等比数列的通项公式求解；

（2）根据等比数列的求和公式化简后即可得证.

【详解】(1)由，得，

则是等比数列，首项为1，公比为3，

所以.

(2)证明：由（1）知，

，

又因为，

所以.

18．已知的内角所对的边分别是，满足.

(1)求角；

(2)若，且外接圆的直径为，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，把条件进行化简整理，利用辅助角公式，化为单角表示，由角的取值范围，求角；

（2）结合正余弦定理，整理化简得的值，根据（1）代入面积公式计算得答案.

【详解】(1)由正弦定理得，

因为，所以，即，

因为，所以，

所以，解得；

(2)设的外接圆半径为，则，

根据正弦定理，得，所以，

由余弦定理得，即，

所以，

所以的面积为.

19．产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试.某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.

(1)若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案.

（i）求5个产品全部测试合格的概率；

（ii）求4个产品测试合格的概率.

(2)若测试合格的产品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的产品个数.

【答案】(1)（i）；（ii）

(2)选择甲方案测试的产品个数为时，测试合格的产品个数的期望不小于3.

【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4个样品测试合格分两种情况,第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格, 第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案测试合格的样品个数为,则，分类讨论即可求解

【详解】(1)（i）因为3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案，

所以5个产品全部测试合格的概率为；

（ii）4个产品测试合格分两种情况，

第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格，

此时概率为；

第二种情况，2个产品甲方案测试合格和2个产品乙方案测试合格，

此时概率为；

所以4个产品测试合格的概率为；

(2)设选择甲方案测试的产品个数为，则选择乙方案测试的产品个数为，并设通过甲方案测试合格的产品个数为，通过乙方案测试合格的产品个数为，

当时，此时所有产品均选择方案乙测试，则，

所以，符合题意；

当时，此时所有产品均选择方案甲测试，则，

所以，不符合题意；

当时，，

所以，

若使，，解得，则，

综上，选择甲方案测试的产品个数为时，测试合格的产品个数的期望不小于3.

20．如图，在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先证明和，再利用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）以为轴､轴､z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】(1)为的中点，.

为的中点，.

平面，平面，

平面.

(2)，为的中点，，

.

又平面，

平面.

分别以为轴､轴､z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以,,,,,

所以.

记为平面的法向量，

则，即，不妨令，则

而平面的法向量，

易知二面角的平面角为锐角记为，则.

21．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)由条件列出的方程，解方程求出，可得椭圆方程；(2)联立方程组，结合设而不求法求出即可.

【详解】(1)因为左焦点坐标为，所以，

当点在上､下顶点时，最大，又的最大值为.

所以，

由得，

所以椭圆的标准方程为；

(2)当直线的斜率为0时，直线的方程为，

直线与椭圆没有交点，与条件矛盾，

故可设直线的方程为，

联立直线的方程与椭圆方程可得，，

化简可得，

所以，

由已知方程的判别式，

又直线过点，所以，

所以，所以，

设，

则，，

因为

所以，

所以

方法二：设直线的方程为，

由椭圆的方程，得.

联立直线的方程与椭圆方程，得，

即，

，

所以.

因为直线过定点，所以，代入，

得.

【点睛】第二小问解决的关键在于联立方程组利用设而不求表示目标表达式并化简.

22．已知函数.

(1)若有两个极值点，求实数的取值范围；

(2)当时，求函数的零点个数.

【答案】(1)

(2)两个零点

【分析】(1)由已知可得方程有两解，利用导数研究函数的性质，由此确定的取值范围；

(2)由导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理求零点个数.

【详解】(1)的定义域为，由题意得在上有两解，

即有两解.

令，即的图象与直线有两个交点.

，得，当时，单调递增；

当时，单调递减，

，，

当趋于正无穷时，趋于零，

，，

∴的取值范围是.

(2)，，

令，则，

当时，，

所以在上单调递增

因为，，

   存在唯一的，使得，

当时，单调递减；

当时，单调递增，.

又，

.

又，在上单调递减，

在上有一个零点.

在上单调递增，且，

在上有一个零点.

综上可知，函数在上有两个零点.

【点睛】本题第二小问解决的关键在于利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理判断函数的零点个数.