高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第26练数列的概念及简单表示(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第26练数列的概念及简单表示(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。


一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P8习题4.1T2变式）数列中，，，则（ ）
A．8B．16C．12D．24
2.（人A选择性必修二P8习题4.1T3变式）观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ）
A．B．C．D．
3. （人A选择性必修二P8习题4.1T4变式）已知，，则________.
4. （人A选择性必修二P8习题4.1T5变式）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．
二、考点分类练
(一)根据递推数列通项确定数列指定项
5. (2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期月考)设数列满足，且，则（ ）
A．1B．2C．4D．9
6. （2022届江西省南昌市高三第一次模拟）数列中，，，则（ ）
A．8B．16C．12D．24
(二)由数列前若干项确定数列通项或指定项
7．（2022届甘肃省民乐县高三第二次诊断）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第12项B．第13项C．第24项D．第25项
8. （2022届河南省联考高三上学期核心模拟卷）观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ）
A．B．C．D．
(三)数列的单调性
9. （2022届北京大学附属中学高三三模）已知数列满足，其中，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
10．已知数列是递增数列，且满足，且的取值范围是___________.
(四)周期数列
11. (2022届海南省琼海市高三三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
12. （2022届上海市静安区高考二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
(五)求递推数列的通项
13. 已知数列满足，且，则数列__________
14. 数列满足：，，则的通项公式为_____________.
(六)与的关系及应用
15. 已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
16. （2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期全真模拟）设数列的前项和为，，则_____.
三、最新模拟练
17. （2022届青海省西宁市高三二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
18. （2022届北京市第八十中学高三下学期考前热身数学练）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.
不妨记第个图中的图形的周长为，则（ ）
A．B．C．D．
19. （2022届浙江省金丽衢十二校高三下学期5月第二次联考）己知数列满足：，．记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
20.（多选）（2022届广东省高三模拟押题卷） 已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
21. （多选）（2022届广东省汕头市高三三模）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A．B．是奇数
C．D．
22. （2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真）如图1是第七届国际数学数育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记的长度组成数列，则__________．
四、高考真题练
23. （2022高考全国卷乙）嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列：,,,…,依此类推,其中．则（）
A. B. C. D.
24．(2016高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任
意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个B．16个C．14个D．12个
25．(2018高考全国卷数Ⅰ)记为数列的前项和．若,则
26．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
五、综合提升练
27.（2022届安徽省六安市舒城中学高三下学期仿真模拟）已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）
A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项
28.（2022届浙江省绍兴市柯桥区高三适应性考试）已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
29.（多选）已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为单调递增的等差数列
D．满足不等式的正整数n的最小值为63
30.（2022届上海市松江二中、奉贤中学、金山中学三校高三下学期3月联考）已知正整数数列满足：，则____________
第26练 数列的概念及简单表示
一、课本变式练
1.（人A选择性必修二P8习题4.1T2变式）数列中，，，则（ ）
A．8B．16C．12D．24
【答案】B
【解析】因为数列中，，，所以令，则，即，
令，则，即
2.（人A选择性必修二P8习题4.1T3变式）观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】观察下列数的特点，，，，，，，，，…，可知：，，，，得．故选．
3. （人A选择性必修二P8习题4.1T4变式）已知，，则________.
【答案】
【解析】由已知可得，，，.
4. （人A选择性必修二P8习题4.1T5变式）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．
【答案】55
【解析】根据题意，三角形数的每一项都是数列的前n项的和，即
二、考点分类练
(一)根据递推数列通项确定数列指定项
5. (2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期月考)设数列满足，且，则（ ）
A．1B．2C．4D．9
【答案】D
【解析】因为，所以.故选D
6. （2022届江西省南昌市高三第一次模拟）数列中，，，则（ ）
A．8B．16C．12D．24
【答案】B
【解析】因为数列中，，，所以令，则，即，
令，则，即，故选B
(二)由数列前若干项确定数列通项或指定项
7．（2022届甘肃省民乐县高三第二次诊断）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第12项B．第13项C．第24项D．第25项
【答案】D
【解析】根据题意，由，得，故是这个数列的第25项.故选D.
8. （2022届河南省联考高三上学期核心模拟卷）观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】观察下列数的特点，，，，，，，，，…，可知：，，，，得．故选．
(三)数列的单调性
9. （2022届北京大学附属中学高三三模）已知数列满足，其中，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】依题意，因为，其中，当时，，
当时，，，两式相除有，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为
故选A
10．已知数列是递增数列，且满足，且的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，得，
因为是递增数列，所以也是递增数列，
所以是公比为的等比数列，且，即．
(四)周期数列
11. (2022届海南省琼海市高三三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】D
【解析】因为，，，所以，则，，，…，所以数列是以3为周期的数列，则.
故选D.
12. （2022届上海市静安区高考二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
【答案】
【解析】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
(五)求递推数列的通项
13. 已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】由两边取倒数可得，即，所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以
14. 数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
(六)与的关系及应用
15. 已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，所以，
所以，故选C
16. （2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期全真模拟）设数列的前项和为，，则_____.
【答案】
【解析】当时，，当时，，所以，
也符合上式，所以.
三、最新模拟练
17. （2022届青海省西宁市高三二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【解析】当时， ，当时，由得，
两式相减可得，即，所以，可得，所以.
故选C.
18. （2022届北京市第八十中学高三下学期考前热身数学练）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.
不妨记第个图中的图形的周长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长；
第二个图有12条边，各边长为，故周长；
第三个图有48条边，各边长为，故周长；
……
所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条，
边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为，
故.故选C
19. （2022届浙江省金丽衢十二校高三下学期5月第二次联考）己知数列满足：，．记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，…，依次类推，则；
由得：，
，
，
令，为的前项和，，
又，为递减数列，即为递减数列，，
（当且仅当时取等号），
，
，，，
，即，，
，，
，.故选B．
20.（多选）（2022届广东省高三模拟押题卷） 已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为，，，
，，…，，
所以，，
，
累加得，
∴，，
因为，，所以，
故选ABC．
21. （多选）（2022届广东省汕头市高三三模）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A．B．是奇数
C．D．
【答案】AD
【解析】易知，数列满足递推关系．
选项A：；故A正确；
选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，恰好能被3整除，且为偶数，所以也为偶数，故B错误；
选项C：若选项C正确，又，则，
同理，，依次类推，可得，显然错误，故C错误；
选项D：，又，故D正确
22. （2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真）如图1是第七届国际数学数育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记的长度组成数列，则__________．
【答案】
【解析】由题意知：.
四、高考真题练
23. （2022高考全国卷乙）嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列：,,,…,依此类推,其中．则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一：因为,所以,,得到,
同理,可得,,又因为,故,；以此类推,可得,,故A错误；,故B错误；,得,故C错误；
,得,故D正确.故选D.
解法二：特例法,取,则,则,,,由此可排除ABC,故选D.
24．(2016高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任
意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个B．16个C．14个D．12个
【答案】C
【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.
25．(2018高考全国卷数Ⅰ)记为数列的前项和．若,则
【答案】
【解析】为数列的前项和．若，①当时，，解得，
当时，，②，由①﹣②可得，∴，
∴是以为首项，以2为公比的等比数列，∴．
26．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
【答案】
【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
五、综合提升练
27.（2022届安徽省六安市舒城中学高三下学期仿真模拟）已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）
A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项
【答案】D
【解析】数列各项均为正，
，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾），
所以数列中，时，，是最小项．
又，，所以，，
记，则，两边求导得，即，
时，，是减函数，
所以时，是递减数列，因此有上界，时，，
即，
设，，时，，是增函数，
经过计算，得，而，所以时满足的满足，即，
从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项．
故选D．
28.（2022届浙江省绍兴市柯桥区高三适应性考试）已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于C，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于B，可取，则，
所以，即，
故累加后可得，整理得到，
时，也符合该式，从而.
此时
，
故成立，
若成立，取，则，
但此时，，不成立，故B错误.
对于D，
可令，则，
当且仅当时等号成立，满足题干条件，
此时，，解得：，故D选项可能成立，故选D
29.（多选）已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为单调递增的等差数列
D．满足不等式的正整数n的最小值为63
【答案】ABD
【解析】因为，所以，所以，
则，解得，
，所以，，所以A选项正确，B选项正确；
因为，所以，
所以，又，
所以，
所以为单调递增的等差数列，
则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；
，
则，
，
解得，又，
所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确．故选ABD．
30.（2022届上海市松江二中、奉贤中学、金山中学三校高三下学期3月联考）已知正整数数列满足：，则____________
【答案】630
【解析】由可得：
我们可以看到的下标：
它们满足的递推关系：①，
对归纳：时已经成立，设已有，则由条件，
，，，，归纳易得：
，，②
于是，当时，，
因此，即①式成立，
根据①式，，
令，所以，，所以，
因此，，
而，，
则，，故由②式可得，
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