新高考物理二轮复习讲与练专题1.4 万有引力定律与航天（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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一、考情分析
二、思维导图
三、讲知识
1．重力和万有引力的关系
(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有Geq \f(Mm,R2)＝mg，其中g为星球表面的重力加速度．
(2)考虑自转时，在两极上才有eq \f(GMm,R2)＝mg，而赤道上则有eq \f(GMm,R2)－mg＝meq \f(4π2,T2)R.
2.一条黄金代换：GM＝gR2.
3两条基本思路．
①天体附近：Geq \f(Mm,R2)＝mg.
②环绕卫星：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mr(eq \f(2π,T))2.
4.两类卫星．
①近地卫星：Geq \f(Mm,R2)＝mg＝meq \f(v2,R).
②同步卫星：Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)(eq \f(2π,T))2(T＝24 h)．
5.卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反．
6.双星：eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L
四、讲重点
重点1 中心天体质量和密度的估算
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq \f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
(1)由万有引力等于向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)；
(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)；
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
3.估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区
(1)两条思路
(2)三个常见误区
①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。
③在考虑自转问题时，只有两极才有eq \f(GMm,R2)＝mg天体。
重点2 卫(行)星运行参量的分析
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．必须牢记同步卫星的两个特点
(1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．
(2)所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上．
3.必须牢记近地卫星的三个特点
①轨道半径＝地球半径．
②卫星所受万有引力＝mg.
③卫星向心加速度＝g.
4.宇宙速度的理解与计算
第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)得v1＝eq \r(gR)＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))≈85 min.
5.环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mr·(eq \f(2π,T))2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④区别轨道半径与距天体表面的高度。
重点3 航天器（卫星）的变轨问题
卫星速度改变时，卫星将变轨运行．
1．速度增大时，卫星将做离心运动，周期变长，机械能增加，稳定在高轨道上时速度比在低轨道上小．
2．速度减小时，卫星将做向心运动，周期变短，机械能减少，稳定在低轨道上时速度比在高轨道上大．
3．物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.因在A点加速，则vA＞v1，因在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知T1＜T2＜T3.
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3.
4.航天器（卫星）变轨应注意的五个问题
(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。
(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。外轨道的速度大于内轨道的速度。
(5)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k。
5.求解卫星运行问题的“一二三”
重点4 双星与多星问题
解决双星、多星问题，要抓住四点：一抓双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径；二抓星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供；三抓星体的角速度相等；四抓星体的轨道半径不是天体间的距离.要利用几何知识，寻找它们之间的关系，正确计算万有引力和向心力.
1．双星模型
(1)模型条件：两颗恒星彼此相距较近；两颗恒星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；两颗恒星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)模型特点
①两颗恒星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al( 2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al( 2,2)r2.
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③半径、线速度与质量成反比：圆心在两颗恒星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比．两颗恒星做匀速圆周运动的线速度与恒星的质量成反比．
（3）.处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq \f(m1m2,L2)＝m2ω2r2。
2．三星模型
(1)如图1所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动， 另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：eq \f(Gm2,r2)＋eq \f(Gm2,（2r）2)＝ ma向．两行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(2)如图2所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即eq \f(Gm2,L2)×2×cs 30°＝ma向，其中L＝ 2rcs 30°. 三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
3.双星与多星模型对比及解题思路
重点1 中心天体质量和密度的估算
例1：（2023届·江苏如皋市高三上学期开学考试）我国中继卫星“鹊桥”是运行于地月拉格朗日 SKIPIF 1 < 0 点的通信卫星， SKIPIF 1 < 0 点位于地球和月球连线的延长线上，“鹊桥”可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知“鹊桥”质量远小于月球质量，可忽略“鹊桥”对月球的影响，地球与月球的中心距离为r， SKIPIF 1 < 0 点与月球的中心距离为 SKIPIF 1 < 0 ，月球绕地球公转周期为T，引力常量为G。求：
（1）“鹊桥”在 SKIPIF 1 < 0 点的加速度大小a；
（2）地球质量与月球质量的比值。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）“鹊桥”在 SKIPIF 1 < 0 点的加速度
SKIPIF 1 < 0
（2）设“鹊桥”质量为m，地球质量为 SKIPIF 1 < 0 ，月球质量为 SKIPIF 1 < 0 ，对“鹊桥”
SKIPIF 1 < 0
对月球
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
训1：（2023届·湖南永州市一中高三上学期开学考试）2016年8月，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空。如图所示为“墨子号”卫星在距离地球表面500km高的轨道上实现两地通信的示意图。若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A. 工作时，两地发射和接收信号的雷达方向一直是固定的
B. 不能估算出“墨子号”卫星绕地球做匀速圆周运动速度
C. 可以估算出“墨子号”卫星所受到的万有引力大小
D. 可以估算出地球的平均密度
【答案】D
【解析】
A． 由于地球自转的周期和“墨子号”的周期不同，转动的角速度不同，所以工作时，两地发射和接受信号的雷达方向不是固定的，故A错误；
B．根据
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可以计算出匀速圆周运动的速度，故B错误；
C． 由于“墨子号”卫星的质量未知，则无法计算“墨子号”所受到的万有引力大小，故C错误；
D． 根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度和半径可以求出地球的质量，结合地球的体积可以求出地球的平均密度，故D正确。
故选：D。
重点2 卫(行)星运行参量的分析
例2：（2023届·安徽省卓越县中联盟高三上学期开学考试）中国空间站将在2022年内完成在轨完全体建造任务，其设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量达90余吨，届时由核心舱、实验舱梦天、实验舱问天、载人飞船和货运飞船五个模块组成的中国空间站将代表中国航天事业的新高度。已知中国空间站运行轨道高度约400公里左右，因所在空间存在稀薄的空气，空间站无动力自主运行时轨道高度会缓慢下降，一个月会下降约3公里，这就要求在必要的时候启动发动机抬升空间站的轨道做轨道维持。下列对处于自主无动力运行时空间站所做的判断中正确的是（ ）
A. 运行速度会逐渐减小B. 运行周期会逐渐增大
C. 加速度会逐渐增大D. 机械能会逐渐增大
【答案】C
【解析】
ABC．空间站受空气阻力作用速率减小，以致所受地球的万有引力大于所需向心力，故轨道缓慢下除。但在时间内仍可按匀速圆周运动处，由 SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以，当道半径r减小时，线速度v增大；周期T减小；向心加速度 SKIPIF 1 < 0 增大，AB错误，C正确；
D．由功能关系“ SKIPIF 1 < 0 ”可知，因空气阻力做负功，所以空间站机械能减小，D错误。
故选C。
训2：（2023·湖北黄冈市高三上学期期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。北斗系统的空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成，地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道卫星的半径。设地球同步轨道卫星和中圆轨道卫星的线速度分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；角速度分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；向心加速度分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；周期分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 。以下说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
A．根据
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由于地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道卫星的半径，则有
SKIPIF 1 < 0
A错误；
B．根据
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由于地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道卫星的半径，则有
SKIPIF 1 < 0
B错误；
C．根据
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由于地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道卫星的半径，则有
SKIPIF 1 < 0
C错误；
D．根据
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
由于地球同步轨道卫星的半径大于中圆轨道卫星的半径，则有
SKIPIF 1 < 0
D正确。
故选D。
重点3 航天器（卫星）的变轨问题
例3：（2023届·福建福州一中高三上学期开学考试）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【解析】
A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；
B．因P点转移到Q点转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误；
故选C
训3：（2023届·河北五个一名校联盟高三上学期开学考试）如图所示， SKIPIF 1 < 0 是在赤道平面上相对地球静止的物体，随地球一起做匀速圆周运动。 SKIPIF 1 < 0 是在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，轨道半径约等于地球半径。 SKIPIF 1 < 0 是地球同步卫星，已知地球表面两极处的重力加速度为 SKIPIF 1 < 0 ，下列关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的加速度等于 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的向心加速度最大的是 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的速率最大的是 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的周期最小的是 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
A．对b根据
SKIPIF 1 < 0
可知 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的加速度等于 SKIPIF 1 < 0 ，选项A正确；
B．根据
SKIPIF 1 < 0
卫星c的轨道半径比b大，则做匀速圆周运动的向心加速度小于b；对ac因角速度相等，根据
a=ω2r
可知，c的向心加速度大于a，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的向心加速度最大的是b，选项B错误；
C．对ac因角速度相等，根据v=ωr可知，c的速度大于a；根据
SKIPIF 1 < 0
可知b的速度大于c，可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的速率最大的是b，选项C错误；
D．对ac因角速度相等，周期相等；对bc根据
SKIPIF 1 < 0
可知c的周期大于b，可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 做匀速圆周运动的周期最小的是b，选项D错误。
故选A。
重点4 双星与多星问题
例4： （2023届·河南省顶级名校高三上学期10月考）在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。如图所示为某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图。若A星的轨道半径是B星轨道半径的4倍，它们之间的距离保持不变，双星系统中的A、B两星都可视为质点。则下列说法中正确的是（ ）
A. A星与B星所受的引力大小相等
B. A星与B星的线速度大小之比为4 ：1
C. A星与B星的质量之比为4 ：1
D. A星与B星的动能之比为4 ：1
【答案】ABD
【解析】
A． SKIPIF 1 < 0 星与B星所受的引力就是二者之间的万有引力，故 SKIPIF 1 < 0 、B两星所受的引力大小相等，A正确；
B．在双星系统中， SKIPIF 1 < 0 星与B星转动的角速度相等，根据
SKIPIF 1 < 0
可知 SKIPIF 1 < 0 星与B星的线速度大小之比为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
C． SKIPIF 1 < 0 、B两星做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 星与B星的质量之比为
SKIPIF 1 < 0
C错误；
D． SKIPIF 1 < 0 星与B星的动能之比为
SKIPIF 1 < 0
D正确；
故选ABD。
训4：天文学家经过长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，这些“双星”系统一般与其他星体距离很远，受到其他天体引力的影响可以忽略不计．根据一对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中两个星体的质量均为m，而绕系统中心转动的实际周期是理论计算的周期的k倍(k