安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（原卷版+解析版）

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1. “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ）
A. B. C. D.
2. 适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表：
则这15名学生心率的中位数是（ ）
A. 65次/分B. 67.5次/分C. 70次/分D. 72.5次/分
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 象棋是中国传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A. 5B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且D.
7. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ）
A. B. C. D.
8. 某校举办了运动会，在赛跑中，有5位同学的成绩如表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. ，4B. ，2C. ，4D. ，2
9. 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，．下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形中，，是对角线上两点，且．若，，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：______．
12. 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示．该班学生每天的平均睡眠时间是______h．
13. 在中，．若，则的面积为______．
14. 如图，在菱形中，．
（1）菱形的面积为______．
（2）若点分别在上，且，连接，则最小值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程．
（1）．
（2）．
16. 计算．
（1）．
（2）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长．
18. 若关于的一元二次方程有实数根，且．
（1）求的取值范围．
（2）若，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件．
（1）求11月、12月这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？
20. 观察下列等式．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
（1）请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．
（2）若三个整数能构成直角三角形三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由．
六、（本题满分12分）
21. 像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
（1）化简：①______；②______．
（2）计算：．
（3）已知，试比较的大小，并说明理由．
七、（本题满分12分）
22. 为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛．为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分．此次竞赛的成绩如下表所示：
（1）若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的______．
（2）八年级学生成绩的中位数是多少？
（3）若八年级学生成绩的方差是，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在正方形中，P为的延长线上一点，连接，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．
（1）求证：为等腰直角三角形．
（2）求证：①；
②．
（3）若，求证：．
心率/（次/分）
60
68
70
73
80
人数/名
2
5
5
1
2
同学
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
方差
时间/s
睡眼时间/h
8
9
10
人数/人
6
24
10
学生编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
八年级
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
九年级
8
7
9
7
8
10
8
7
7
9