陕西省西安市高新逸翠园初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
4. 如图，直线与（且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式的解集为（ ）
A. x≥﹣1B. x≥3C. x≤﹣1D. x≤3
5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A. 有一个角是直角B. 每一个角都是直角C. 有两个角都不是直角D. 有两个角是直角
6. 四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（ ）
A. B. C. D.
7. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
8. 如图，在中，点是边上一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9. 使分式有意义的的取值范围是________．
10. 因式分解：______．
11. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是____．
12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为______．
13. 若关于的不等式有且只有四个整数解，且一次函数的图象不经过第三象限，则符合题意的整数的值为______．
14. 如图，点P是边长为6等边内一点，连接，且，则的面积是______．
三、解答题（共11小题，共78分）
15. 解不等式组
16. （1）解分式方程．
（2）化简，并在，，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
17. 解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
18. 尺规作图在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．

19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．

（1）将沿着轴的方向平移得到，当点的对应点落在轴上时，画出的图形．
（2）将原点顺时针旋转后，点的对应点的坐标是___________．
20. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，且．求证：四边形为平行四边形．
21. （1）已知可以被10到20之间的两个整数整除，求这两个整数．
（2）已知关于x的多项式有一个因式是，求实数k的值．
22. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，点G，H为垂足，猜想与的大小关系，并证明你的猜想．
23. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于点A、B，直线与直线交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为1,0，点C的横坐标为4．
（1）求直线的函数解析式：
（2）将沿x轴方向平移，在y轴上存在点E，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标，并直接写出平移方式．
25.
问题提出：
(1)如图1，在中，，点、分别是，的中点，则的长为___；
问题探究：
(2)如图2，在中，，点在上，，点在上，，连接，、分别为、的中点，求的长度？
问题解决：
(3)西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪内对角线右侧修建一个三角形池塘，如图，，，，为草坪入口，为草坪出口，在人行道的中点处有一个凉亭，在池塘处是一个观景台，游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？