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湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
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这是一份湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为( )
A. 0.7×108mB. 7×10-8mC. 0.7×10-8mD. 7×10-9m
3.已知a、b为两个连续的整数，且a< 13A. 6B. 7C. 8D. 9
4.若(x+y)2=(x-y)2+M，则M=( )
A. 2xyB. -2xyC. 4xyD. -4xy
5.对于下列说法，正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 不相交的两条直线叫做平行线
C. 相等的角是对顶角
D. 将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线”
6.随机调查了某校七年级40名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A. 8本，9本B. 9本，12本C. 13本，13本D. 9本，9本
7.下列命题中，逆命题是假命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 关于某个点成中心对称的两个三角形全等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
8.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD=22.5°，CD=4，则⊙O的半径长为( )
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 10
9.38.已知多项式，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是3.则a+b的值是
A. 1B. -1C. 3D. -3
10.某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S(千米)与所用时间t(分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是( )
A. 汽车在途中加油用了10分钟
B. 若OA//BC，则加满油以后的速度为80千米/小时
C. 若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a=25
D. 该同学8：55到达宁波大学
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若四边形的四个内角的比是3：4：5：6，则最小的内角是______
12.约分：-21x9x2=______．
13.小明的书包里只放了A4大小的试卷共5张，其中语文3张，数学2张．若随机地从书包中抽出2张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是______．
14.如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上(不考虑帽子的厚度).则这个扇形的圆心角度数为______°.
15.已知AB为⊙O的直径，AB=2，延长AB至点C，使得BC=1，CD为圆的切线，D为切点，则△ABD的面积是______．
16.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗?它应是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.求不等式组：x-3(x-2)≤4x-1<1+2x3的解集．
18. 解方程组：9x+4y=143x-2y=8．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD.EG=15里，HG经过点A，则FH等于多少里？
请你根据上述题意，求出FH的长度．
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．
21.(本小题8分)
为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图统计图．
(1)小明一共调查了多少户家庭？
(2)求5月份所调查家庭的平均用水量；
(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.点E在边BC上，且ED=EB.求证：CE=CA．
23.(本小题9分)
今年11月1日7日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束6元，每盆10元．
(1)已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的1.5倍．第一天就卖了150束干花，200盆鲜花，共获利1600元．求一束干花的售价是多少元．
(2)花博会最后一天，王某发现还有100束干花和240盆鲜花，决定干花的售价提高2a%销售，很快全部售完．鲜花降价43a%卖了14a盆，剩下的每盆11元全部卖出，当天的利润为1150元，且鲜花价格尽可能降低．求a的值是多少？
24.(本小题9分)
已知：△ABC是任意三角形．
(1)如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
(2)如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=13，ANAC=13，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
(3)如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=12017，ANAC=12017，点P1、P2、…、P2016是边BC的2017等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2016N=______．
(请直接将该小问的答案写在横线上)
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b是常数，且a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.并且A，B两点的坐标分别是A(1,0)，B(-3,0)，抛物线顶点为D．
(1)①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为______；
③直线BD的解析式为______；
(2)若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
(3)若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．
2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.C
8.B
9.A
10.C
11.60°
12.-73x
13.110
14.90
15. 32
16.3
17.解：x-3(x-2)≤4①x-1<1+2x3②，
由①得：x≥1；
由②得：x<4，
则不等式的解集为1≤x<4．
18. 9x+4y=14①3x-2y=8②，
②×2得：6x-4y=16③，
③+①得：15x=30，
解得：x=2，
把x=2代入②得：3×2-2y=8，
解得：y=-1，
∴方程组的解为：x=2y=-1．
19.解：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠HFA=∠DAB=∠AEG=90°，
∴FA//EG．
∴∠HAF=∠G．
∴△HFA∽△AEG，
∴FHAE=AFEG，即FH4.5=3.515，
解得FH=1.05．
答：FH等于1.05里．
20.解：(1)证明：连接OD．
∵OD=CD，
∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，
∴DF=CF．
∴∠FDC=∠FCD．
∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，
∴∠FDO=∠FCO=90°．
∴DF是⊙O的切线；
(2)①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；
②由AB=a，求出AC的长度为 2a；
③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2=AD⋅AE；
④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE= 22a.
解：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=a，
∴AC= 2a，
∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，
∴△ACD∽△AEC，
∴AC：AE=AD：AC，
∴AC2=AD⋅AE，
设DE为x，
∵AD：DE=4：1，
∴AD=4x，
∴( 2a)2=20x2，
解得x= 1010a.
即DE= 1010a.
21.解：(1)1+1+3+6+4+2+2+1=20(户)．
答：小明一共调查了20户家庭；
(2)(1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1)÷20
=90÷20
=4.5(吨)．
答：5月份所调查家庭的平均用水量是4.5吨；
(3)400×4.5=1800(吨)．
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
22.证明：∵ED=EB，
∴∠BDE=∠B，
∴∠CED=∠BDE+∠B=2∠B，
又∵∠A=2∠B
∴∠A=∠CED，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△DCE中
∵∠A=∠CED∠ACD=∠ECDCD=CD
∴△ACD≌△DCE(AAS)，
∴CE=CA．
23.解：(1)设一束干花的售价是x元，则一盆鲜花的售价是1.5x元，
根据题意，得150(x-6)+200(1.5x-10)=1600．
解得x=10．
答：一束干花的售价是10元；
(2)由(1)知，一束干花的售价是10元，则一盆鲜花的售价是1.5×10=15(元)．
根据题意，得100×10(1+2a%)+14a×15(1-43a%)+11(240-14a)-(100×6+240×10)=1150．
解得a1=15，a2=857．
∵鲜花价格尽可能降低，
∴a=15．
答：a的值是15．
24.(1)证明：如图1中，
∵AM=BM，CP=PB，
∴PM//AC，
∵AN=NC，CP=BP，
∴PN//AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴∠MPN=∠A．
(2)解：结论正确．
理由：连接MN．
∵AMAB=ANAC，
∴MN//BC，同法可证：NP1//AB，MP2//AC，
∴MNBC=AMAB=13，
∴MN=13BC，
∵P1P2=13BC，
∴MN=P1P2，
∴四边形MNP2P1是平行四边形，
∴MP1//NP2，
∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，
∴∠BMP2=∠MP1N+∠MP2N，
∵MP2//AC，
∴∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠A．
(3)∠A．
25.解：(1)①把A(1,0)，B(-3,0)代入y=ax2+bx+3，
得a+b+3=09a-3b+3=0，解得a=-1b=-2,
∴y=-x2-2x+3；
②∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴D的坐标为(-1,4)，
故答案为：(-1,4)；
③设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点B、D的坐标代入得：
-3k+b=0-k+b=4，解得k=2b=6，
∴直线BD的表达式为y=2x+6，
故答案为：y=2x+6；
(2)如图所示：
∵点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为2m+6，
当x=0时，y=-x2-2x+3= 0+0+3=3，
∴C(0,3)，
由题意可知：OC=3，OF=-m，EF=2m+6，
∴S=12×(OC+EF)OF=12×(2m+6+3)×(-m)
=-(m+94)2+8116，
∴当m=-94时，S最大值=8116；
(3)抛物线的对称轴为x=-1，
①当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥直线x=-1交于点M，
∵∠APA'=90°，
∴∠MPA'+∠MA'P=90°，∠MPA'+∠APQ=90°，
∴∠MA'P=∠APQ，
∵AP=A'P，
∴△MPA'≌△PQA，
∴PQ=MA'，MP=AQ=2，
设P(-1,m)，
则PQ=MA'=m，
∴MQ=MP+PQ=2+m，
∴点A'的横坐标为：-1+m，纵坐标为：2+m，
即A'(-1+m,2+m)，
∴将其代入抛物线解析式2+m=-(m-1)2-2(m-1)+3，化简可得：m2+m-2=0，
∴m-1m+2=0，
解得：m=1，m=-2(舍去)，
∴P(-1,1)；
②当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP=A'P，∠APA'=90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AQ=PQ，
∴QP=2，
∴P(-1,-2)；
综上所述：P点坐标为(-1,1)或(-1,-2)． 人数
8
9
13
10
课外书数量(本)
6
7
9
12
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为( )
A. 0.7×108mB. 7×10-8mC. 0.7×10-8mD. 7×10-9m
3.已知a、b为两个连续的整数，且a< 13
4.若(x+y)2=(x-y)2+M，则M=( )
A. 2xyB. -2xyC. 4xyD. -4xy
5.对于下列说法，正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 不相交的两条直线叫做平行线
C. 相等的角是对顶角
D. 将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线”
6.随机调查了某校七年级40名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A. 8本，9本B. 9本，12本C. 13本，13本D. 9本，9本
7.下列命题中，逆命题是假命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 关于某个点成中心对称的两个三角形全等
D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
8.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD=22.5°，CD=4，则⊙O的半径长为( )
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 10
9.38.已知多项式，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是3.则a+b的值是
A. 1B. -1C. 3D. -3
10.某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S(千米)与所用时间t(分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是( )
A. 汽车在途中加油用了10分钟
B. 若OA//BC，则加满油以后的速度为80千米/小时
C. 若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a=25
D. 该同学8：55到达宁波大学
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若四边形的四个内角的比是3：4：5：6，则最小的内角是______
12.约分：-21x9x2=______．
13.小明的书包里只放了A4大小的试卷共5张，其中语文3张，数学2张．若随机地从书包中抽出2张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是______．
14.如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上(不考虑帽子的厚度).则这个扇形的圆心角度数为______°.
15.已知AB为⊙O的直径，AB=2，延长AB至点C，使得BC=1，CD为圆的切线，D为切点，则△ABD的面积是______．
16.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗?它应是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.求不等式组：x-3(x-2)≤4x-1<1+2x3的解集．
18. 解方程组：9x+4y=143x-2y=8．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD.EG=15里，HG经过点A，则FH等于多少里？
请你根据上述题意，求出FH的长度．
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．
21.(本小题8分)
为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图统计图．
(1)小明一共调查了多少户家庭？
(2)求5月份所调查家庭的平均用水量；
(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.点E在边BC上，且ED=EB.求证：CE=CA．
23.(本小题9分)
今年11月1日7日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束6元，每盆10元．
(1)已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的1.5倍．第一天就卖了150束干花，200盆鲜花，共获利1600元．求一束干花的售价是多少元．
(2)花博会最后一天，王某发现还有100束干花和240盆鲜花，决定干花的售价提高2a%销售，很快全部售完．鲜花降价43a%卖了14a盆，剩下的每盆11元全部卖出，当天的利润为1150元，且鲜花价格尽可能降低．求a的值是多少？
24.(本小题9分)
已知：△ABC是任意三角形．
(1)如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
(2)如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=13，ANAC=13，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
(3)如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=12017，ANAC=12017，点P1、P2、…、P2016是边BC的2017等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2016N=______．
(请直接将该小问的答案写在横线上)
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b是常数，且a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.并且A，B两点的坐标分别是A(1,0)，B(-3,0)，抛物线顶点为D．
(1)①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为______；
③直线BD的解析式为______；
(2)若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
(3)若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．
2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.C
8.B
9.A
10.C
11.60°
12.-73x
13.110
14.90
15. 32
16.3
17.解：x-3(x-2)≤4①x-1<1+2x3②，
由①得：x≥1；
由②得：x<4，
则不等式的解集为1≤x<4．
18. 9x+4y=14①3x-2y=8②，
②×2得：6x-4y=16③，
③+①得：15x=30，
解得：x=2，
把x=2代入②得：3×2-2y=8，
解得：y=-1，
∴方程组的解为：x=2y=-1．
19.解：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠HFA=∠DAB=∠AEG=90°，
∴FA//EG．
∴∠HAF=∠G．
∴△HFA∽△AEG，
∴FHAE=AFEG，即FH4.5=3.515，
解得FH=1.05．
答：FH等于1.05里．
20.解：(1)证明：连接OD．
∵OD=CD，
∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，
∴DF=CF．
∴∠FDC=∠FCD．
∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，
∴∠FDO=∠FCO=90°．
∴DF是⊙O的切线；
(2)①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；
②由AB=a，求出AC的长度为 2a；
③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2=AD⋅AE；
④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE= 22a.
解：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=a，
∴AC= 2a，
∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，
∴△ACD∽△AEC，
∴AC：AE=AD：AC，
∴AC2=AD⋅AE，
设DE为x，
∵AD：DE=4：1，
∴AD=4x，
∴( 2a)2=20x2，
解得x= 1010a.
即DE= 1010a.
21.解：(1)1+1+3+6+4+2+2+1=20(户)．
答：小明一共调查了20户家庭；
(2)(1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1)÷20
=90÷20
=4.5(吨)．
答：5月份所调查家庭的平均用水量是4.5吨；
(3)400×4.5=1800(吨)．
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
22.证明：∵ED=EB，
∴∠BDE=∠B，
∴∠CED=∠BDE+∠B=2∠B，
又∵∠A=2∠B
∴∠A=∠CED，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△DCE中
∵∠A=∠CED∠ACD=∠ECDCD=CD
∴△ACD≌△DCE(AAS)，
∴CE=CA．
23.解：(1)设一束干花的售价是x元，则一盆鲜花的售价是1.5x元，
根据题意，得150(x-6)+200(1.5x-10)=1600．
解得x=10．
答：一束干花的售价是10元；
(2)由(1)知，一束干花的售价是10元，则一盆鲜花的售价是1.5×10=15(元)．
根据题意，得100×10(1+2a%)+14a×15(1-43a%)+11(240-14a)-(100×6+240×10)=1150．
解得a1=15，a2=857．
∵鲜花价格尽可能降低，
∴a=15．
答：a的值是15．
24.(1)证明：如图1中，
∵AM=BM，CP=PB，
∴PM//AC，
∵AN=NC，CP=BP，
∴PN//AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴∠MPN=∠A．
(2)解：结论正确．
理由：连接MN．
∵AMAB=ANAC，
∴MN//BC，同法可证：NP1//AB，MP2//AC，
∴MNBC=AMAB=13，
∴MN=13BC，
∵P1P2=13BC，
∴MN=P1P2，
∴四边形MNP2P1是平行四边形，
∴MP1//NP2，
∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，
∴∠BMP2=∠MP1N+∠MP2N，
∵MP2//AC，
∴∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠A．
(3)∠A．
25.解：(1)①把A(1,0)，B(-3,0)代入y=ax2+bx+3，
得a+b+3=09a-3b+3=0，解得a=-1b=-2,
∴y=-x2-2x+3；
②∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴D的坐标为(-1,4)，
故答案为：(-1,4)；
③设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点B、D的坐标代入得：
-3k+b=0-k+b=4，解得k=2b=6，
∴直线BD的表达式为y=2x+6，
故答案为：y=2x+6；
(2)如图所示：
∵点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为2m+6，
当x=0时，y=-x2-2x+3= 0+0+3=3，
∴C(0,3)，
由题意可知：OC=3，OF=-m，EF=2m+6，
∴S=12×(OC+EF)OF=12×(2m+6+3)×(-m)
=-(m+94)2+8116，
∴当m=-94时，S最大值=8116；
(3)抛物线的对称轴为x=-1，
①当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥直线x=-1交于点M，
∵∠APA'=90°，
∴∠MPA'+∠MA'P=90°，∠MPA'+∠APQ=90°，
∴∠MA'P=∠APQ，
∵AP=A'P，
∴△MPA'≌△PQA，
∴PQ=MA'，MP=AQ=2，
设P(-1,m)，
则PQ=MA'=m，
∴MQ=MP+PQ=2+m，
∴点A'的横坐标为：-1+m，纵坐标为：2+m，
即A'(-1+m,2+m)，
∴将其代入抛物线解析式2+m=-(m-1)2-2(m-1)+3，化简可得：m2+m-2=0，
∴m-1m+2=0，
解得：m=1，m=-2(舍去)，
∴P(-1,1)；
②当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP=A'P，∠APA'=90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AQ=PQ，
∴QP=2，
∴P(-1,-2)；
综上所述：P点坐标为(-1,1)或(-1,-2)． 人数
8
9
13
10
课外书数量(本)
6
7
9
12
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