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中职数学苏教版（中职）第二册第7章 平面向量随堂练习题
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这是一份中职数学苏教版（中职）第二册第7章 平面向量随堂练习题，共20页。
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2．向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1.向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2．向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
(1)当不共线时，；
(2)当同向且共线时，同向，则；
(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1．向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2．向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1.向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)；
(2)①当时，的方向与的方向相同；
②当时.的方向与的方向相反；
③当时，.
2．向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3.向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1．向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2．向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3．向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
知识点七： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2. 如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
知识点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.
3. 投影向量是一个向量，当对于任意的，都有.
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以。
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
1.
2.
3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
4.
5.
知识点十：向量数量积的运算律
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
知识点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；
2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
【典型例题】
类型一：向量的加法运算
例1．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．设，是任一非零向量，则在下列结论中:
①；②；③；④；⑤.
正确结论的序号是（ ）
A．①⑤B．②④⑤C．③⑤D．①③⑤
例3．已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
变式1．如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1）____________；
（2）________；
（3）_______；
（4）_________.
变式2．在中，若，．
（1）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
（2）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
（3）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）
变式3．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
类型二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
例5．如图，已知向量，，求作向量．
例6．在中，设，.设点分别是边的两个三等分点（其中点离点近，点离点近），试用表示和；
变式4．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
变式5．已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．
类型三：与向量的模有关的问题
例7．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
例8.已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
变式6.已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
变式7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，，则||等于________．
类型四：向量的数乘运算
例9． 计算下列各式：
（1）4(+)3()；
（2）3(2+)(2+3)；
（3）．
变式8. 已知，求.
例10.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
变式9．如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．
变式10．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
类型五：共线向量与三点共线问题
例11.设两非零向量和不共线，
(1)如果求证三点共线.
(2)试确定实数，使和共线.
例12.已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1.
变式11.已知向量是不共线的两个向量，．
（1）若，当时，求的值．
（2）若三点共线，求实数t的值；
变式12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.
变式13．在的边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
类型六：平面向量数量积的运算
例14．1．已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为_________；（）的最小值是_________．
例15．已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________．
例16．已知，，
（1）求；
（2）求向量在向量方向上的投影
变式14．已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
变式15．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
类型七：平面向量模的问题
例17．如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（ ）
A．B．C．D．
例18．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．
变式16．如图，在平面四边形中，，.
（1）求的值；
（2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围.
变式17．已知，求
（1）；
（2）
变式18．已知向量，满足：，，.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求实数的值.
类型八：向量垂直（或夹角）问题
例19．（多选题）下列命题中假命题的是（ ）
A．向量与向量共线，则存在实数使
B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则
C．若，则
D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.
例20．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
例21．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
变式19．如图，在平面四边形中，，设.
（1）若，求x，y的值；
（2）若且与夹角的余弦值为，求与夹角的余弦值.
变式20．已知向量，的夹角为，且，，（其中）．当取最小值时，求与的夹角的大小．
变式21．如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.
（1）若，求，的值；
（2）若，，求.
变式22．如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.
（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.
（2）若，当时，求的值.
同步练习:
一、单选题
1．（2021·全国·高一课前预习）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中）下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（ ）
A．且与同向B．且与反向
C．且与同向D．且与反向
5．（2021·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·重庆第二外国语学校高一月考）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
8．（2021·全国·高一课时练习）设，，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：
①；
②；
③不与垂直；
④．
其中，是真命题的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
9．（2021·福建·泉州科技中学高一月考）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．
10．（2021·浙江慈溪·高一期中）若点是所在平面内一点，且满足：.则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2021·全国·高一课时练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2021·山东邹城·高一期中）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，，则有（ ）
A．
B．
C．点是的垂心
D．在方向上的投影向量的长度为
13．（2021·全国·高一课时练习）在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（ ）
A．B．C．2D．3
14．（2021·重庆第二外国语学校高一月考）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
15．（2021·广东高州·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．1
16．（2021·广东·仲元中学高一期中）已知､是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．､的夹角是B．､的夹角是
C．D．
三、填空题
17．（2021·全国·高一单元测试）已知，则___________.
18．（2021·河北·张家口市第一中学高一月考）已知，，，且是与方向相反的单位向量，则在上的投影向量为______.
19．（2021·天津市军粮城中学高一期中）已知，，，且与垂直，则______.
20．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，则______．
21．（2021·全国·高一课时练习）已知，且，则实数___________.
22．（2021·河北武强中学高一月考）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.
23．（2021·云南·昆明八中高一月考）已知菱形的边长为2，，点､分别在直线､上，，若，则实数的值为___________.
四、解答题
24．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
25．（2021·上海·高一课时练习）已知，.
（1）当k为何值时，与共线？
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
26．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，若，，，，是不共线的两个向量，且A，B，C三点共线，求m的值．
27．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一月考）已知，与的夹角为，设．
（1）求的值；
（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
28．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直角三角形ABC中，，，．求：
（1）；
（2）．
29．（2021·上海·高一课时练习）如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
30．（2021·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2．向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1.向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2．向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
(1)当不共线时，；
(2)当同向且共线时，同向，则；
(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1．向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2．向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1.向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)；
(2)①当时，的方向与的方向相同；
②当时.的方向与的方向相反；
③当时，.
2．向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3.向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1．向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2．向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3．向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
知识点七： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2. 如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
知识点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.
3. 投影向量是一个向量，当对于任意的，都有.
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以。
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
1.
2.
3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
4.
5.
知识点十：向量数量积的运算律
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
知识点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；
2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
【典型例题】
类型一：向量的加法运算
例1．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．设，是任一非零向量，则在下列结论中:
①；②；③；④；⑤.
正确结论的序号是（ ）
A．①⑤B．②④⑤C．③⑤D．①③⑤
例3．已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
变式1．如图，在平行四边形中，O是和的交点.
（1）____________；
（2）________；
（3）_______；
（4）_________.
变式2．在中，若，．
（1）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
（2）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
（3）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）
变式3．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
类型二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
例5．如图，已知向量，，求作向量．
例6．在中，设，.设点分别是边的两个三等分点（其中点离点近，点离点近），试用表示和；
变式4．如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
变式5．已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．
类型三：与向量的模有关的问题
例7．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
例8.已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
变式6.已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
变式7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，，则||等于________．
类型四：向量的数乘运算
例9． 计算下列各式：
（1）4(+)3()；
（2）3(2+)(2+3)；
（3）．
变式8. 已知，求.
例10.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
变式9．如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．
变式10．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
类型五：共线向量与三点共线问题
例11.设两非零向量和不共线，
(1)如果求证三点共线.
(2)试确定实数，使和共线.
例12.已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1.
变式11.已知向量是不共线的两个向量，．
（1）若，当时，求的值．
（2）若三点共线，求实数t的值；
变式12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.
变式13．在的边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
类型六：平面向量数量积的运算
例14．1．已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为_________；（）的最小值是_________．
例15．已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________．
例16．已知，，
（1）求；
（2）求向量在向量方向上的投影
变式14．已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
变式15．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
类型七：平面向量模的问题
例17．如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（ ）
A．B．C．D．
例18．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．
变式16．如图，在平面四边形中，，.
（1）求的值；
（2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围.
变式17．已知，求
（1）；
（2）
变式18．已知向量，满足：，，.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求实数的值.
类型八：向量垂直（或夹角）问题
例19．（多选题）下列命题中假命题的是（ ）
A．向量与向量共线，则存在实数使
B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则
C．若，则
D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.
例20．已知，且向量在向量方向上的投影数量为.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
例21．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
变式19．如图，在平面四边形中，，设.
（1）若，求x，y的值；
（2）若且与夹角的余弦值为，求与夹角的余弦值.
变式20．已知向量，的夹角为，且，，（其中）．当取最小值时，求与的夹角的大小．
变式21．如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.
（1）若，求，的值；
（2）若，，求.
变式22．如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.
（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.
（2）若，当时，求的值.
同步练习:
一、单选题
1．（2021·全国·高一课前预习）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中）下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（ ）
A．且与同向B．且与反向
C．且与同向D．且与反向
5．（2021·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·重庆第二外国语学校高一月考）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
8．（2021·全国·高一课时练习）设，，是三个非零向量，且相互不共线，有下列命题：
①；
②；
③不与垂直；
④．
其中，是真命题的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
9．（2021·福建·泉州科技中学高一月考）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．
10．（2021·浙江慈溪·高一期中）若点是所在平面内一点，且满足：.则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2021·全国·高一课时练习）等边三角形中，，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2021·山东邹城·高一期中）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，，则有（ ）
A．
B．
C．点是的垂心
D．在方向上的投影向量的长度为
13．（2021·全国·高一课时练习）在中，，P为线段上任意一点，则的可能值有（ ）
A．B．C．2D．3
14．（2021·重庆第二外国语学校高一月考）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
15．（2021·广东高州·高一期末）已知向量，，满足，且，，向量与，与，与的夹角都是，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．1
16．（2021·广东·仲元中学高一期中）已知､是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．､的夹角是B．､的夹角是
C．D．
三、填空题
17．（2021·全国·高一单元测试）已知，则___________.
18．（2021·河北·张家口市第一中学高一月考）已知，，，且是与方向相反的单位向量，则在上的投影向量为______.
19．（2021·天津市军粮城中学高一期中）已知，，，且与垂直，则______.
20．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，则______．
21．（2021·全国·高一课时练习）已知，且，则实数___________.
22．（2021·河北武强中学高一月考）已知M是边长为1的正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的取值范围是________.
23．（2021·云南·昆明八中高一月考）已知菱形的边长为2，，点､分别在直线､上，，若，则实数的值为___________.
四、解答题
24．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
25．（2021·上海·高一课时练习）已知，.
（1）当k为何值时，与共线？
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
26．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，若，，，，是不共线的两个向量，且A，B，C三点共线，求m的值．
27．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一月考）已知，与的夹角为，设．
（1）求的值；
（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
28．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直角三角形ABC中，，，．求：
（1）；
（2）．
29．（2021·上海·高一课时练习）如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
30．（2021·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
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