高三数学一轮复习第六章数列第一课时数列的概念与简单表示法学案

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第1课时 数列的概念与简单表示法
[考试要求] 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2．
提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
[典例1] (1)(2024·临川二中月考)已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
(2)(2024·榆林模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
(1)－2n-1 (2)2，n=1，2n-1n，n≥2，n∈N* [(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1．
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1．②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．
(2)当n＝1时，a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，
∴an＝2n-1n(n≥2，n∈N*)．
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝2，n=1，2n-1n，n≥2，n∈N*．]
(1)由Sn＝f (n)求an时，先分n＝1，n≥2两种情况讨论，然后验证能否合并成同一个表达式．
(2)由f (an，Sn)＝0求an时，由f (an，Sn)＝0得出f (an-1，S n-1)＝0，两式相减得到数列的递推公式再求解．
跟进训练1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________．
(2)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2 024＝________．
(1)2n＋1 (2)2 024 [(1)当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1．由于a1＝3满足上式，∴an＝2n＋1．
(2)当n＝1时，a2＋2S1＝2＋1，∴a2＝1，
当n≥2时，由an＋1＋2Sn＝2n＋1，得
an＋2Sn－1＝2(n－1)＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1＋an＝2(n≥2)．
∵a2＝1，∴an＝1(n≥2)．
∵a1＝1，∴an＝1，
∴Sn＝n，∴S2 024＝2 024．]
考点二 由数列的递推关系求通项公式
1．数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2．通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
累加法
[典例2] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
n2+n2 [由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝n-12+n2＝n2+n-22．
∵a1＝1，∴an＝n2+n2(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2+n2．]
累乘法
[典例3] 若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，则an＝________．
2n+1 [由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，
得anan-1＝nn+1(n≥2)．
所以an＝anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn+1×n-1n×n-2n-1×…×34×23×1＝2n+1，
又a1＝1也满足上式，所以an＝2n+1．]
构造法
[典例4] (2024·西安一中月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2·3n-1－1 [∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an+1+1an+1＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，
∴an＝2·3n-1－1．]
取倒数法
[典例5] (2024·莱阳一中模拟)若a1＝1，an＋1＝an3an+1，则数列{an}的通项公式an＝________．
13n-2 [对an＋1＝an3an+1两边取倒数，
得1an+1＝1an＋3，所以数列1an是首项为1a1＝1，公差为3的等差数列，
所以1an＝3n－2，an＝13n-2．]
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
跟进训练2 写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋1nn+1；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1；
(4)a1＝23，an＋1＝2anan+2．
[解] (1)因为当n≥2时，an－an－1＝1nn-1＝1n-1－1n，
所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n-1-1n＋1n-2-1n-1＋…＋12-13＋1-12＋2＝3－1n．
当n＝1时，满足上式．故an＝3－1n．
(2)因为an+1an＝2n，所以a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan-1＝2n-1，将这n－1个等式累乘，
得ana1＝21+2+…＋(n-1)＝2n(n-1)2，
所以an＝2n(n-1)2．
当n＝1时，也适合上式．故an＝2n(n-1)2．
(3)由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1．
(4)由an＋1＝2anan+2知an≠0，两边取倒数得1an+1－1an＝12，
所以数列1an是以32为首项，12为公差的等差数列，
所以1an＝32＋(n－1)×12＝n+22，an＝2n+2．
考点三 数列的函数特性
数列的周期性
[典例6] (2024·广东汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝－14，当n>1时，an＝1－1an-1，则a2 024＝( )
A．－14 B．45 C．5 D．－45
C [由题意得a2＝1－1a1＝5，a3＝1－1a2＝45，a4＝1－1a3＝－14，
则数列an是周期为3的周期数列，则a2 024＝a674×3＋2＝a2＝5．故选C．]
数列的单调性
[典例7] (2024·日照实验中学月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若数列{an}为递增数列，
则有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有λ<2n+12min＝32，
∵由λ<1可推出λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．]
数列的最值
[典例8] (2024·江苏启东中学月考)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．
2n－11 3 [∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11，
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f (n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，
∴当n＝3时，f (n)取得最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]
(1)由递推公式计算出一些项，观察并发现周期，是数列求周期的最实用的方法．
(2)判断数列单调性的常用方法有两个：①利用数列对应的函数的单调性判断；②对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．利用数列的单调性可以求得数列的最值．
跟进训练3 (1)(2024·青岛二中模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1-an，则a2 024的值为( )
A．2 B．－3
C．－12 D．13
(2)(2024·沧州联考)已知数列{an}满足an＝n+13n-16(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第__________项．
(1)D (2)5 [(1)因为a1＝2，an＋1＝1+an1-an，所以a2＝1+a11-a1＝－3，同理可得a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，…，可得an＋4＝an，
则a2 024＝a506×4＝a4＝13．
(2)∵an＝n+13n-16＝131+193n-16，
当n>5时，an>0，且单调递减；
当n≤5时，an<0，且单调递减，
∴当n＝5时，an最小．]
课后习题(三十一) 数列的概念与简单表示法
1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )
A．an＝±1n B．an＝(－1)n·1n
C．an＝(－1)n+1·1n D．an＝1n
B [由a1＝－1，代入检验可知选B．]
2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1an，则a5＝( )
A．2 B．32
C．53 D．85
D [由题意，令n＝1，可得a2＝1＋1a1＝2；
令n＝2，可得a3＝1＋1a2＝1＋12＝32；
令n＝3，可得a4＝1＋1a3＝1＋132＝53；
令n＝4，可得a5＝1＋1a4＝1＋153＝85．
故选D．]
3．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
2，n=1，2n-1，n≥2，n∈N* [当n＝1时，a1＝S1＝2．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1．
显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝2，n=1，2n-1，n≥2，n∈N*．]
4．(湘教版选择性必修第一册P7练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．
n2 [由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，
所以an＝n＋2·1+n-1n-12＝n2．]
5．(2024·济南模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n-1＋1
B．an＝2，n为奇数，0，n为偶数
C．an＝2sin nπ2
D．an＝cs (n－1)π＋1
C [对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin nπ2不合题意，故选C．]
6．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A．163 B．133
C．4 D．0
D [∵an＝－3n-522＋34，
∴由二次函数的图象可得当n＝2或3时，an最大，最大为0．]
7．(2024·杭州二中月考)数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝( )
A．2n－1 B．n2
C．n+12n2 D．n2n-12
D [设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，
当n≥2时，an＝TnTn-1＝n2n-12．]
8．(多选)(2024·南阳调研)已知数列{an}满足an＋1＝1－1an(n∈N*)，且a1＝2，则( )
A．a3＝－1 B．a2 024＝12
C．S3＝32 D．S2 024＝1 013
ABC [数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－1an(n∈N*)，可得a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12，…，所以an＋3＝an，数列{an}是周期为3的周期数列．a2 024＝a674×3＋2＝a2＝12，S3＝32，S2 024＝2 0272．]
9．(2024·浙江绍兴模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝3n+k2n，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
D [因为an＋1－an＝3n+3+k2n+1－3n+k2n＝3-3n-k2n+1，
由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝3-3n-k2n+1<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．]
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2nn-12 [∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，得an+12n+1＝an2n＋1．
又a1＝1，
∴an2n是首项为12，公差为1的等差数列，
∴an2n＝12＋(n－1)×1＝n－12，
即an＝2nn-12．]
11．(2024·四川绵阳调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为________．
an＝1，n=1，12×32n-2，n≥2，n∈N* [因为Sn＝2an＋1，①
a1＝1，当n＝1时，S1＝a1＝2a2，所以a2＝12．
当n≥2时，Sn－1＝2an，②
①－②得an＝2an＋1－2an，即an+1an＝32(n≥2)．
所以当n≥2时，an＝a2·32n-2＝12×32n-2，
故an＝1，n=1，12×32n-2，n≥2，n∈N*．]
12．(2024·湖北武汉模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用an表示解下nn≤9，n∈N*个圆环所需的最少移动次数．若a1＝1，且an＋1＝2an+2，n为奇数，2an-1，n为偶数， 则解下6个圆环所需的最少移动次数为________．
64 [因为a1＝1，所以a2＝2a1＋2＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝2a3＋2＝16，a5＝2a4－1＝31，a6＝2a5＋2＝64．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：数列求通项、求和
往往利用an和Sn的关系或递推关系求通项公式，根据通项公式的特点，灵活的选择裂项相消、错位相减、分组求和法求解前n项和．
2．轮考点：等差、等比数列的性质、基本运算
(1)由等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查数列中的基本运算．
(2)利用定义构造或证明等差、等比数列问题．
(3)通过周期数列、数列的最值、数列的单调性考查数列的函数性质．
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列
对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an