黑龙江省哈尔滨市荣智学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市荣智学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了 的倒数是， 下列计算正确的是， 若tan=，则锐角a的度数是等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了倒数的定义．直接利用倒数的定义“两个数乘积是1的数互为倒数”得出答案．
【详解】解：的倒数为．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方；根据合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方求解即可．
【详解】A、和不是同类项，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
3. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
4. 在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（ ）
A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变，
∴锐角A的三角函数值不变；
故选A．
5. 若tan(a+10°)=，则锐角a的度数是 ( )
A. 20°B. 30°C. 35°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角形函数值即可求解.
【详解】∵，tan(a+10°)=3，
∴a+10°＝60°，
即a＝50°.
故选D.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.牢记是解题的关键.
6. 一块面积为900平方米的矩形绿地，长比宽多10米，设绿地的长为米，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设绿地的长为x米，则宽为（x-10）米，根据矩形的面积公式结合矩形的面积为900平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设绿地的长为x米，则宽为（x-10）米，
根据矩形的面积公式，得：x（x-10）=900．
故选A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程是解题的关键
7. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ）
A. 6B. 2C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】在△ABC中，∠C=90°，sinA=，
由BC=4即可求得AB=6，
根据勾股定理即可得AC=，
故选：B.
8. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则csC的值为( )
A. B. C. D. .
【答案】D
【解析】
【分析】设小正方形边长为1，先利用勾股定理求AC，再代入csC=．
【详解】解：设小正方形边长为1，则AC=．
所以，csC=
故选D．
【点睛】本题考核知识点：求锐角的余弦.解题关键点：利用勾股定理就出斜边．
9. 如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( )
A. 6.4mB. 7m
C. 8m.D. 9m
【答案】D
【解析】
【分析】设旗杆高度为h，由题意得，解方程可得.
【详解】设旗杆高度为h，
由题意得，
解得：h=9米．
故选D．
【点睛】考核知识点：相似三角形性质的运用.根据题意找出比例式是关键.
10. 如图,在△ABC中,点D、E分别为AB、AC边上的点,连接DE,且DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理可求出答案
【详解】A.∵DE∥BC
∴ ,故A错误
B.∵DE∥BC
∴,故B错误
C.∵DE∥BC
∴
∴,故C正确
D∵DB∥BC
故D错误
故选C
【点睛】此题考查据平行线分线段成比例定理，解题关键在于对定理的理解，以及比例式的变形
二． 填空题(满分30分，每小题3分)
11. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km．
【答案】3.84×105
【解析】
【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式．
【详解】384000=3.84×105.
故答案是：3.84×105.
【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】∵分式在实数范围内有意义，
∴x−1≠0，
解得：x≠1
故答案为x≠1．
【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义．
13 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】先把化简为，然后再合并同类二次根式求出答案即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题的关键．
14. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
15. 不等式组的解集是___________．
【答案】-3【解析】
【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x>3，然后利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得：x≤1，解①得：x>3，
∴不等式组的解集为：-3故答案为：-3【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
16. 九年三班文学小组在图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意可列方程____．
【答案】x （x−1）＝240
【解析】
【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x−1）本，有x名学生，那么总互共送x（x−1）本，根据全组共互赠了240本图书即可得出方程．
【详解】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x−1）本；
则总共送出的图书为x（x−1）；
又知实际互赠了240本图书，
则x （x−1）＝240．
故答案为：x （x−1）＝240．
【点睛】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x−1）本是解决本题的关键．
17. 某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】设平均每次下降的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设每次下降的百分率为，根据题意列方程得
，
解得，（不符合题意，舍去）．
所以每次下降的百分率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
18. 如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为________海里.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可求得∠CAB=90º，∠ABC=45º，则△ABC为等腰直角三角形，再由路程=时间×速度求得AC，再通过解该直角三角即可求得BC．
【详解】由题意知，∠CAB=75º+15º=90º，∠ABC=60º-15º=45º，AC=60×0.5=30海里，
则有△ABC为等腰直角三角形，
∴BC= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角，解答的关键是推知△ABC为等腰直角三角形．
19. 在中， 则的长为____________．
【答案】15或9
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，过点作，分高在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：过点作，
①当高在内部时，如图：
则：
设，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当高在的外部时，如图：
同法可得：，
∴；
故答案：15或9．
20. 如图，是等边三角形， 点E、 D分别在上，和交于点F， 若 ， 则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，过点作，含30度角的直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键的证明三角形全等和相似，添加辅助线，构造特殊图形．
三． 解答题(共7 小题，满分60分)
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】分别化简代数式和的值，代入计算．
【详解】解：原式．
，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊三角函数的值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
22. 如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在格点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在格点上，且三角形ABC的面积为 ．
（2）在方格纸中画出以AB为一边的菱形ABDE，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为3，连接CE，请直接写出线段CE的长．

【答案】（1）见解析（2）3
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质及勾股定理作出图形即可；（2）根据菱形的性质（菱形的面积等于两对角线乘积的一半）作出图形，再根据勾股定理求得EC的长即可.
【详解】（1）如图所示：△ABC即所求；

（2）如图所示：菱形ABDE即为所求，
EC＝．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意确定符合条件的点是解决问题的关键.
23. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求抽取了多少名学生的成绩；
（2）求样本中学成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）该校九年级共有1000人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？
【答案】（1）50名 （2）10名，补全条形统计图见解析
（3）200名
【解析】
【分析】（1）由“良”的人数除以其所占的百分比即可求解；
（2）利用“中”所占的百分比乘以样本总人数即可求得“中”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用成绩类别为“优”的人数除以样本总人数求得其所占的百分比，再乘以全校人数即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得，（名），
答：抽取了50名学生的成绩；
【小问2详解】
解：由题意可得，成绩类别为“中”的人数为（名），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：由题意可得，（人），
答：估算该校九年级共有200名学生的数学成绩达到优秀．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用、用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
24. 已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF.
（1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）如图2，若AB=AC，∠A=36°，不添加辅助线，请你直接写出与DE相等的所有线段（AF除外）.
【答案】（1）见解析；（2）CD、BE、BG、FG
【解析】
【详解】试题分析：利用等角对等边证明，证得,
又据此即可证得四边形是平行四边形.
是等腰三角形.
试题解析：
又是的平分线，即
又
又
∴四边形是平行四边形，
与相等的线段有：
25. 乐乐商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍.
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）乐乐商店将甲种零件每件售价定为260元，乙种零件每件售价定为190元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件。且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多4个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利不少于2400元.求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
【答案】（1）甲零件为200元，乙零件为150元
（2）该商店本次购进甲种零件至少是16个
【解析】
【分析】（1）设每个甲种零件为x元，乙种零件为元，根据题意列出关于x的分式方程，求解即可；
（2）设购进甲零件m个，根据题意列出关于m一元一次不等式，进行求解即可．
【小问1详解】
解：设每个甲种零件为x元，乙种零件为元，由题意可得：
，
解得，
经检验是原方程的解，
，
答：甲零件为200元，乙零件为150元．
【小问2详解】
解：设购进甲零件m个，
，
解得，
答：该商店本次购进甲种零件至少是16个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，明确题意列出方程和不等式是解题的关键．
26. 四边形的对角线和交于点 E， 且，．
（1）如图1， 求证：平分；
（2）如图1， 求证：
（3）如图2，在（2）的条件下，点F在上，连接，， ，的面积为6，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作，，易得四边形为矩形，证明，得到，即可得证；
（2）证明四边形为正方形，进而得到，即可得证；
（3）过点作，延长交于点，过点作，为等腰直角三角形，得到，平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，得到，设，则：，求出，得到，根据，求出的值，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可．
【小问1详解】
证明：过点作，，则：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
【小问2详解】
由（1）知：，，四边形为矩形，
∴四边形为正方形，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
过点作，延长交于点，过点作，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 交x轴于点A，交y轴于点C，点连接．
（1）求直线的解析式；
（2）点P 在线段的延长线上，连接，若，的面积为S，求S与之间的函数关系式(不需要写出自变量 m的取值范围)；
（3）在(2)的条件下，点 R在x轴上的点A的右侧，连接，点Q在上， ，若， 求点 Q 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据直线 ，求出点C的坐标，然后再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）先求出，先证明为直角三角形，，得出，根据三角形面积公式求出，即可得出答案；
（3）先根据，求出，设点，则，求出，过点P作轴于点T，轴于点I，过点Q作于点S，证明，得出，设，则，得出，求出（负值舍去），得出，，根据，求出，得出，根据勾股定理得出，求出点Q的横坐标为：，即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：把代入代入得：，
解得：，
∴，
∵，
，
，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
即；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：，
∴，
设点，则，
解得：或（舍去），
∴，
过点P作轴于点T，轴于点I，过点Q作于点S，如图所示：
则，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
根据勾股定理得：，
∴点Q的横坐标为：，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角函数的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．