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山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版）
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这是一份山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版），共4页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. 或D.
2. 虚数单位，若，则（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 25
3. 已知向量．若与平行，则实数λ值为（ ）
A. B. C. 1D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A f（x）无最大值B. f（x）有唯一零点
C. f（x）在（0，＋∞）单调递增D. f（0）为f（x）的一个极小值
11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C与y轴的交点为，B. 曲线C关于x轴对称
C. 面积的最大值为2D. 的取值范围是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________.
13. 已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为________.
14. 在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知的内角的对边分别为的面积为．
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.
16. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
17. 在底面为梯形的多面体中．，且四边形为矩形．点在线段上．
（1）点线段中点时，求证：平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求．若不存在，请说明理由．
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列bn是项数为8对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出bn的每一项．
（2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. 或D.
2. 虚数单位，若，则（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 25
3. 已知向量．若与平行，则实数λ值为（ ）
A. B. C. 1D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A f（x）无最大值B. f（x）有唯一零点
C. f（x）在（0，＋∞）单调递增D. f（0）为f（x）的一个极小值
11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C与y轴的交点为，B. 曲线C关于x轴对称
C. 面积的最大值为2D. 的取值范围是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________.
13. 已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为________.
14. 在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知的内角的对边分别为的面积为．
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.
16. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
17. 在底面为梯形的多面体中．，且四边形为矩形．点在线段上．
（1）点线段中点时，求证：平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求．若不存在，请说明理由．
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列bn是项数为8对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出bn的每一项．
（2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
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