[数学][期中]辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试试题(解析版)

这是一份[数学][期中]辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可得或；
由可得且，
所以由不能推出，但由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 函数的图像必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数，令，即，可得，
所以函数的图象必经过点.
故选：D.
4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意可得，
解得，所以每头牛值金两，每只羊值金两．
故选：A．
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，且，
所以.
故选：B.
6. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
故选：A.
7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，由知，函数单调递减，
由函数（，且）在区间上单调递增，
则单调递减且，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于的定义域为，
且，所以为偶函数，
又当时，为单调递增函数，
故由得，解得.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论中不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】A.因为，可知，，则，故A正确；
B.若，满足，此时，故B错误；
C.，，满足，此时，故C错误；
D. ，因为，所以，，
即，即，故D正确.
故选：BC.
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于点对称
B. 在区间单调递减
C. 的值域为
D. 的图像关于直线对称
【答案】ABD
【解析】化简得，
的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出的图象，再进行平移画出的图象，
因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数，
则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数，
则在上单调递减，值域为，
若点在图象上，则，整理得，
即点也在图象上，可知的图像关于直线对称，
所以ABD正确；C错误.
故选：ABD.
11. 已知一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】一元二次不等式的解集为或，
则是方程的两根，且，
则，得，则错误；
，B正确；
，C正确；
，
当且仅当，即时，等号成立.故，D正确.
故选：BCD.
12. 已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（ ）
A. 若，则
B. 是偶函数
C. 在上是增函数
D. 的解集是
【答案】ACD
【解析】对选项A：取得到，即，
取，得到，又，，
解得，正确；
对选项B：取得到，即，
，函数定义域为，函数为奇函数，错误；
对选项C：设，则
，
时，，故，，故，
即，函数单调递增，正确；
对选项D：，，
当时，，则，故；
当时，不成立；
当时，，则，故；
综上所述：，正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，
所以有，
所以该函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】，则.
故答案为：.
15. 已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】1
【解析】因为正实数满足，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案：.
16. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数在区间上有两个零点，
即在区间上有两个不同的解，
即在区间上有两个不同的解，
转化成与在区间上有两个不同的交点，
结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，
且，所以，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由题意得，集合，
所以，.
（2）因为，所以
又因为，所以，即，
所以的取值范围为.
18. 已知正实数满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）将两边平方得，
所以.
（2）因为是正实数，令，
则，所以，
可得，
所以.
19. 已知函数.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
解：（1）证明：由，
因为，则，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，
所以.
（2）由，得，解得，或，
则或，
即或，
解得或.
20. 某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，设，（单位：）.
（1）请用表示；
（2）当取何值时，的面积最大，并求最大值.
解：（1）因为，
直角三角形与直角三角形全等，所以，
在中，，
所以，
整理得.
（2）由（1）得的面积为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积最大，最大值为.
21. 已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
解：（1）当时，的图像开口向上且对称轴方程为，
要使在上单调递减，需满足，
解得，所以的取值范围为.
（2）不等式，即，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，
不等式的解为；
当时，不等式化为，
若，即时，不等式的解为或，
若，即时，不等式的解为，
若，即时，不等式的解为或，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解集为.
22. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
解：（1）因为，则的图象关于直线对称，
且在轴上截得线段长为，
的图象与轴的交点分别为，
所以设，
该函数的图象经过点，所以，解得，
所以.
（2）因为，其对称轴方程为，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，当时，，
当时，，
当时，.
（3）若对于任意，总存在，使得成立，
等价于，
函数，
因为，所以，所以当时，取得最小值为，
当时，，所以，不成立；
当时，，所以，
解得或，所以；
当时，，
所以，解得，所以；
综上所述，的取值范围是.