高考数学第一轮复习(新教材新高考)第19讲拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第19讲拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共21页。


命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习
知识讲解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如fx=x3在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．
考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用
1．（2023·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
3．（2023·全国·高三专题练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
1．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．（2023·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用
设 ,
求证: 当 时, 对任意 , 有
设 ,
当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围
设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围
1．已知函数，若对任意都有恒成立，求的取值范围
设的导函数是,对任意两个不相等的正数,
当时,证明:
3．（2022秋·云南保山·高二校考阶段练习）设函数
（1）求证：的导数；
（2）若对任意都有求a的取值范围．
4．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）设,证明.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间内存在导函数，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在区间上的中值点.若关于函数在区间上“中值点”个数为，函数在区间上“中值点”的个数为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）设在可导，且，又对于内所有的点有证明方程在内有唯一的实根．
3．（2023·全国·高三专题练习）试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间．
4．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
5．（2023·全国·高三专题练习）设在上连续，在内可导，且．求证：存在，使．
6．（2023·全国·高三专题练习）验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的．
8．（2023·全国·高三专题练习）设，证明：对任意的实数，当时，关于x的方程在区间上恒有实数解．
9．（高考真题）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
10．（2022·广东·统考一模）已知，为的导函数.
(1)若对任意都有，求的取值范围；
(2)若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立.
第19讲 拉格朗日中值定理在导数中的应用
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习
知识讲解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如fx=x3在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．
考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用
1．（2023·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出导数，列方程求解作答.
【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，
则有，即，解得，
所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【分析】利用中值点的定义分别求解两函数的中值点即可
【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得，
则由拉格朗日中值定理得，，即，因为，所以，所以函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，
设函数在区间上的“中值点”为，由，得，则由拉格朗日中值定理得，，即，作出函数和的图像如图所示，，当时，，
由图可知，函数和的图像在区间上有一个交点，即方程区间上有1个解，所以函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，
所以，
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
【答案】
【分析】先求，结合拉格朗日中值的定义，可得求得的值即可.
【详解】由可得，
所以，
由拉格朗日中值的定义可知，
即，
所以．
故答案为： .
1．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据题设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数进行分析，将问题转化为求在上的解的个数问题，再结合余弦函数的性质求解即可..
【详解】由题意，函数，
所以，
所以，
所以由拉格朗日中值定理得：，即，
所以，
由于时，
所以在无解，在上有2解.
所以函数在区间上的中值点的个数为2个.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
【详解】函数，
则，
由，
得，即，
解得，
所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
故选：B.
3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
【答案】
【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.
【详解】，，
令，解得：或，
在上的“拉格朗日中值点”的个数为.
故答案为：.
考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用
设 ,
求证: 当 时, 对任意 , 有
证明: 由拉格朗日中值定理可知只需证 对 恒成立
由 ,
因为
所以
则
设 ,
当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围
解: 由拉格朗日中值定理, 可知必存在 ,
使得 ,
当 且 时,

由题意 ,
即
设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围
解: 时, 等价于 ,
由拉格朗日中值定理, 存在 使得 ,
故只需 恒成立即可
又 ,
所以
1．已知函数，若对任意都有恒成立，求的取值范围
解：因为 ，所以 ，
注意到 ，
则 恒成立。
由拉格朗日中值定理知 :
存在 使得
所以 恒成立.
显然 在 单调递增，故 ，
所以 .
设的导函数是,对任意两个不相等的正数,
当时,证明:
解：令,
由拉格朗日中值定理,存在使得对任意两个不相等的正数,
只需证明当时,都有
即证明恒成立,
而
故当时,成立,故原命题成立
3．（2022秋·云南保山·高二校考阶段练习）设函数
（1）求证：的导数；
（2）若对任意都有求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）（﹣∞，2]
【分析】（1）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a＝b时取等号．得到f'（x）≥2；
（2）把不等式变形令g（x）＝f（x）﹣ax并求出导函数令其＝0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．
【详解】解：（1）f（x）的导数f'（x）＝ex+e﹣x．
由于，故f'（x）≥2．
（当且仅当x＝0时，等号成立）．
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax，则g'（x）＝f'（x）﹣a＝ex+e﹣x﹣a，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）＝ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）＝0的正根为，
此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．
【点睛】考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
4．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）设,证明.
【答案】（1）0；(2)详见解析.
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将代入函数得到的表达式后进行整理，根据（1）可得到，将放缩变形为代入即可得到左边不等式成立，再用根据的单调性进行放缩．然后整理即可证明不等式右边成立．
【详解】(1）由已知可得x>-1, -1，令0得x=0.
当-10
当x>0时，<0 所以f(x)的最大值为f(0)=0
（２）证明：只需证＜（ｂ－）
整理得＋＜０
即证＜０
上式两边除以，整理得
设＞１令Ｆ（ｘ）＝
当ｘ＞１时＜０
Ｆ（ｘ）在区间（1，+∞）上单调减，又Ｆ（１）＝０
Ｆ（ｘ）＜０
＝
g()﹢g(b)﹣＜（b﹣）ln2.
【点睛】考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.平均值不等式在函数极值中的应用．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间内存在导函数，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在区间上的中值点.若关于函数在区间上“中值点”个数为，函数在区间上“中值点”的个数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出的导函数，由拉格朗日中值定理可得，故该方程根的个数为即为函数在区间上“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关系即可求解.
【详解】设在闭区间上的中值点为，
由，由拉格朗日中值定理可得：，
因为，
所以，可得，
即，作出函数和的图象如图：
由图可知，函数和的图象在上有两个交点，
所以方程在上有两个解，
即函数在区间上有2个中值点，
所以，只有符合，

故选：C.
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）设在可导，且，又对于内所有的点有证明方程在内有唯一的实根．
【答案】证明见解析
【分析】根据函数零点存在原理，结合拉格朗日中值定理进行证明即可.
【详解】令，又∵，则
∴函数g（x）在（0，1）内至少有一个实根．
假设方程在（0，1）内有两个实根不妨设为，
则有，对函数）在上运用拉格朗日中值定理有
．因此
这和已知条件矛盾．∴方程在（0，1）内有唯一的实根．
3．（2023·全国·高三专题练习）试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间．
【答案】证明见解析
【分析】不妨设所讨论的区间为，则由拉格朗日中值定理可得，代入化简即可证明.
【详解】证明：不妨设所讨论的区间为，则函数在上连续，
在内可导，从而有，
即，
解得，结论成立．
4．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
5．（2023·全国·高三专题练习）设在上连续，在内可导，且．求证：存在，使．
【答案】证明见解析
【分析】从结论出发，变形为，构造辅助函数使其导函数，然后再利用罗尔中值定理，便得结论．
【详解】证明：构造辅助函数，
根据题意在上连续，在内可导，
且，，
从而由罗尔中值定理得：存在，使，即．
6．（2023·全国·高三专题练习）验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性．
【答案】证明见解析
【分析】根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程，若得到的根则可验证定理的正确性．
【详解】∵在连续，在内可导，
在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．
又，，
∴要使，只要：，
∴，使，验证完毕．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的．
【答案】
【分析】由拉格朗日中值定理可知，，解方程即可得出答案.
【详解】要使，
只要，从而即为满足定理的．
8．（2023·全国·高三专题练习）设，证明：对任意的实数，当时，关于x的方程在区间上恒有实数解．
【答案】证明见解析
【分析】结合函数解析式，将原问题转化为证明，由此分别构造函数，利用导数判断函数单调性，证明该不等式成立即可.
【详解】由题意，当时，方程即为,
于是要证关于x的方程在区间上恒有实数解，
只需证明．
令，当时，，
于是在上单调递增，∴,即；
令，当时，，
于是在上单调递增，∴，即，
故成立，
从而对任意的实数，当时，关于x的方程在区间上恒有实数解．
9．（高考真题）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
【答案】（Ⅰ）在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
【详解】解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
10．（2022·广东·统考一模）已知，为的导函数.
(1)若对任意都有，求的取值范围；
(2)若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过分离变量的方式得到，利用导数可求得，由此可得的范围；
（2）将问题转化为在区间上有唯一的零点，由解析式可确定在上单调递减；结合（1）的结论知，进而得到，，由零点存在定理可证得结论.
【详解】（1）由得：，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，即的取值范围为.
（2）设，将问题转化为在区间上有唯一的零点，
由，知在区间上单调递减，故函数在区间上至多有个零点，
，
，
由（1）知：当时，（当且仅当时取等号），
，，，又，即，，
，，，即，
又，即，，
由函数零点存在定理知：在区间上有唯一的零点，即存在唯一的，使得成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，本题第二问证明的关键是能够将问题转化为在区间上有唯一的零点的证明问题，从而能够结合零点存在定理进行证明.
2
0
极小值