湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了 下列各组数中，是勾股数的是， 在平面直角坐标系中，点M在， 函数中，自变量的取值范围是， 下列命题是真命题的是， 做一做等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列各组数中，是勾股数的是（）
A. 5，12，13B. 7，9，11C. 6，9，12D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A，，故5，12，13是勾股数；
B，，故7，9，11不是勾股数；
C，，故6，9，12不是勾股数；
D，不是整数，故不是勾股数．
故选A．
2. 在平面直角坐标系中，点M(3，2)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标与点所在的象限的关系，即可得到答案.
【详解】∵3>0，2>0，
∴点M(3，2)在第一象限，
故选A.
【点睛】本题主要考查点的坐标与点所在象限的关系，掌握点的坐标的正负性与所在象限的关系，是解题的关键.
3. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. ＞2B. ≥2C. ≤2D. ＜2
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】根据题意得，x-2＞0，
解得，x＞2.
故选A.
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4. 有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（）
A. 4组B. 5组C. 6组D. 7组
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布表的意义和制作方法，分组应注意包含最大值、最小值，且起始值和结束值均要比最大值要大一些，比最小值要小一些．
一般分组的起始数据、结束时间均要比最大值大一些，比最小值小一些，而，为使数据统计更客观分6组较好．
【详解】解：，为使数据统计更客观，一般分组的起始数据、结束时间均要比最大值大一些，比最小值小一些，
故分为6组比较合适．
故选：C．
5. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义．
6. 若一次函数图象经过点，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据 即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，
∴y 随着 x 的增大而增大
∵点是一次函数 图象上的两个点，，
∴
故选：A．
7. 下列命题是真命题的是（）
A. 有两边相等的平行四边形是菱形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 四个角都相等的平行四边形是正方形
D. 有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查命题与定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断即可．
【详解】解：邻边相等的平行四边形是菱形，故A是假命题，不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是真命题，符合题意；
四个角都相等的平行四边形是矩形，故C是假命题，不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的画法，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据题意可得平分，可求得，利用平行线的性质，即可解答，熟知角平分线的画法是解题的关键．
【详解】解：由题意可得平分，又，，
，
，
，
故选：A．
9. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（）
A. 有一个角是直角的菱形是正方形B. 有一组邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形与翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，再证明四边形是菱形，再由，再结合正方形的判定即可证明，
【详解】如图，
将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合，
，，，
又，
，
，
，
，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
故选：A
10. 如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（）
A. 平行四边形→菱形→平行四边形B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中位线，得到，，，进而得到四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，，进而得到，此时平行四边形是菱形，由，，，得到，平行四边形不可能是矩形或正方形，即可求解，
本题考查了，三角形的中位线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握先关判定定理．
【详解】解：连接、、、，
∵点E，F，G，H分别是、、、的中点，
∴，，，，，，，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴，
∴平行四边形不可能是矩形或正方形，
故选：．
二．填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 边形的外角和等于_________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和为是解题的关键，根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】解：多边形外角和为，
∴边形的外角和等于，
故答案为： ．
12. 若点与点关于轴对称，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点与点关于轴对称，
点的坐标为，
故答案为：．
13. 已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可．
【详解】∵=2，
∴，，0是有理数，，π是无理数，
∴无理数出现的频率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键．
14. 从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图求出和为正数的概率，根据一次函数图象经过一、三象限得到，由此即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，结果两数的和为正数的结果有6种，
∴从四个数中随机取两个数的和为正数的概率为，
∵一次函数的图象经过一、三象限，
∴，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，一次函数图象与系数的关系等等，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
15. 如图，在中，，CD是高，若，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，含度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是得出和，难度适中．根据同角的余角相等得出，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案．
【详解】解：∵，CD是高，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
16. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则的度数是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和共求出六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补即可求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数．
【详解】解：∵图中六边形为正六边形，
∴，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正多边形的内角和公式，正多边形的外角与内角的互补，熟记正多边形的内角和公式是解题的关键．
17. 若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，先判断轴，结合矩形的性质有轴，轴，轴，问题即可作答．
【详解】∵、、，
∴轴，
∴在矩形中，轴，轴，轴，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，点，C-2,0，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标及勾股定理．根据题意，由，C-2,0，求出，然后求，再用勾股定理求即可．
【详解】解：，C-2,0
．
故答案为：．
三．解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，乘方运算，原式分别化简，，，再计算乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
20. 如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米．
（1）求小路的长；
（2）求小路的长．
【答案】（1）小路的长为12米
（2）小路的长为7.2米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及三角形面积，根据勾股定理求出AD、AC的长是解题的关键．
（1）由勾股定理求出AD的长即可；
（2）由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出DE的长即可．
【小问1详解】
，
，
（米），
答：小路的长为12米；
【小问2详解】
在中，由勾股定理得：（米），
，
，
（米），
答：小路的长为7.2米．
21. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出C、D两颗棋子的坐标；
（3）有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E．
【答案】（1）见解析（2），
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用，得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案；
（3）根据点的坐标的定义可得．
【小问1详解】
平面直角坐标系如图：
【小问2详解】
由平面直角坐标系可得，；
小问3详解】
E点如图所示；
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．
【答案】（1）56°；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形中位线定理得到E是AC的中点，根据直角三角形的性质证明结论．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝34°，
∴∠BAD＝90°﹣34°＝56°；
（2）证明：∵D是BC的中点，DE//AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴AE＝AC.
在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝AC，
∴AC＝AE．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
23. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，进而解答即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
24. 某校七年级学生参加60秒跳绳测试，从七年级学生中随机抽取了部分同学的成绩，并绘制了如下不完整的统计表和统计图，请解答下列问题：
（1），；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳120次及以上的学生有多少人？
【答案】（1）10，
（2）补全频数分布直方图见解析
（3）估计60秒能跳绳120次及以上的学生有144人
【解析】
【分析】（1）利用的频数除以其百分比求出总数，再乘以组的百分比即可求出m；根据总数求出组的频数，再除以总次数，即可求出n；
（2）根据（1）中数据补全图形即可；
（3）利用样本中60秒能跳120次及以上学生占比乘以七年级总人数即可作答．
【小问1详解】
（人），
组的频数为：（人），
即，
故答案为：10，；
【小问2详解】
如图，补全图形如下：
【小问3详解】
（人）
答：60秒能跳绳120次及以上的学生有144人．
【点睛】本题主要考查了频数统计表，条形统计图，用样本所占百分比估计总体等知识，掌握频数统计表所含数据信息是解答本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，，与轴交于点．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题；
（2）求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值．
【小问1详解】
解：把代入，
得，
，
反比例函数的解析式为，
把点代入，
得，
解得：，
，
把，代入，
得，
，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：一次函数的解析式为，令，则，
一次函数与轴的交点为，
此时，最大，即为所求，
令，则，
，
如图，过点向轴作垂线，
，
则，
，，
由勾股定理可得：，
故所求的最大值为．
点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．
26. 如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形是平行四边形时，求t的值；
（2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
（3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
【答案】（1）
（2）7；4（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解；
（2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可；
（3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值．
【小问1详解】
解：当四边形是平行四边形时，，
∴，
解得．
【小问2详解】
解：若四边形是矩形，则：
，
∴，
解得：；
若四边形是正方形，则：
，
∴,
解得：，
设P点运动速度为，则由可得：
，
解得：，
∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是；
故答案为：7；4；
【小问3详解】
解：如图，
若四边形是菱形，则，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键．
次数分组
频数
百分比
3
4
19
m
8
n
2
合计