2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷(一)（解析版）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷(一)（解析版），共22页。
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符 合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1. 比小3的数是（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列式计算即可．
【详解】解：比小3的数是：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则，是解题的关键．
2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；据此即可求解.
【详解】解：由中心对称图形的定义可知：A、B、D均不是中心对称图形，C是中心对称图形
故选：C ．
3. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此即可解答．
【详解】解：∵，且，
∴，
故选：A．
4. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，
故选：
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象有四种情况：
时，函数图象经过一、二、三象限，随的增大而增大；
时，函数图象经过一、三、四象限，随的增大而增大；
时，函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小；
时，函数图象经过二、三、四象限，随的增大而减小．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 机场对旅客的行李的检查应采取抽样调查
B. 检测一批灯管的使用寿命不宜采取全面调查
C. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上
D. 反映一种饮料的成分构成应采用折线统计图
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查调查的方式，概率的意义和统计图，根据调查的方式，概率的意义和统计图的特点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、机场对旅客的行李的检查应采取全面调查，原说法错误，不符合题意；
B、检测一批灯管的使用寿命不宜采取全面调查，说法正确，符合题意；
C、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同，原说法错误，不符合题意；
D、反映一种饮料的成分构成应采用扇形统计图或条形统计图，原说法错误，不符合题意；
故选B．
6. 如图，在中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：A．
7. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（ ）
A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=35°．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，
∴∠B=90°-∠CAB=35°，
∴∠D=∠B=35°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，注意运用数形结合的思想方法．
8. 已知关于x，y的二元一次方程组 ，则的值为（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相减后，即可得出结果．
【详解】解：，
，得：；
故选C．
9. 如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（ ）
A. 6B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，根据同高三角形的面积比等底边比，求出的面积，即可得出k 的值．
【详解】解：连接，
∵轴，
∴轴，
∵点A 在反比例函数上，点 B在反比例函数上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
10. 小强用一些完全相同等腰三角形纸片（图中）拼接图案，已知，．若按照如图所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是（ ）
A. 正四边形B. 正五边形C. 正六边形D. 正七边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角的性质与内角的性质等知识点，先求出的度数，再求出图中正多边形的每一个内角的度数，进而求出答案，熟记正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴多边形的每一个内角的度数为：，
∵多变形的每一条边相等，
∴多变形为正多边形，
∴正多边形的边数等于：，
故选：B．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11. 计算：____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了整式乘法和乘方运算，根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 作为中国非常重要的制造业基地，长沙拥有工程机械、汽车及零部件、新材料、电 子信息等七大千亿级制造业产业集群，数字经济总量突破450000000000元．数据“450000000000”用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法，为整数，进行表示即可．
【详解】解：；
故答案为：．
13. 衣橱中挂着4套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答．
【详解】解：设四件上衣分别为A、B、C、D，它们对应的裤子分别为a、b、c、d，
列出表格如下：
由表可知，一共有16种情况，它们取自同一套的情况有4种，
∴它们取自同一套的概率，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是．若点B和点A关于坐标原点成中心对称，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均互为相反数，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：点B的坐标为；
故答案为：．
15. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边AB相交于点P，E是的中点，连接．若，则的长为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等角对等边等知识点，根据题意可得，进而得；再由是BD的中点，E是的中点即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，是BD的中点，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∵E是的中点，
∴
故答案为：
16. 已知一组有理数a，b，我们将左边的数减去右边相邻的数即的值插入到a，b之间称之为一次“差数操作”．若，，第一次“差数操作”得2，5，；第二次“差数操作”得2，，5，8，；则第2024次“差数操作”所得数的和是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了数字规律，理解“差数操作”的定义和发现操作一次数串比前一次之和多5的规律是解答本题的关键．根据题意，求出操作一次数串比前一次之和多5，进行求解即可．
【详解】解：第一次“差数操作”得2，5，；和为：；
第二次“差数操作”得2，，5，8，；和为：；
第三次“差数操作”得2，5，，，5，，8，，；和为：；
观察可知：操作一次数串比前一次之和多5
∴第次操作后，和为，
∴第2024次“差数操作”所得数的和是；
故答案为：．
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
【详解】解：原式
18. 已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
又可因式分解成，
∴，
∴．
19. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形，且点C在格点上．（画出一个即可）
（2）在图2中画出以为边的菱形，且点D，E均在格点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】利用轴对称图形、中心对称图形的特点画出符合条件的图形即可；
【小问1详解】
答案不唯一．
【小问2详解】
【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的特点，熟练掌握特殊三角形与四边形的性质才能准确画出符合条件的图形．
20. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．将得到的数据分成A：、B：、C：、D：四组，并根据分析结果绘制如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角度数为______；
（4）已知“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿在45个及以上(含45个)的植株数．
【答案】（1）20 （2）见解析
（3）
（4）225
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数，中位数以及加权平均数等知识点，
（1）用总数减去其它三组的频数可得组的棵数，继而求出，
（2）根据组的棵数，补全频数分布直方图即可；
（3）用C组对应的百分比乘以计算即可；
（4）用300乘样本中小西红柿在45个及以上(含45个)所占的百分比可得答案；
熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【小问1详解】
由题意得，组的棵数为：（棵），
，即，
故答案为：20；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下

【小问3详解】
扇形统计图中C组所在扇形的圆心角度数为：．
故答案为：；
小问4详解】
(棵)．
∴这300棵西红柿植株上小西红柿在45个及以上(含45个)的植株数为225棵．
21. 如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．

（1）求证：；
（2）若正方形的边长为2，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键．
（1）连接，证明，即可得证；
（2）设，在中，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出结果．
【小问1详解】
解：连接，如图，

正方形，
，
点是中点，
，
由折叠可知：，
则，，，
，
在和中，
，
．
；
【小问2详解】
由（1）知：，，
设，
正方形的边长为2，
，
则，，
在中，
，
，
解得：，
．
22. 某校科技节举行了数学魔方大赛，现决定购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价贵6元，且用800元购买甲笔记本的数量与用640元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）若学校需要购买甲、乙两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总费用不超过2730元，则学校至少购买乙种笔记本多少本？
【答案】（1）甲、乙两种笔记本的单价分别为元和元
（2）学校至少购买乙种笔记本45本
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设乙笔记本的单价为元，根据甲笔记本的单价比乙笔记本的单价贵6元，且用800元购买甲笔记本的数量与用640元购买乙笔记本的数量相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设学校购买乙种笔记本本，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设乙笔记本的单价为元，由题意，得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：甲、乙两种笔记本的单价分别为元和元；
【小问2详解】
设学校购买乙种笔记本本，则购买甲种笔记本本，由题意，得：，
解得：，
∴的最小值为45；
答：学校至少购买乙种笔记本45本．
23. 如图，在中，，D为的中点，以为直径的圆O交于点E，连接．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质：
（1）连接，圆周角定理，得到，斜边上的中线，得到，进而得到，根据，得到，即可得证；
（2）证明，得到，结合，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接，则：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是半径，
∴是圆的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是．
（1）写出一元二次方程的“倒序方程”；
（2）分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论；
（3）若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根．
【答案】（1）
（2）；；倒数关系，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握“倒序方程”的定义，是解题的关键：
（1）直接根据新定义作答即可；
（2）因式分解法求出两个方程的解，根据解的情况进行猜想即可；
（3）先求出关于x的方程的两根是，，进而得到的两个根为：或，再进行求解即可．
小问1详解】
解：一元二次方程的“倒序方程”为：；
小问2详解】
解：
，
解得：；
，
解得：；
∵，
∴猜想：的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系，
证明：的两个根为，
的两根为：，
∴，
，
∴的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系；
【小问3详解】
解：关于x的方程的两根是，，
则：关于x的方程的两根是，，
∴，即：的两个根为：
或，
解得：或．
25. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D在y轴负半轴上，且，点P，Q为抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，若，点E，F分别为的边上的动点，且，连接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将，，代入中，利用待定系数法即可求解；
（2）设交轴与点，交于点，推出，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标即可；
（3）作，且使，连接，证明得到，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：将，，代入中，
得，解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
设交轴与点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
联立，解得：或，
∴；
【小问3详解】
解：如图，作，且使，连接，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，共线时，的值最小，
作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，，
∴，
解得或(舍去)，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则的最小值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、最值问题、勾股定理，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键．
A
B
C
D
a
b
c
d