2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷（五）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷（五），共13页。试卷主要包含了0000052cm的小洞．数0等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在实数−π，−3，1，2中，最小的数是（ ）
A．−3B．−πC．1D．2
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为0.0000052cm的小洞．数0.0000052用科学记数法表示为（ ）
A．5.2×105B．5.2×10−6C．5.2×10−7D．52×107
4．2024年“五四”青年节到来之际，为鼓励学生“牢记使命，努力学习”，某校举办了演讲比赛，根据七位评委给小明的打分绘制了如下统计表：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在CD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠A=60°，∠E=45°，则∠CBD的大小为（ ）
A．30°B．18°C．15°D．10°
6．已知点−2,y1，3,y2均在直线y=2x−3的图象上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）
A．y1>y2B．y1=y2C．y17．观察如图作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．中垂线
8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为( )
A．6B．9C．12D．15
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=15，CD=24，则OE=（ ）
A．6B．62C．9D．12
10．甲、乙、丙3个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理，化学中的一个专业，且满足：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理．则（ ）
A．甲在C校学习，丙在B校学习B．甲在B校学习，丙在C校学习
C．甲在B校学习，丙在A校学习D．甲在C校学习，丙在A校学习
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式2x+3有意义，则x的取值范围是 ．
12．若x2−y2=20，x−y=4，则x+y= ．
13．在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为 ．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以点O为圆心，OB长为半径画圆，分别与菱形的边相交．若AB=2，∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）

15．如图，已知点A1,4，B5,4，点P是线段AB上的整点（不与A，B重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线y=kx（x>0）经过点P，写出一个符合条件的k的值： ．
16．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A,B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A,B,C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C有 个．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：−12024+4−2cs60°
18．先化简，再求值：(a−b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−2b)，其中a=2024，b=−1
19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cs55°≈0.6，tan55°≈1.4)
(1)求屋顶到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB．
20．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）
b．七年级学生成绩在80≤x<90这一组的是：80，80.5，81，82，82，83，83.5，84，84，85，86，86.5，87，88，89，89；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为 ；
(2)小佳此次大赛的成绩为83分，在被抽取的50名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩90分及以上为优秀，七年级共有学生400名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数．
21．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF=DC，AB=DE，∠A=∠D．求证：
（1）△ABC≌△DEF
（2）FH=CH．
22．为打造“绿色城市”降低空气中pm2.5的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2017年投资1000万元，预计2019年投资1210万元，若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
(1)求平均每年投资增长的百分率；
(2)若增长率不变，请你计算一下2020年投资多少万元？
23．如图1，在正方形ABCD中，E、F两点分别在边AD和BC上，CH⊥EF于点G，交AB于点H．
(1)求证：EF=CH；
(2)如图2，过G作AD的垂线分别交AD、BC于I、K两点，求证：BH=EI+FK；
(3)如图3，若F、M和N三点分别为BC、EF和CH的中点，AE=5DE，求MN:AB的值．
24．我们约定：若关于x的二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2−bx+a，则称函数y1与函数y2互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数y1=−3x2+kx+2与y2=mx2+x+n互为“共赢”函数，则k= ；m= ；n= ．
(2)对于任意非零实数r、s，点Pr,t与点Qs,t r≠s始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图像上运动，函数y2与y1互为“共赢”函数．
①求函数y2的图像的对称轴；
②函数y2的图像与直线y=−x+13交于A、B两点，且AB长为2，求y2的函数表达式；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1=ax2+bx+c与它的“共赢”函数y2的图像顶点分别为点A、点B．若函数y1，y2的图像交于不同两点C，D，且四边形ACBD为菱形，∠CAD=60°，请求出该菱形面积的取值范围．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点M，∠DMC=∠DAB．
(1)求证：AB=BC．
(2)当k≥1时，记DMAB=k，记S△ABMS△ADM=t．
①当k=32时，求t的值；
②求t的最大值．
(3)当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM=3；②S△BEM=2m−n；③S△DCM=3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．
平均数
中位数
众数
方差
9.3
9.2
9.2
0.2
年级统计量
平均数
中位数
七年级
85.3
m
八年级
87.2
85
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．x≥−32 12．5 13．16
14．23π−3 15．8或12或16（任选一个即可）． 16．4
三、解答题
17．【详解】解：−12024+4−2cs60°
=1+2−2×12
=3−1
=2
18．【详解】解：(a−b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−2b)
=a2−2ab+b2+a2−b2−2a2+4ab
=2ab，
当a=2024，b=−1时，原式=2×2024×−1=−4048．
19．【详解】（1）解： ∵EF∥CB，
∴∠C=∠AEG=35°，
∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
∴ EG=12EF=6m，AB⊥EF，
∴AG=EG⋅tan∠AEG=6×tan35°≈4.2(m)，
答：屋顶到横梁的距离为4.2m．
（2）解：过点E作EH⊥BC于点H，
设EH=BG=xm，
∵∠C=35°，
在Rt△CEH中，CH=EHtan∠C=xtan35°，
∵∠EDH=55°，
在Rt△DEH中，DH=EHtan∠EDH=xtan55°，
∵CH−DH=CD，
∴ xtan35°−xtan55°=8，
∵tan35°≈0.7，tan55°≈1.4，
∴解得：x≈11.2，
∴AB=AG+BG=11.2+4.2=15.4(m)，
答：房屋的高为15.4m．
20．【详解】（1）解：依题意，第25和26个数分别为为82，82
∴m=82+822=82
（2）解：小佳是七年级的学生，
理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为82，83>82
∴小佳是七年级的学生；
（3）解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为400×1350=104（人）
21．【详解】（1）∵AF=CD
∴AF+FC=CD+FC
即AC=DF
又∵AB=ED，∠A=∠D
∴△ABC≌△DEFSAS
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠HFC=∠HCF
∴HF=HC．
22．【详解】（1）解：设平均每年投资增长率为x，由题意，得：
10001+x2=1210，
解得：x=0.1=10%（负值已舍掉）；
答：平均每年投资增长率为10%；
（2）1210×1+10%=1331万元，
答：2020年投资1331万元．
23．【详解】（1）证明：过点E作EM⊥BC于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠D=∠A=90°，
∵EM⊥BC，CH⊥EF，
∴∠EMF=∠CGF=90°，
∴∠FCG+∠GFM=90°，∠GFM+∠FEM=90°，
∴∠FEM=∠FCG，
∵∠EMC=∠MCD=∠D=90°，
∴四边形DEMC为矩形，
∴ME=CD，
∵∠EMF=∠B=90°，
∴△CHB≌△EFMASA，
∴CH=EF．
（2）证明：过点F作FN⊥AD于点N，如图所示：
∵KI⊥AD，
∴∠FNE=∠KIN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠NFK=90°，
∴∠FNE=∠KIN=∠NFK=90°，
∴四边形NFKI为矩形，
∴NF=KI，
同理可得：四边形ABFN为矩形，
∴AB=NF，
∵∠NFG+∠GOF=90°，∠BCH+∠GOF=90°，
∴∠NFE=∠BCH，
∵∠FNE=∠B=90°，
∴△FNE≌△CBHASA，
∴NE=BH，
∵NE=NI+IE=EI+FK，
∴BH=EI+FK．
（3）解：连接CM并延长交AD于点K，连接KH，过点E作EI⊥BC于点I，如图所示：
设正方形边长为6a，则AE=5a，DE=a，
∵点F为BC的中点，
∴CF=BF=12BC=3a，
∵AD∥BC，
∴∠EKM=∠MCF，∠KEM=∠MFC，
∵点M为EF的中点，
∴EM=FM，
∴△KME≌△CMF，
∴CF=KE=3a，
∴KD=KE+ED=4a，
∴AK=AD−KD=2a，
∵∠EIC=∠ICD=∠D=90°，
∴四边形EICD为矩形，
∴EI=CD=BC，IC=ED=a，
∴FI=FC−IC=2a，
∵∠EFC+∠FEI=90°，∠EFC+∠HCB=90°，
∴∠FEI=∠HCB，
∴△EFI≌△CHB，
∴BH=FI=2a，
∴AH=6a−2a=4a，
∴KH=AH2+AK2=4a2+2a2=25a，
∵点M、N分别为CK、CH的中点，
∴MN=12KH=5a，
∴MNAB=5a6a=56．
24．【详解】（1）解：∵y1=−3x2+kx+2与y2=mx2+x+n互为“共赢”函数，
∴a=−3=n，b=k=−1，c=2=m，
故答案为：−1，2，−3，
（2）解：①∵点Pr,t与点Qs,t始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图像上运动，
∴对称轴为x=r+s2=−2r2，
∴s=−3r
∴y2=sx2−2rx+1，∴对称轴为x=−−2r2s=rs=−13，
②联立y2=−3rx2−2rx+1y=−x+13，得：3rx2+2r−1x−23=0，
∴xA=−2r−1+2r−12−4×3r×−232×3r，，xB=−2r−1−2r−12−4×3r×−232×3r
∵AB=2，
∴xA−xB=1，
∴2r−12−4×3r×−233r=1，
∴2r−12−4×3r×−23=3r2，即：5r+1r−1=0，解得：r1=1,r2=−15，
分别代入y2=−3rx2−2rx+1，
∴y2=−3x2−2x+1或y2=35x2+25x+1
（3）解：∵y1=ax2+bx+c，
∴y2=cx2−bx+a，xA=−b2a，A−b2a,4ac−b24a ，
同理xB=b2c，Bb2c,4ac−b24c ，
联立y1=ax2+bx+c，y2=cx2−bx+a，得：a−cx2+2bx+c−a=0，
∴xC+xD=−2ba−c，
∵四边形ACBD是菱形，
∴xC+xD=xA+xB，
∴−2ba−c=−b2a+b2c，
∴a+c2=0，
∴c=−a，
∴xA=xB，即：AB∥y轴，
设a>0，∵∠CAD=60°，
∴AB=3CD，
∴AB=yB−yA=4ac−b24c−4ac−b24a=−4a2−b2−4a−−4a2−b24a=b2+4a22a，
将a=−c，代入a−cx2+2bx+c−a=0，得：ax2+bx−a=0，
∴xD=−b+b2+4a22a，xC=−b−b2+4a22a，
∴CD=xD−xC=−b+b2+4a22a−−b−b2+4a22a=b2+4a2a，
∵AB=3CD，
∴b2+4a22a=3×b2+4a2a，整理得：b2+4a2b2+4a2−12=0，
∵b2+4a2≠0，
∴b2+4a2−12=0，即：b2+4a2=12，
∴AB=6a，CD=23a，S=AB⋅CD⋅12=63a2，
∵b2+4a2=12，
∴0＜a2≤3，
∴63a2≥23，∴S≥23，
25．【详解】（1）∵∠DMC=∠DAC+∠ADB,∠DAB=∠DAC+∠BAC，∠DMC=∠DAB，
∴∠ADB=∠BAC，
∴∠ADB=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC；
（2）①∵∠BAC=∠ACB,∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABM=∠DBA，
∴△ABM∽△DBA，
∴ABBD=BMAB，
∵△ABM和△ADM的底边分别为BM，DM，高相等，
∴S△ABMS△ADM=BMDM=t，
∴BM=t⋅DM,AB=DMk，
∴BD=BM+DM=(1+t)⋅DM，
代入ABBD=BMAB得：DMk1+t⋅DM=t⋅DMDM，
整理得：t1+t=1k2，
当k=32，t1+t=49，
解得t=13或t=−43（舍去），
∴t=13．
②∵t1+t=1k2，k≥1，
∴0<1k2≤1，
∴0设y=t2+tt>0，则0由图像可知，当y=1时，t可以取得最大值，令t2+t=1，解得t=−1+52，
∴t的最大值为−1+52；
（3）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AD为直径，
∴∠ABD=∠MCD=90°，
∴∠ABE+∠EBM=90°，
∵∠BAM=∠ADB，
∴∠BAM+∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴OB⊥AC，
∴AE=CE，
∴S△BCM=12CM⋅BE=3，
∴CM⋅BE=6，
∵∠EMB=∠CMD,∠MEB=∠MCD=90°，
∴△BEM∽△DCM，
∴BECD=MECM，
∴CM⋅BE=ME⋅CD=6，
∵S△DCM=12CM⋅CD=3m+n,S△ABM=12MB⋅BE=2m−n，
∴2m−n3m+n=12CM⋅CD.12ME⋅BE=14CM⋅BE⋅ME⋅CD=9，
∵m，n均为正整数，
∴3m+n≥4，
∴2m−n=13m+n=9，解得m=2n=3，
∴S△CMD=9,S△BEM=1
∴SBEMS△CMD=19，
∵△BEM∽△DCM，
∴BECD=MECM=13，
∴CD=3BE，
∵OB⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OD，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE=12CD=32BB，
∴r=OB=OE+BE=52BE，
设BE=a，在Rt△AOE中，OA=52a,OE=32a，
∴AE=OA2−OE2=2a，
∵AE=CE，
∴S△ABE=S△CBE=S△BCM+S△BCM=1+3=4，
∵S△ABE=12AE⋅BE=122a⋅a=a2，
∴a2=4，
∴a=2或a=−2（舍去），
∴BE=2，
∴r=52×2=5．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
A
B
D
C
C
B
C
C
C