2024年江西省南昌县三江学校九年级中考模拟数学试题（解析版）

这是一份2024年江西省南昌县三江学校九年级中考模拟数学试题（解析版），共27页。
2．请按试题序号在答案卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题意的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1. 下列各数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小，据此解答即可．
【详解】解：，
最大的数是，
故选：C．
2. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图即可判定．
【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意；
B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、二次根式的除法、同底数幂相乘、幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项、二次根式的除法、同底数幂相乘、幂的乘方的法则逐一计算即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，计算错误；
B、，计算错误；
C、，计算正确；
D、，计算错误；
故选：C．
4. 化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减乘除的混合运算．先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：
，
故选：A．
5. 如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意可知，，，
，
四边形是矩形，，
，
，
中，，
，
是的中点
，
在中，，
，
故选：D
6. 如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即，
A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意；
D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. “植”此青绿，共建美丽中国向“新”而行．今年，“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”被写进了2024年政府工作报告．今年全国计划完成国土绿化任务1亿亩，其中，造林5400万亩．数据5400万用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：5400万，
故答案为：
8. 如图，这是在数轴上分别表示关于x的一个不等式组中两个不等式的解集，则这个不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查数轴表示不等式的解集．根据数轴表示不等式组解集的方法可得答案．
【详解】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为，
故答案为：．
9. 对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据新运算定义，得到关于x的方程，再根据方程有两个相等的实数根求解即可．
【详解】解：，
，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
10. 如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的概念，如图， 将平移得，将平移得，进而得到一个正六边形，因此可得x的值为．
【详解】如图所示，令等边三角形为，将平移得，将平移得，

，
又六边形是正六边形，
，
故答案为：．
11. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形边和的中点，正方形的边长为200步（“步”是我国古代的一种长度单位，类似于现在的米），出东门M继续往东走15步有一树木（点E），问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线上）？则根据以上信息，算出的长是________步．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．证明，得到，即可求出的长．
【详解】解：由题意可知，步，步，步，
，
，
又，
，
，
，
步，
故答案为：
12. 如图，菱形的边长为4，，P是边上的一动点，以P为圆心，线段的长为半径画圆，当与边所在的直线相切时，的半径为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，切线的性质．分三种情况讨论，利用切线的性质结合解直角三角形即可求解．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，
如图，当与直线相切时，切点为，连接，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图，当与直线相切时，切点为，连接，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，的半径为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，延长至点D，E为的中点，连接．若，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，掌握相关知识点是解题关键．
（1）先计算零指数幂、绝对值、算术平方根，再计算加减法即可；
（2）由等边对等角的性质，得到，进而得出，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求出的度数．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，，
E为的中点，
平分，
，
．
14. 下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：．
【答案】任务一：平方差公式；任务二：不正确，；任务三：．
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算和掌握平方差公式是解题的关键．
任务一：根据解题过程，可以判断①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
任务二：式子不符合平方差公式，用多项式乘多项式计算即可求解；
任务三：利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
故答案为：平方差公式；
任务二：小华（2）的解答是不正确，
；
任务三：
．
15. 如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作，使得，且点A在上；
（2）在图2中作，使得，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．
（1）取格点，使，，即为所作；
（2）取两个小正方形的中心，即为所作．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
；
【小问2详解】
解：如图，即为所作；
．
∵，，，，，
∴，
∴，且．
16. 光纤通信是利用光在纤维材料中多次全反射传输信息的，光纤通信的主要部件是光导纤维．如图，光导纤维是由纤芯和包层组成的．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤，现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维．
（1）“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
（2）若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图法或列表法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
【答案】（1）不可能 （2）石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了随机事件和列表法与树状图法．
（1）根据随机事件和确定事件的定义进行判断；
（2）利用树状图展示所有20种等可能的结果，再计算出石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率．
【小问1详解】
解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件；
故答案为：不可能；
【小问2详解】
解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤，
画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4，
∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究光导纤维的概率．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，．
（1）求m，k，b的值；
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值．
【答案】（1），，；
（2）．
【解析】
【分析】（1）作轴于点，先利用反比例二次函数的性质求得，再利用勾股定理求得的长，得到，利用待定系数法即可求解；
（2）作轴于点，得到，推出，求得，再求得，利用待定系数法即可求解．
【小问1详解】
解：作轴于点，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
将和代入，得，
解得；
【小问2详解】
解：作轴于点，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点，已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票．若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票．
（1）问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？
（2）已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过10000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？
【答案】（1）在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人；
（2）至少还需14名学生背出《滕王阁序》
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．
（1）设在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）可知，所有参观滕王阁的老师中有人不能背出《滕王阁序》，设还需名学生背出《滕王阁序》，根据“实际购票费用不超过10000元，且所有老师都要背出《滕王阁序》的前提”列一元一次不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人，
由题意得：，
解得：，
答：在需要购票的师生中，学生的人数为人，老师的人数为人；
【小问2详解】
解：由（1）可知，所有参观滕王阁的老师中有人不能背出《滕王阁序》，
设还需名学生背出《滕王阁序》，
由题意得：，
解得：，
答：至少还需14名学生背出《滕王阁序》．
19. 每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，）
（1）求的度数；
（2）①求的长；
②求的长．
【答案】（1）
（2）①的长约为米；②的长约为米．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．
（1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解；
（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解；
②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，过点作，
由题意可知，，，，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：①由题意可知，，，，，米，
是等腰直角三角形，
，
令米，则米，
在中，，
，
，
即的长约为米；
②由①可知，米，
在中，，
米，
米，
即的长约为米．
20. 课本再现
（1）补全课本再现中横线上的内容．
知识应用
（2）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．
①求证：是的切线；
②过圆心作的平行线交的延长线于点，若，求的长．
【答案】（1）直角；（2）①见解析；②．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理即可解答；
（2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；
②根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解．
【详解】（1）解：直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直角；
（2）①证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
②解：，
，
，，
，
设，则，，
，
是直角三角形，
在中，，
，
解得，（舍去），或，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日是“全国爱眼日”，某校开展了“科学用眼知多少”的答题竞赛，测试结果显示所有学生的成绩都不低于80分（满分100分）．
收集数据
现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩，经过数据的整理和分析，绘制成了如下的图表，其中学生的成绩得分用x（x都是整数）表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．
整理描述
七年级学生成绩的扇形统计图
八年级学生成绩频数分布统计表
七、八年级学生成绩统计表
八年级学生成绩在C组的数据从高到低排列如下：95，95，94，93，92，91，91
（1）填空：________，________，________．
分析处理
（2）你认为哪个年级的学生用眼知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条理由即可）
（3）已知该校七、八年级各有500名学生，请分别估计这两个年级学生成绩在90分以上的人数．
（4）你对同学们科学用眼有什么建议？请提出一条．
【答案】（1）15；6；91；（2）八年级的学生用眼知识的掌握程度更好；（3）七年级学生成绩在90分以上的人数约有225人；八年级学生成绩在90分以上的人数约有275人；（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了统计，用样本估计总体，平均数、众数和中位数的定义等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据七年级学生成绩的扇形统计图可求得的值，根据八年级学生成绩频数分布统计表可求得的值，根据中位数的定义可求得的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的情况，即可求解；
（3）由样本估计总体，即可求解；
（4）符合题意即可．
【详解】解：（1），
∴，
，
八年级名学生成绩，排在第10和11位的两个数都是91，则，
故答案为：15；6；91；
（2）因为八年级学生成绩的平均数、众数和中位数都高于七年级学生成绩，
所以八年级的学生用眼知识的掌握程度更好；
（3），
，
答：七年级学生成绩在90分以上的人数约有225人；八年级学生成绩在90分以上的人数约有275人；
（4）要进一步采取措施科学防控近视，关注用眼健康．
22. 如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”．
（1）若抛物线存在“交轴三角形”．
①k的取值范围为________；
②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
（2）若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．
【答案】（1）①②钝角
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何新定义的问题，准确掌握求二次函数与两个坐标轴交点方法是解题的关键．
（1）①令，得到一元二次方程，根据即可求出结果；
②把代入，求得、、三点的坐标，再求出、、三边的长，根据勾股定理相关知识即可求出．
（2）先用、表示出、、三点的坐标，再表示出、、三边的长，根据，即可求出结果．
【小问1详解】
①∵抛物线存在“交轴三角形”，
∴，
即，
解得，；
②当时，
，
令，得，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
∴是钝角三角形；
【小问2详解】
当时，，，
当时，，
，，，
∴，，，
∵，
∴，
化简得：．
∴a，c之间的数量关系是：．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
特例感知
如图1，在等腰直角三角形中，，点D在边上（点D不与点A、C重合），连接．将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，过点E作，交的延长线于点F．
（1）有以下结论：①；②；③若，则面积，正确的有________个．（填选项）
A．0 B．1 C．2 D．3
类比迁移
（2）如图2，以为斜边，在的下方构造等腰直角三角形，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接．求证：．
拓展应用
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，H是的中点，连接．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】（1）C；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质，易证，得到，，可判断①②结论；根据的面积，可判断③结论；
（2）过点作，交延长线于点，同（1）理可证，，得到，，结合（1）结论得出，由四边形是正方形，推出，证明，即可得出结论；
（3）①证明四边形是梯形，由（1）（2）得，，，得到点是得中点，进而得出是梯形得中位线，则，即可证明结论；
②利用特殊角的三角函数值，求出，由（1）（2）可知，，，得到，再利用梯形的中位线定理，即可求出的长．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，①结论正确；
，
，②结论正确；
，
，
的面积，③结论错误；
正确的有2个，
故选：C；
（2）证明：如图，过点作，交延长线于点，
同（1）理可证，，
，，
由（1）可知，，，
，
和都是等腰直角三角形，
四边形是正方形，
，
，
，
和中，
，
，
；
（3）解：①，
，
四边形是梯形，
由（1）（2）可知，，，
，
点得中点，
点是得中点，
是梯形得中位线，
，
，
，
四边形是正方形，
，
；
②是等腰直角三角形，，
，
由（1）（2）可知，，，
，
是梯形得中位线，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，梯形的判定和中位线定理，解直角三角形的应用等知识，作辅助线构造全等三角形，掌握梯形的中位线定理是解题关键．（1）计算：．
解：原式．
（2）计算：．
解：原式．
推论 直径所对的圆周角是________．
分组
A
B
C
D
频数
3
b
7
4
年级
平均数
中位数
众数
七年级
89.95
90.5
85
八年级
91.4
c
86