[数学][期末]已传广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]已传广东省广州市天河区2023-2024学年学年高一下学期期末考试试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】向量，，由，得，解得.
故选：A.
2. 已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，是矩形的直观图，则，，，
所以的高为，
则直观图的面积为.
故选：A.
3. 将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】将的图象向左平移个单位长度，
得，其图象与的图象重合，
则，解得，值不可能为1，3，4，可以为2.
故选：B.
4. 已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，则下列推理正确的是（ ）
A. ，B.
C. ，，D. ，
【答案】C
【解析】对于A，由，得，则在内存在直线垂直于直线，
又，于是可以在内，A错误；
对于B，，则与可以平行，也可以相交，B错误；
对于C，由于，则存在过直线的平面分别与相交，
令交线分别为，于是，，则，
又，，因此，所以，C正确；
对于D，，，则或，D错误.
故选：C.
5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（ ）
A. 与独立B. 与互斥
C. D.
【答案】D
【解析】样本空间{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，事件{(正，正)，(正，反)}，
事件{(正，反)，(反，反)}，事件{(正，正)}，事件{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，
对于A，，而，，与不独立，A错误；
对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，{(正，正)，(正，反)，(反，反)}，，D正确.
故选：D.
6. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】令样本数据的平均数为，则，
而，因此，又样本数据均为正数，所以.
故选：C.
7. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，则，
由于有唯一解，则或，解得或，
所以整数构成的集合为.
故选：C.
8. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
【答案】B
【解析】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，即，，所以，
则，故A错误；
因为，，
所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确；
若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，
所以，解得，即，故C错误；
因为，令，，
则，，
满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，
此时，故D错误.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知一组数据6，13，14，15，18，13，则特征量为13的是（ ）
A. 极差B. 众数C. 中位数D. 第40百分位数
【答案】BD
【解析】将数据从小到大排列为、、、、、，
所以极差为，众数为，中位数为，故A、C错误，B正确；
又，所以第40百分位数为，故D正确.
故选：BD.
10. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A. 的虚部为
B. 若是复数，满足，则在复平面内对应的点位于第一象限
C. 若、是非零复数，且，则
D. 若、是非零复数，且，则
【答案】AD
【解析】对于A，依题意，，的虚部为，A正确；
对于B，，
在复平面内对应点位于第二象限，B错误；
对于C，取，，满足，
而，，C错误；
对于D，由，得，而，则，D正确.
故选：AD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若点为的中点，则平面
B. 连接，则直线与平面成角正弦值为
C. 若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
D. 若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于A，四边形是正方体的对角面，
则四边形是矩形，
，由点、分别为、的中点，
得，平面，
平面，因此平面，A正确；
对于B，连接，则，由平面，平面，
得，
又平面，则平面，
过作交于，连接，于是平面，
是直线与平面所成的角，，，
，B错误；
对于C，把正方形与正方形置于同一平面内，且在直线两侧，
连接，则的最小值为，C正确；
对于D，延长与的延长线交于，由，
得为平行四边形，
，取中点，连接交于，连接，
由，得四边形是平行四边形，
，为的中点，
由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
而平面，则，
同理，因此，
而，平面，于是平面，
又，则平面，
又平面，因此点的轨迹是平面与正方形相交所得线段，
而，所以点的轨迹长度为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复数范围内方程的一个根为，则______.
【答案】
【解析】在复数范围内方程的一个根为，所以，
则.
故答案为：.
13. 在中，已知，则向量在向量上的投影向量为______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故答案为：.
14. 已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为______.
【答案】
【解析】圆台轴截面等腰梯形的两腰延长线交于点，
等腰即为圆台母线延长线交点为顶点，圆台下底面为底的圆锥的轴截面，
由，而，解得，则，
即为正三角形，
正的高为，正的高为，因此等腰梯形的高为，
正的内切圆半径，显然，
因此等腰梯形内的最大圆为正的内切圆，
此圆即为圆台内部放置的半径最大的球被平面所截的大圆，
则在圆台内部放置半径最大的球的半径为，表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.
笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题；
面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是，两道题能否答对相互独立.
（1）李明笔试关中能答对的3道题记为，，，不能答对的题记为，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；
（2）求李明被录用的概率.
解：（1）样本空间，有6个样本点，
李明通过笔试关的事件，共3个样本点，
所以李明通过笔试关的概率.
（2）依题意，李明通过面试关的事件为，则，
李明被录用的事件为，，
所以李明被录用的概率为.
16. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，为线段的中点，且，求的面积.
解：（1）因为，且，
则，
即，
又因为，则，
因为，所以.
（2）因为为线段的中点，所以，
则，
即，解得或(舍)，
因为，且，则，
所以.
17. 为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
（2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
（3）若样本数据在与内的方差分别为，，计样本数据在内的方差.
解：（1）由频率分布直方图，
得，所以；
阅读时间达标的频率为，
估计该校阅读时间达标的人数为.
（2）一周的课外阅读时间在
内的频率依次为：，
，
所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为68分钟.
（3）样本数据在与内的平均数分别为，
则样本数据在内的平均数为，
所以样本数据在内的方差.
18. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.
（1）证明：平面；
（2）求点到面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
解：（1）在三棱台中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面.
（2）由棱台性质知：延长交于一点，
由，得，
点到平面的距离为到平面距离的2倍，则，
于是，
由平面，得为点到平面的距离，
又，则是的中点，，
即为正三角形，为正三角形，
设，则，
，解得，
，由平面，得，，
，设点到平面的距离为，
由，得，解得：.
即点到平面的距离为.
（3）由平面，平面，得平面平面，
取中点，连接，
在正中，，而平面平面，则平面，
而平面，则，
又平面，则平面平面，
作于，平面平面，则平面，，
而平面，则，
作于，连接，，平面，则平面，
而平面，于是，即二面角的平面角，
设，由（2）知：，，
由，得，，
由，得，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得，
，
所以存在满足题意的点，.
19. 如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.
（1）求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；
（2）若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围.
解：（1）已知，，
所以，
所以，
因为，，则，，
因为点是的重心，所以，
因为在直线上，所以.
（2），
所以，
设，由（1）得，所以
所以
，
因为，，又因为，则，
因为，所以，
因为，所以当时，的最小值为：，
当或时，的最大值为：，所以，
因为的对称轴为，所以在上单调递增，
又因为在上也是单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以的取值范围为.