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2024年初中数学中考复习第四章 第一节 线段、角、相交线与平行线 练习题
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这是一份2024年初中数学中考复习第四章 第一节 线段、角、相交线与平行线 练习题，共8页。试卷主要包含了 如图，l∥AB，∠A＝2∠B， 下列四个命题等内容，欢迎下载使用。
基础题
1. (2023兰州)如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝( )
A. 40° B. 50° C. 55° D. 60°
第1题图
2. 小明准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45 km，50 km，51 km(如图)．能解释这一现象的数学知识是( )
第2题图
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边
D. 两点确定一条直线
3. (2023广西)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果∠A＝130°，那么∠B的度数是( )
A. 160° B. 150° C. 140° D. 130°
第3题图
4. (2023河南)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为( )
第4题图
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
5. (2023临沂5题3分)在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是( )
A. 相交 B. 相交且垂直
C. 平行 D. 不能确定
6. (2023陕西)如图，l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为( )
A. 36° B. 46° C. 72° D. 82°
第6题图
7. (2023深圳)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝( )
第7题图
A. 70° B. 65° C. 60° D. 50°
8. [跨物理学科](2023江西)如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为( )
第8题图
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
9. 下列四个命题：①一个锐角的补角比它的余角大90°；②对顶角相等；③经过直线外一点，有无数条直线与已知直线平行；④内错角相等．其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为_____________．
11. (2023甘肃省卷)若eq \f(a,2)＝eq \f(3,b)，则ab＝______________.
12. (2022湖州)命题“如果|a|＝|b|，那么a＝B.”的逆命题是_______________．
第13题图
13. (2023台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
14. (2023丽水)小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
第14题图
15. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝10，OM＝6，则点C到射线OA的距离为________．
第15题图
16. (2023北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则eq \f(BE,EC)的值为________．
第16题图
17. (2022武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.
第17题图
拔高题
18. [跨物理学科](2023山西)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为( )
A. 45° B. 50°
C. 55° D. 60°
第18题图
19. (2023荆州)如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是( )
第19题图
A. 80° B. 76° C. 66° D. 56°
20. (2023苏州)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( )
第20题图
A. 连接AB，则AB∥PQ
B. 连接BC，则BC∥PQ
C. 连接BD，则BD⊥PQ
D. 连接AD，则AD⊥PQ
21. 已知C是线段AB的中点，D是线段AC的三等分点．若线段AB＝6，则线段BD的长为________．
22. (2023达州)如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为________cm.(结果保留根号)
第22题图
第四章 三角形
第一节 线段、角、相交线与平行线
1. B 【解析】由图可知，∠AOC＝50°，∴∠BOD＝∠AOC ＝50°.
2. A 【解析】导航显示的A，B两点之间线段的长度，可提供的三条路线都是折线，根据两点之间线段最短，故导航显示的路程最短．
3. D 【解析】由题意，得CA∥BD，∴∠B＝∠A＝130°.
4. B 【解析】∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD－∠2＝80°－30°＝50°.
5. C 【解析】∵在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，∴l⊥m，又∵过P作m的垂线n，∴n⊥m，∴l∥n，∴直线l与n的位置关系为平行．
6. A 【解析】如解图，∵∠1＝108°，∴∠3＝∠1＝108°，∵l∥AB，∴∠3＋∠A＝180°，∠2＝∠B，∴∠A＝180°－∠3＝72°，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝36°，∴∠2＝36°.
第6题解图
7. A 【解析】∵DE∥AB，∠ABD＝50°，∴∠D＝∠ABD＝50°，∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，∴∠DCE＝∠DEF－∠D＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°.
8. C 【解析】根据题意得，∠BOD＝∠AOC＝35°，∵PD⊥CD，∴△OBD是直角三角形，∴∠BOD＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＝90°－∠BOD＝90°－35°＝55°.
9. C 【解析】①一个锐角的补角比它的余角大90°，是真命题，符合题意；②对顶角相等，是真命题，符合题意；③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；④两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意．综上所述，真命题有2个．
10. 132° 【解析】补角为180°－48°＝132°.
11. 6 【解析】∵eq \f(a,2)＝eq \f(3,b)，∴ab＝2×3＝6.
12. 如果a＝b，那么|a|＝|b|
13. 140° 【解析】如解图，标注三角形的三个顶点A，B，C.∠2＝∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB.∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°－2∠ABC＝180°－2∠1＝180°－2×20°＝140°.
第13题解图
14. 2 【解析】当eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)＝eq \r(2)时，a＝eq \r(2)b，c＝eq \f(\r(2),2)b，∴eq \f(a,c)＝2.
15. 8 【解析】∵CM⊥OB，∴在Rt△OCM中，由勾股定理得CM＝eq \r(OC2－OM2)＝eq \r(102－62)＝8，∵OC为∠AOB的平分线，∴点C到射线OA的距离为8.
16. eq \f(3,2) 【解析】∵AB∥EF∥CD，∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(AF,FD)＝eq \f(AO＋OF,FD)，∵AO＝2，OF＝1，FD＝2，∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(2＋1,2)＝eq \f(3,2).
17. (1)解：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
(2)证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°.
∵∠BCD＝50°，
∴∠BCD＝∠AEB.
∴AE∥DC.
18. C 【解析】设平行于主光轴的光线为直线l，∵直线l∥主光轴，∵∠PFO＋∠1＝180°.∵∠1＝155°，∴∠PFO＝25°，∴∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF＋∠PFO＝55°.
19. C 【解析】如解图，延长AB交EG于点P，延长CD交FG于点Q，∵∠E＝47°，∠ABE＝80°，∴∠EPB＝33°，∴∠BPG＝147°，同理可得∠DQG＝147°，∵AB∥CD，∴∠BPG＋∠DQG＋∠G＝360°，∴∠G＝66°.
第19题解图
20. B 【解析】根据正方形网格中PQ的位置可以判断，两点是长为4宽为2的矩形对角线，或者可以看作是长为2宽为1的矩形对角线，从而根据其它点的位置关系可以判断，符合上述条件的两个点的连线的是BC，故选B.
21. 4或5 【解析】∵C是线段AB中点，AB＝6，∴AC＝BC＝eq \f(1,2)AB＝3，∵D是线段AC上的三等分点，∴CD＝eq \f(1,3)AC＝1或CD＝eq \f(2,3)AC＝2，当CD＝1时，BD＝BC＋CD＝3＋1＝4，当CD＝2时，BD＝BC＋CD＝3＋2＝5，综上所述，BD的长为4或5.
22. (80eq \r(5)－160) 【解析】由题得，弦AB＝80 cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80－x，∴eq \f(80－x,80)＝eq \f(\r(5)－1,2)，解得x＝120－40eq \r(5)，∵点D是靠近点A的黄金分割点，∴设AD＝y，则BD＝80－y，∴eq \f(80－y,80)＝eq \f(\r(5)－1,2)，解得y＝120－40eq \r(5)，∴支撑点C，D之间的距离为80－x－y＝80－120＋40eq \r(5)－120＋40eq \r(5)＝80eq \r(5)－160.
基础题
1. (2023兰州)如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝( )
A. 40° B. 50° C. 55° D. 60°
第1题图
2. 小明准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45 km，50 km，51 km(如图)．能解释这一现象的数学知识是( )
第2题图
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边
D. 两点确定一条直线
3. (2023广西)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果∠A＝130°，那么∠B的度数是( )
A. 160° B. 150° C. 140° D. 130°
第3题图
4. (2023河南)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为( )
第4题图
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
5. (2023临沂5题3分)在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是( )
A. 相交 B. 相交且垂直
C. 平行 D. 不能确定
6. (2023陕西)如图，l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为( )
A. 36° B. 46° C. 72° D. 82°
第6题图
7. (2023深圳)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝( )
第7题图
A. 70° B. 65° C. 60° D. 50°
8. [跨物理学科](2023江西)如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为( )
第8题图
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
9. 下列四个命题：①一个锐角的补角比它的余角大90°；②对顶角相等；③经过直线外一点，有无数条直线与已知直线平行；④内错角相等．其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为_____________．
11. (2023甘肃省卷)若eq \f(a,2)＝eq \f(3,b)，则ab＝______________.
12. (2022湖州)命题“如果|a|＝|b|，那么a＝B.”的逆命题是_______________．
第13题图
13. (2023台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
14. (2023丽水)小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
第14题图
15. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝10，OM＝6，则点C到射线OA的距离为________．
第15题图
16. (2023北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则eq \f(BE,EC)的值为________．
第16题图
17. (2022武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.
第17题图
拔高题
18. [跨物理学科](2023山西)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为( )
A. 45° B. 50°
C. 55° D. 60°
第18题图
19. (2023荆州)如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是( )
第19题图
A. 80° B. 76° C. 66° D. 56°
20. (2023苏州)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( )
第20题图
A. 连接AB，则AB∥PQ
B. 连接BC，则BC∥PQ
C. 连接BD，则BD⊥PQ
D. 连接AD，则AD⊥PQ
21. 已知C是线段AB的中点，D是线段AC的三等分点．若线段AB＝6，则线段BD的长为________．
22. (2023达州)如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为________cm.(结果保留根号)
第22题图
第四章 三角形
第一节 线段、角、相交线与平行线
1. B 【解析】由图可知，∠AOC＝50°，∴∠BOD＝∠AOC ＝50°.
2. A 【解析】导航显示的A，B两点之间线段的长度，可提供的三条路线都是折线，根据两点之间线段最短，故导航显示的路程最短．
3. D 【解析】由题意，得CA∥BD，∴∠B＝∠A＝130°.
4. B 【解析】∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD－∠2＝80°－30°＝50°.
5. C 【解析】∵在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，∴l⊥m，又∵过P作m的垂线n，∴n⊥m，∴l∥n，∴直线l与n的位置关系为平行．
6. A 【解析】如解图，∵∠1＝108°，∴∠3＝∠1＝108°，∵l∥AB，∴∠3＋∠A＝180°，∠2＝∠B，∴∠A＝180°－∠3＝72°，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝36°，∴∠2＝36°.
第6题解图
7. A 【解析】∵DE∥AB，∠ABD＝50°，∴∠D＝∠ABD＝50°，∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，∴∠DCE＝∠DEF－∠D＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°.
8. C 【解析】根据题意得，∠BOD＝∠AOC＝35°，∵PD⊥CD，∴△OBD是直角三角形，∴∠BOD＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＝90°－∠BOD＝90°－35°＝55°.
9. C 【解析】①一个锐角的补角比它的余角大90°，是真命题，符合题意；②对顶角相等，是真命题，符合题意；③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，不符合题意；④两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意．综上所述，真命题有2个．
10. 132° 【解析】补角为180°－48°＝132°.
11. 6 【解析】∵eq \f(a,2)＝eq \f(3,b)，∴ab＝2×3＝6.
12. 如果a＝b，那么|a|＝|b|
13. 140° 【解析】如解图，标注三角形的三个顶点A，B，C.∠2＝∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB.∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°－2∠ABC＝180°－2∠1＝180°－2×20°＝140°.
第13题解图
14. 2 【解析】当eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)＝eq \r(2)时，a＝eq \r(2)b，c＝eq \f(\r(2),2)b，∴eq \f(a,c)＝2.
15. 8 【解析】∵CM⊥OB，∴在Rt△OCM中，由勾股定理得CM＝eq \r(OC2－OM2)＝eq \r(102－62)＝8，∵OC为∠AOB的平分线，∴点C到射线OA的距离为8.
16. eq \f(3,2) 【解析】∵AB∥EF∥CD，∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(AF,FD)＝eq \f(AO＋OF,FD)，∵AO＝2，OF＝1，FD＝2，∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(2＋1,2)＝eq \f(3,2).
17. (1)解：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
(2)证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°.
∵∠BCD＝50°，
∴∠BCD＝∠AEB.
∴AE∥DC.
18. C 【解析】设平行于主光轴的光线为直线l，∵直线l∥主光轴，∵∠PFO＋∠1＝180°.∵∠1＝155°，∴∠PFO＝25°，∴∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF＋∠PFO＝55°.
19. C 【解析】如解图，延长AB交EG于点P，延长CD交FG于点Q，∵∠E＝47°，∠ABE＝80°，∴∠EPB＝33°，∴∠BPG＝147°，同理可得∠DQG＝147°，∵AB∥CD，∴∠BPG＋∠DQG＋∠G＝360°，∴∠G＝66°.
第19题解图
20. B 【解析】根据正方形网格中PQ的位置可以判断，两点是长为4宽为2的矩形对角线，或者可以看作是长为2宽为1的矩形对角线，从而根据其它点的位置关系可以判断，符合上述条件的两个点的连线的是BC，故选B.
21. 4或5 【解析】∵C是线段AB中点，AB＝6，∴AC＝BC＝eq \f(1,2)AB＝3，∵D是线段AC上的三等分点，∴CD＝eq \f(1,3)AC＝1或CD＝eq \f(2,3)AC＝2，当CD＝1时，BD＝BC＋CD＝3＋1＝4，当CD＝2时，BD＝BC＋CD＝3＋2＝5，综上所述，BD的长为4或5.
22. (80eq \r(5)－160) 【解析】由题得，弦AB＝80 cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80－x，∴eq \f(80－x,80)＝eq \f(\r(5)－1,2)，解得x＝120－40eq \r(5)，∵点D是靠近点A的黄金分割点，∴设AD＝y，则BD＝80－y，∴eq \f(80－y,80)＝eq \f(\r(5)－1,2)，解得y＝120－40eq \r(5)，∴支撑点C，D之间的距离为80－x－y＝80－120＋40eq \r(5)－120＋40eq \r(5)＝80eq \r(5)－160.
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