专题04 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

这是一份专题04 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版），共8页。

\l "_Tc9299" 压轴题型讲练 PAGEREF _Tc9299 \h 3
\l "_Tc32312" 类型一、等腰三角形中的手拉手模型 PAGEREF _Tc32312 \h 3
\l "_Tc18848" 类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） PAGEREF _Tc18848 \h 9
\l "_Tc27411" 类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） PAGEREF _Tc27411 \h 12
\l "_Tc3816" 类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） PAGEREF _Tc3816 \h 14
\l "_Tc4427" 压轴能力测评（8题） PAGEREF _Tc4427 \h 18
解题知识必备
模型1.等腰三角形中的手拉手模型
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
【常见模型及证法】
等边三角形手拉手模型：
等腰直角三角形手拉手模型：
等腰三角形手拉手模型：
模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.
结论：、≌.
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
图1图2图3
模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
模型4.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。
条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.
结论：≌，≌，AB+CD=BC。
压轴题型讲练
类型一、等腰三角形中的手拉手模型
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点；
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值．
【变式训练1】如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．
【变式训练2】（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则①；②线段，之间的数量关系；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
例题：如图，在中，为边上一点，于点，于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，，，则的长为．
【变式训练1】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容．
已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E．
求证：．
分析：
图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程．
【类比探究】
（1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：；
（2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________．
类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
例题：（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上．
(1)求证：；
(2)当时，求的面积用含的代数式表示．
类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是AD中点，平分．

(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
【变式训练1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式训练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
压轴能力测评（8题）
一、填空题
1．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是．
2．（23-24七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，，平分，交于，若，点到边的距离为6，则的长为．
3．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，，点是、角平分线的交点，过作于点，且，则的面积为．
4．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，．
二、解答题
5．在与中，，，．

(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________．
(2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由
(3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值．
6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】
如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积．
7．（22-23九年级下·江西抚州·阶段练习）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．

(1)当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________；
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在中，是的角平分线，请说明．
小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．