重庆市第十八中学2023届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第十八中学2023届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是几种常见的汽车轮毂图案，图案围绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、此图形旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合；
B、此图形旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合；
C、此图形旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合；
D、此图形旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合；
故答案为：B．
2. 四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( ).
A. B. C. D. 1
答案：B
解析：
详解：∵圆、矩形是中心对称图形，
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是；
故本题选B．
3. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴所在直线的位置关系是（ ）．
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定
答案：C
解析：
详解：解：∵圆心的坐标为
∴圆心与轴距离为3，小于其半径4，
∴以点为圆心，4为半径的圆与轴的关系为相交．
故选：C
4. 若点，，都是反比例函数图象上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：反比例函数中，
此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点在第四象限，、两点均在第二象限，
．
故选：D．
5. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝45º， AC＝4 ，则⊙O的半径为（ ）
A. B. 4C. D. 5
答案：A
解析：
详解：连接OA，OC．


∴在中，
故选：A．
6. 使得有意义的的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
答案：C
解析：
详解：解：有意义，则，
解得：．
故选：C．
7. 如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A. （1，﹣）B. （1，﹣1）C. （，﹣）D. （，﹣1）
答案：B
解析：
详解：如解图，交x轴于H，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵绕原点O逆时针旋转45°得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故选：B．
8. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A. 8B. 10C. 16D. 20
答案：D
解析：
详解：连接OC，
根据题意，
CE=CD=6，BE=2．
在Rt△OEC中，
设OC=x，则OE=x﹣2，
故：（x﹣2）2+62=x2
解得：x=10
即直径AB=20．
故选D．
9. 反比例函数的图像如图所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果，则k的值为（ ）
A. 2B. -2C. 4D. -4
答案：D
解析：
详解：由图象上的点所构成的三角形面积为可知，
该点的横纵坐标的乘积绝对值为4，
又因为点M在第二象限内，
所以可知反比例函数的系数为k=-4．
故选D．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
答案：D
解析：
详解：抛物线开口向下，
，
对称轴为，
，
抛物线与轴的交点为，
，
，故错误；
当时，，
当时，，
，
，
即，故正确；
函数图象与轴有两个不同的交点，
，
，故正确；
对称轴为，
即，
，
二次函数可改写为，
当时，，
，
，故正确；
当时，，
当时，，
当时，，
，
即，
同理时，，，
，故正确；
故正确的有，共个．
故选：D．
11. 正面分别标有数字、、、、、的六张不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将其背面向上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则值使关于的分式方程的解不小于，且使关于的一元二次方程有实数解的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：关于的分式方程的解为：，
且，
解得：且且，
，，，
一元二次方程有实数根，
且，
，
，，，
使关于的分式方程的解不小于，且使关于的一元二次方程有实数解的概率为．
故选：A．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的边、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、且，连接、、，若的面积，则值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：四边形是矩形，
，，
设点坐标为，
，
，
、在反比例函数反比例函数的图象上，
，
设的坐标为，
，
，
解得：，
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 计算：______．
答案：
解析：
详解：原式
．
故答案为：．
14. 现有、两枚均匀的小立方体立方体的每个面上分别标有数字、、、、、，小明用掷立方体朝上的数字为，掷立方体朝上的数字为来确定点，则小明各掷一次确定的点落在已知抛物线上的概率是______．
答案：
解析：
详解：解：列表得：
由表知，一共有种等可能的结果，其中小明各掷一次确定的点落在已知抛物线上的有，，共种，
小明各掷一次确定点落在已知抛物线上的概率是．
故答案为：．
15. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．

答案：
解析：
详解：解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，，
∴△ABG≌△DBH(ASA)，
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝．
故答案是：．
16. 如图，正方形中，点在边上且．连接，取边上中点，作且，连接将绕着点逆时针旋转得到当恰好落在的延长线上时，连接与交于，若，则______．
答案：
解析：
详解：连接，，设、交于点，
四边形是正方形，
，，
且，
是等腰直角三角形，
是边上的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
、、、四点共圆，
∵，
，
，
在和中，
，
≌，
，
正方形中，点在边上且，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
过点作于点，作关于的对称点，连接交于点，过点作于点，则四边形是正方形，
设，则，
在中，，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，，
设，则，，
，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：；
（2）化简：．
答案：（1），；（2）
解析：
详解：（1），
，
，
，

，．
（2）原式




．
18. 如图，在中，．
（1）用尺规完成下列基本作图：在上取点E，使，连接，过点A作的垂线，垂足为点O，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据（1）中作图，求证：．补充完成下列证明过程（答案填写在答题对应标号位置）﹒
证明：∵，上于点O，
∴___①___
在中，有，
∴，．
∴___②___（AAS）
∴___③___．
∵四边形是平行四边形，∴___④___． ∴．
答案：（1）作图见解析
（2）①②③④
解析：
小问1详解：
解：如图所示；
小问2详解：
证明：∵，上于点O，
∴
在中，有，
∴，．
∴（AAS）
∴
∵四边形是平行四边形，
∴．
19. 如图，在等边中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接、．
（1）求证：．
（2）若，，求的周长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴．
小问2详解：
，
，，，
，
，，
是等边三角形，
，
的周长．
20. 为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查．用“A”表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了______名学生，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中表示“A”的扇形的圆心角为______度；
（3）在接受问卷调查的学生中，喜欢“C”的人中有2名是女生，喜欢“D”的人中有2名是女生，现分别从喜欢这两类书籍的学生中各选1名进行读书心得交流，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名学生是一男一女的概率．
答案：（1）20，图见解析
（2）126 （3）
解析：
小问1详解：
解：（人）
C组人数：（人）
故答案为：20人；
小问2详解：
故答案为：；
小问3详解：
根据题意画树状图如下：
机会均等的情况共有12种，刚好选中2名学生是一男一女，共有6种，
∴P（一男一女）=．
21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（2）若点C（0，4），连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）根据图象、直接写出当，时，自变量x的取值范围．
答案：（1）；；作图见解析
（2）
（3）或
解析：
小问1详解：
解：∵过A（6，2），
∴k＝2×6＝12，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
画图如图
小问2详解：
解：由交y轴于，
∵，
∴CD=4-（-2）=6，
∴；
小问3详解：
（3）当，即，
是一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
两函数的交点为、，
根据图象可知在交点B的右侧，y轴左侧，以及点A的右侧，
∴或．
22. 接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针．
（1）求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
（2）4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
答案：（1）3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
（2）m的值为5．
解析：
小问1详解：
解：设3月平均每天有x人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接种点接种加强针，
依题意得：（1+20%）x+x=440，
解得：x=200，
∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240．
答：3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针；
小问2详解：
解：依题意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，
整理得：m2-50m+225=0，
解得：m1=5，m2=45．
当m=5时，240-10m=240-10×5=190＞0，符合题意；
当m=45时，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合题意，舍去．
答：m的值为5．
23. 材料一：对于一个四位数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：
，∵，∴5247是“间位等和数”；
，∵，∴3145不是“间位等和数”
材料二：将一个四位数千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位 数，记．例如，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以．
（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；
（2）若和都是“间位等和数”，其中，（，，，且，，，均为整数），规定：，若，求的最小值．
答案：（1）3564是“间位等和数”， 1572不是“间位等和数”；（2）0
解析：
详解：解：（1）
是“间位等和数”；
，
不是“间位等和数”；
（2），
其千位数5，百位数为，十位数为4，个位数为b，
，即，
，
其千位数为x，百位数为3，十位数为，个位数为2，
，即
，
，
，
解得：，
则由或或，
对应的y和b的值分别为：；；，
，，，且，，，均为整数，
以上情况均符合，
，
则k的值分别为；；，
故k的最小值为：0．
24. 已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标．
（3）将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
答案：（1）
（2）最大值，点
（3）或或
解析：
小问1详解：
∵点的坐标为，，
点的坐标为，
将点、代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为．
小问2详解：
由，
解得：，，
，
，
，
设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，点，
．
小问3详解：
，对称轴为直线，
将抛物线向右平移个单位后的抛物线解析式为，
联立，
解得：，
，
设，，又，，
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或．
25. 在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；
（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．
答案：（1）；（2），证明见解析；（3）．
解析：
详解：解：（1）连接，过点作，垂足为．
平分，，
．
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
平分，
.
，
，
，
．
．
（2）
延长至点，使，连接．
是的中点，
．
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（3）如图，设交于点，连接，
，
，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点四点共圆，
由圆周角定理得：，
垂直平分，（等腰三角形的三线合一），
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
由（2）可知，，
，
，
是等腰直角三角形，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
在和中，，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
则．