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2024湖南省高三年级入学考试数学试卷
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这是一份2024湖南省高三年级入学考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若随机变量服从正态分布，则，若，，则，已知直线，某部门30名员工一年中请假天数，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则（ ）
A.B.13C.5D.25
2.若函数的最小正周期不小于，则（ ）
A.的最小值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最大值为
3.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，右顶点为，则（ ）
A.B.C.D.
5.若两个等比数列，的公比相等，且，，则数列的前7项和为（ ）
A.B.43C.D.47
6.若随机变量服从正态分布，则.为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差.已知该果园使用新技术前的亩收入（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入服从正态分布，则（ ）
A.B.
C.D.
7.若，，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知直线：与曲线：有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ）
A.该部门一年中请假天数为0的人数为10
B.该部门一年中请假天数大于5的人数为10
C.这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4
D.这30名员工一年中请假天数的平均数小于4
10.已知函数，则（ ）
A.为奇函数
B.在其定义域内为增函数
C.曲线的切线的斜率的最大值为2
D.曲线上任意一点与，两点连线的斜率之和为定值
11.若，为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，，则（ ）
A.圆锥的体积为
B.与底面所成角的正切值为3
C.圆锥内切球的线长度为
D.正四棱台外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，，则________.
13.曲线：的周长为________.
14.如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知，是抛物线：上的两点.
（1）求的准线方程；
（2）若直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值.
16.（15分）
如图，在直三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，，，求二面角的余弦值.
17.（15分）
在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（1）若，，为的中点，求的长；
（2）若，，，求的值.
18.（17分）
在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器.提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答.当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人.假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为。
（1）求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
（2）在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率.
19.（17分）
已知二阶行列式，三阶行列式，其中，，分别为，，的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）.
（1）计算.
（2）设函数.
（ⅰ）若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
（ⅱ）若，且，函数，证明：.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则（ ）
A.B.13C.5D.25
2.若函数的最小正周期不小于，则（ ）
A.的最小值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最大值为
3.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，右顶点为，则（ ）
A.B.C.D.
5.若两个等比数列，的公比相等，且，，则数列的前7项和为（ ）
A.B.43C.D.47
6.若随机变量服从正态分布，则.为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差.已知该果园使用新技术前的亩收入（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入服从正态分布，则（ ）
A.B.
C.D.
7.若，，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知直线：与曲线：有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ）
A.该部门一年中请假天数为0的人数为10
B.该部门一年中请假天数大于5的人数为10
C.这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4
D.这30名员工一年中请假天数的平均数小于4
10.已知函数，则（ ）
A.为奇函数
B.在其定义域内为增函数
C.曲线的切线的斜率的最大值为2
D.曲线上任意一点与，两点连线的斜率之和为定值
11.若，为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，，则（ ）
A.圆锥的体积为
B.与底面所成角的正切值为3
C.圆锥内切球的线长度为
D.正四棱台外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，，则________.
13.曲线：的周长为________.
14.如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知，是抛物线：上的两点.
（1）求的准线方程；
（2）若直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值.
16.（15分）
如图，在直三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，，，求二面角的余弦值.
17.（15分）
在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（1）若，，为的中点，求的长；
（2）若，，，求的值.
18.（17分）
在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器.提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答.当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人.假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为。
（1）求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
（2）在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率.
19.（17分）
已知二阶行列式，三阶行列式，其中，，分别为，，的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）.
（1）计算.
（2）设函数.
（ⅰ）若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；
（ⅱ）若，且，函数，证明：.
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