重庆市第十一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.
1. 定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】计算可求得，可得结论.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
故中的元素个数为3.
故选：C.
2. 直线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
由垂径定理，得点到直线距离为，
根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离，
化简可得，解得.
故选：A.
3. 已知，，且p是q的必要不充分条件，则a的取值范围为（ ）
A. (−∞,−3]B. (−∞,−3)C. [3,+∞)D. (3,+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】由，解得，
由是的必要不充分条件，所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 设一组样本数据的方差为0.1，则数据的方差为1
B. 已知数据2，3，5，7，8，9，10，11，则该组数据的上四分位数为9
C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等
D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
【答案】C
【解析】
【分析】依据方差的性质计算可判断选项A；求得四分位数可判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；由频率直方图的意义可判断D.
【详解】对于A，设一组样本数据的方差为0.1，
则数据的方差为，故A错误；
对于B，因为，所以该组数据的上四分位数为，故B错误；
对于C，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，
则该组数据的平均数和中位数近似相等，故C正确；
对于D，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D错误.
故选：C.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】因为
,
且；
所以.
故选：B.
6. 已知是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设中点为，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得，从而得到，根据得到，再根据椭圆的定义得到，在直角三角形中利用勾股定理得到，最后根据离心率公式计算可得；
【详解】解：设的中点为，则由，即
所以，
连接可得，所以，
因为，即，即
所以，
在中，，
即，又，
所以，所以，即
解得，
故选：A
7. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0的解的个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
把原方程转化为与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．
【详解】由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题，
由，可知的图象关于对称，
作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于轴对称，结合对称性，
可得作出在上的图象，如图所示．
再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，
由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．
8. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知构造函数，探讨函数单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得.
【详解】令，由，得定义域为，
，即函数是奇函数，
而，
当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减，
由奇函数的性质知，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，由，
得，即，
所以，则，即，又，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为2.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
9. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A,B，取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于D,利用对数函数的单调性判断即可.
【详解】对于A,不妨取则,此时,故A错误;
对于B,不妨取,则，此时,故B错误;
对于C,因为,所以,所以指数函数在R上单调递减，
因为,所以,所以，故C正确;
对于D,因为,所以对数函数和在上单调递增，
因为,所以,所以
又所以,故D正确.
故选：CD.
10. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种
C. 若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.
【详解】对于A，所有可能的方法有种，故A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为，
另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，
第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有，另外一名志愿者的排法有3种，
此种情况共有种，
第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，
则共有种安排方法，B正确.
对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有种安排，D正确.
故选：BCD.
11. 已知双曲线，则（ ）
A. 双曲线的焦点在轴上
B. 双曲线的焦距等于
C. 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D. 双曲线的离心率的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.
【详解】解：对A：因为，所以，，
所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项A正确；
对B：由A知，所以，所以，
所以双曲线的焦距等于，故选项B错误；
对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即，
所以焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确；
对D：双曲线的离心率，
因为，所以，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
12. 信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式，令，设随机变量所有取值为1，2，3，⋯，n，且，，则下列说法正确的有（）
A. 时，
B. 2时，若，则的值随着的增大而增大
C. 若，()，则
D. 若，随机变量Y所有可能取值为且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】A直接利用公式求解；B先求出,再判断单调性即可求解；CD分别求出和,结合对数函数单调性放缩即可求解.
【详解】对于：若,则,因此正确;
对于：当时,，
令，则，
即函数在上单调递增,所以的值随着的增大而增大,正确;
对于：，则，
,，而，
于是
令，则，
两式相减得，因此,
，C正确；
对于,若，随机变量的所有可能的取值为，
且,
由于,即有,则,
因此,所以,错误.
故选:.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.
【详解】由已知得，，
所以，
从而，
在中，
，
即①，
由椭圆的定义得，
即②，
由①②得，
所以.
故答案为：.
14. 若，，且，则的最小值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.
【详解】因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：
15. 设关于的不等式的解集为，若集合中恰有两个整数解，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】令，根据不等式解集A中恰有两个整数解，结合二次函数性质判断整数解为，从而列出不等式，求得答案.
【详解】由题意可得当时， ，
令，则其图象对称轴为 ，且，
故关于的不等式解集A中恰有两个的整数解为，
则且，解得，
故答案为：.
16. 已知函数，若方程−+4=0有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】根据题意,作出函数的图象,如图:
令，因为方程有6个相异的实数根,
所以方程有两个不等的实根，
所以,
解得或,
不妨设这两根,
则或,
当时，，且，所以无解；
当时，
令,
只需,即,解得,
终上所述：.
故答案为:.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数在有零点，求实数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，则，再由，解不等式即可；
（2）函数在0,+∞有零点等价于函数在1,+∞上有零点，即在1,+∞上有解，由基本不等式求出a的取值范围.
【小问1详解】
因为，
令，则，
当时，，
即，即，
由，解得，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
因为函数在上单调递增，
所以函数在0,+∞有零点等价于函数在1,+∞上有零点，
由大于1的解，
即在1,+∞上有解，
因为，当且仅当，即时等号成立，
得，
所以实数的取值范围为.
18. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；
（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及求解即可.
【小问1详解】
双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为
由,可得,
由双曲线过点,可得,
解得,
则双曲线的标准方程为;
【小问2详解】
联立直线与双曲线方程，
化简得，则，
假设,
则，解得.
19. 已知（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；
（Ⅱ）问题转化为，即在恒成立，分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.
【详解】（Ⅰ），，
令，解得；令，解得，
在−∞,0单调递增，在单调递减，
；
（Ⅱ）对任意，总存在．使得等价于，
由（Ⅰ），
则问题转化为在恒成立，化得，
令，则，
当时，，得，在单调递增，
，则，即，
故的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，即在恒成立.
20. 图，在直三棱柱中，分别为线段的中点，为线段上的动点，.

（1）求三棱锥的体积；
（2）试确定动点的位置，使直线与平面所成角的正弦值最大.
【答案】（1）16 （2）为的中点
【解析】
【分析】（1）由题意可得平面，进而可证平面，利用等体积法可求三棱锥的体积；
（2）以为原点，以为轴建立空间直角坐标系,发现为的中点时所成角的正弦值最大.
【小问1详解】
在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，
由，是的中点，则，
因为，平面，
所以平面，
因为分别为线段的中点，所以，所以平面，
因为，所以平面的距离为3，
因为四边形为矩形，为线段的中点，
所以，
所以.
【小问2详解】
在中，因为是的中点，，
所以，因为平面，平面，
所以
以为原点，以为轴建立空间直角坐标系,

由题设可得，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以平面的法向量为，
设，，则，
所以，，
设直线与平面所成的角为，
则，
若，此时，点与重合；
若，令，则，
当，即，为的中点时，取得最大值.
21. 树德中学为了调查中学生周末回家使用智能手机玩耍网络游戏情况，学校德育处随机选取高一年级中的100名男同学和100名女同学进行无记名问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生?②你是否使用智能手机玩耍网络游戏?
调查分两个环节：
第一个环节：先确定回答哪一个问题，让被调查的200名同学从装有3个白球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题；
第二个环节：再填写问卷(只填“是”与“否”).
回收全部问卷，经统计问卷中共有70张答案为“是”.
（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校中学生使用智能手机玩耍网络游戏的概率；
（2）据核查以上的200名学生中有30名男学生使用智能手机玩耍网络游戏，按照(1)中的概率计算，依据小概率值α=0.15的独立性检验，能否认为中学生使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关联；若有关联，请解释所得结论的实际含义.
参考公式和数据如下：.
【答案】（1）
（2）有关联，答案见解析
【解析】
【分析】(1) 由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；
(2) 通过计算，进而即得.
【小问1详解】
因为摸到同色两球的概率，
所以回答第一个问题的人数为人，
回答第二个问题的人数为人，
因为男女人数相等，是等可能的，
所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为人，
则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，
所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为.
【小问2详解】
由(1)可知200名学生使用智能手机玩网络游戏估计有50人，
则有20名女生使用智能手机玩网络游戏
零假设为：使用智能手机玩耍游戏与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
因此认为使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
在男生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为，
在女生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为，
在被调查者中男生使用智能手机玩耍游戏是女生的倍，
于是根据概率稳定概率的原理，
我们可以认为男士使用智能手机玩耍网络游戏的概率大于女生使用智能手机玩耍网络游戏的概率.
22. 在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线x=-1的距离.
（1）求M的轨迹方程；
（2）P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义求M的轨迹方程；
（2）（ⅰ）设点，由切线AP和BP的方程，得到直线AB的方程为，又直线AB与PO垂直得，则直线AB的方程，可得所过定点. （ⅱ）联立直线AB与直线OP的方程得交点Q的坐标，表示出，结合基本不等式求最小值.
【小问1详解】
因为动点到的距离等于到直线x=-1的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，
又因为焦点为，所以轨迹方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）证明：设点，
设以Ax1,y1为切点的切线方程为，
联立抛物线方程,可得，由，得，
所以切线AP：，同理切线BP：
点P在两条切线上，则，
由于均满足方程，故此为直线AB的方程，
由于垂直即，则，
所以直线AB的方程，恒过；

（ⅱ）解：由（ⅰ）知，则，直线
联立直线AB与直线OP的方程得，
因此，时取等号.
即的最小值是.
【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联系．
α
0.15
0.10
0.05
0025
0.005
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
7.879
男
女
合计
使用智能手机玩游戏
30
20
50
不用智能手机玩游戏
70
80
150
100
100
200