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四川省泸州高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析）
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这是一份四川省泸州高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析），文件包含四川省泸州高级中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题Word版含解析docx、四川省泸州高级中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
命题人：数学学科命题中心张小华、贺玲 审题人：陈建军
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
1. 函数的最小正周期是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式化简，由周期的计算公式即可求解.
【详解】因为，所以函数的最小正周期为，
故选:B.
2. 已知非零向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义理解判断.
【详解】因为向量，，是非零向量，则一定可以推出，
若成立，结合数量积的几何意义，知在上的投影（或投影向量）相等，不能推出，
故是的必要不充分条件．
故选：B
3. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误.
，，则.
则，则，两个向量由公共点.
故A，B，D三点共线.故B正确.
同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误.
，，则，
则不存在唯一，使得，故D也错误.
故选：B.
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的对称性，列出方程，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，
因为的图象关于原点对称，可得，则，
又，结合选项，取，得.
故选：D.
5. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出，再用二倍角的正切计算即可.
【详解】，整理得，得或.
两种情况下都得.
故选：A.
6. 泸州高中的校徽轮廓由两个同心圆构成，设圆心为O点，大圆半径为3，小圆半径为2，动点M，N分别在大小圆上运动，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用模公式，结合数量积定义，余弦函数分析计算即可.
【详解】，
根据题知道，，则.故.
故选：C.
7. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，
对于B，因为，故B错误，
对于C，因为E是的中点，所以，故C错误
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
8. 关于函数有下列四个结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 在有且只有三个零点：
【答案】D
【解析】
【分析】对于AC，可利用反例判断其错误，对于B，根据的奇偶性判断其正误，对于D，可求出零点从而判断其正误.
【详解】对于A，，
而，故，
故不是的一个周期.
对于B，因为，故为偶函数，
故在区间和上单调性相反，故B错误.
对于C，，
，故，
故的图象不关于直线对称.
对于D，令，则，
故或，故或，
故零点的个数为3，
故选：D.
二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
9. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正六边形性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解.
【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.
对于B, ,故B正确.
对于C，,故C正确.
对于D，,,
根据正六边形性质知道，且.
故.故D错误.
故选：BC．
10. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【详解】对于A，原式，则A正确．
对于B，原式，则B正确.
对于C, 原式，则C错误.
对于D,原式．故D错误.
故选：AB.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 非零向量，，满足且与同向，则
B. 若，则与的夹角θ的范围是
C. 非零向量，，满足，则与的夹角为30°
D. 在中，若，则为等腰三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A,向量不能比较大小判断，对于B, 运用数量积就定义得到，则夹角范围是判断，对于C, 运用模长公式，结合数量积和夹角公式计算判断，对于D, 因为表示与的平分线共线的向量，结合数量积判断垂直即可.
【详解】对于A,向量不能比较大小，则A错误．
对于B, ，则，则夹角范围是，则B正确.
对于C, 由，可得，
可得，可得
又由，可得，则C正确
对于D, 因为表示与的平分线共线的向量，又，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，则D正确.
故选：BCD.
12. 如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（ ）
A.
B.
C. ，
D. 的单调增区间为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.
【详解】因为当的面积最大时在最高点，此时在中，，
所以，，即，，
因为函数经过，则，
即，又，所以取.
所以函数表达式为.B正确.
对于A，，错误；
对于C，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，即，，正确；
对于D，令，解得，所以的单调增区间为，正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）
13. 已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中α，β均为锐角，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】运用锐角三角函数和同角三角函数关系式求出，再结合两角和的正弦公式计算，得出角即可.
【详解】由图，结合初中锐角三角函数和同角三角函数关系式可知，
因为，所以，
因为，所以，
，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为______；
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得，
再由投影向量定义可得在上的投影向量为：
故答案为：
15. 已知函数，，若，则实数m的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】先代入求出化简，再解三角不等式即可.
【详解】，
由于，即.
得到，即，
即，即.
即,即.
故答案：.
16. 已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为
，
，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以
.
故答案为：
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．
（1）若，求；
（2）若，且，求实数λ的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再用中线的向量表达式，结合数量积计算即可；
（2）运用垂直的向量结论，再结合基底，运算即可.
【小问1详解】
由已知，，夹角为，可得．
因为，所以可得．
所以；
【小问2详解】
因为，
则
，所以.
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，且，求角的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方关系及二倍角正弦公式可求；
（2）利用两角和的正弦公式可求，从而可求的值.
【小问1详解】
得即.
【小问2详解】
因为可得或，
而，，故，
∵，，
∴
则
因，则
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，点A的横坐标为且．
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）运用诱导公式化简，结合同角三角函数关系计算；
（2）运用三角函数定义，结合二倍角和和角公式计算即可.
【小问1详解】
因点A的横坐标，而点A在第一象限，则点，
即有，，所以，
.
【小问2详解】
，，
，，
所以.
20. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）运用三角变换恒等式将函数化为，再整体代换计算；
（2）先去绝对值，解出不等式，再结合不等式恒成立和函数最值计算即可.
【小问1详解】
∵
，
令，解得.
的增区间是，
【小问2详解】
∵，
∵，，∴
∴m−2<1−3m+2>3⇒1即m的取值范围是.
21. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是上的动点，矩形内接于扇形，且，设.
（1）用表示线段的长；
（2）求矩形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过作的垂线，垂足为，根据解三角形可得；
（2）根据解三角形及矩形的面积公式可求，再利用三角变换和正弦函数的性质可求面积的最大值.
【小问1详解】
∵且，∴为等边三角形，∴，
又四边形为矩形，∴，∴；
在扇形中，半径，过作的垂线，垂足为，
∴，
在中，．
【小问2详解】
由（1）可知，，
，，
∴，
∴
，
∵，∴，
∴当，即时，矩形面积的最大值，最大值为
22. 如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M．
（1）求（结果用表示）；
（2）若．
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合二倍角公式化简即可.
（2）①结合给定条件，将目标式表示为三角函数，结合有界性求解即可.
②利用给定条件将目标式表示为一元函数，结合换元法和定义法求解值域即可.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
①，
，
设．由题意得，则，
，，
，所以
，
因为，则，
所以，则；
②设，
则，
所以，由得，
即，
整理得，所以，
所以．
即，，
令，，
，，令．
；
∵，，，
则，即，
∴在上单调递增，则，
所以函数值域是.
【点睛】关键点点睛：解题关键是利用平面向量的线性运算将目标式表示为一元函数，然后利用换元法结合定义法得到所要求的值域即可．
命题人：数学学科命题中心张小华、贺玲 审题人：陈建军
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
1. 函数的最小正周期是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式化简，由周期的计算公式即可求解.
【详解】因为，所以函数的最小正周期为，
故选:B.
2. 已知非零向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义理解判断.
【详解】因为向量，，是非零向量，则一定可以推出，
若成立，结合数量积的几何意义，知在上的投影（或投影向量）相等，不能推出，
故是的必要不充分条件．
故选：B
3. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误.
，，则.
则，则，两个向量由公共点.
故A，B，D三点共线.故B正确.
同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误.
，，则，
则不存在唯一，使得，故D也错误.
故选：B.
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的对称性，列出方程，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，
因为的图象关于原点对称，可得，则，
又，结合选项，取，得.
故选：D.
5. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出，再用二倍角的正切计算即可.
【详解】，整理得，得或.
两种情况下都得.
故选：A.
6. 泸州高中的校徽轮廓由两个同心圆构成，设圆心为O点，大圆半径为3，小圆半径为2，动点M，N分别在大小圆上运动，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用模公式，结合数量积定义，余弦函数分析计算即可.
【详解】，
根据题知道，，则.故.
故选：C.
7. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，
对于B，因为，故B错误，
对于C，因为E是的中点，所以，故C错误
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
8. 关于函数有下列四个结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 在有且只有三个零点：
【答案】D
【解析】
【分析】对于AC，可利用反例判断其错误，对于B，根据的奇偶性判断其正误，对于D，可求出零点从而判断其正误.
【详解】对于A，，
而，故，
故不是的一个周期.
对于B，因为，故为偶函数，
故在区间和上单调性相反，故B错误.
对于C，，
，故，
故的图象不关于直线对称.
对于D，令，则，
故或，故或，
故零点的个数为3，
故选：D.
二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
9. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正六边形性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解.
【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.
对于B, ,故B正确.
对于C，,故C正确.
对于D，,,
根据正六边形性质知道，且.
故.故D错误.
故选：BC．
10. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【详解】对于A，原式，则A正确．
对于B，原式，则B正确.
对于C, 原式，则C错误.
对于D,原式．故D错误.
故选：AB.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 非零向量，，满足且与同向，则
B. 若，则与的夹角θ的范围是
C. 非零向量，，满足，则与的夹角为30°
D. 在中，若，则为等腰三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A,向量不能比较大小判断，对于B, 运用数量积就定义得到，则夹角范围是判断，对于C, 运用模长公式，结合数量积和夹角公式计算判断，对于D, 因为表示与的平分线共线的向量，结合数量积判断垂直即可.
【详解】对于A,向量不能比较大小，则A错误．
对于B, ，则，则夹角范围是，则B正确.
对于C, 由，可得，
可得，可得
又由，可得，则C正确
对于D, 因为表示与的平分线共线的向量，又，可得的平分线与垂直，所以为等腰三角形，则D正确.
故选：BCD.
12. 如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（ ）
A.
B.
C. ，
D. 的单调增区间为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.
【详解】因为当的面积最大时在最高点，此时在中，，
所以，，即，，
因为函数经过，则，
即，又，所以取.
所以函数表达式为.B正确.
对于A，，错误；
对于C，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，即，，正确；
对于D，令，解得，所以的单调增区间为，正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）
13. 已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中α，β均为锐角，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】运用锐角三角函数和同角三角函数关系式求出，再结合两角和的正弦公式计算，得出角即可.
【详解】由图，结合初中锐角三角函数和同角三角函数关系式可知，
因为，所以，
因为，所以，
，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为______；
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得，
再由投影向量定义可得在上的投影向量为：
故答案为：
15. 已知函数，，若，则实数m的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】先代入求出化简，再解三角不等式即可.
【详解】，
由于，即.
得到，即，
即，即.
即,即.
故答案：.
16. 已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为
，
，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以
.
故答案为：
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．
（1）若，求；
（2）若，且，求实数λ的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再用中线的向量表达式，结合数量积计算即可；
（2）运用垂直的向量结论，再结合基底，运算即可.
【小问1详解】
由已知，，夹角为，可得．
因为，所以可得．
所以；
【小问2详解】
因为，
则
，所以.
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，且，求角的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方关系及二倍角正弦公式可求；
（2）利用两角和的正弦公式可求，从而可求的值.
【小问1详解】
得即.
【小问2详解】
因为可得或，
而，，故，
∵，，
∴
则
因，则
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，点A的横坐标为且．
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）运用诱导公式化简，结合同角三角函数关系计算；
（2）运用三角函数定义，结合二倍角和和角公式计算即可.
【小问1详解】
因点A的横坐标，而点A在第一象限，则点，
即有，，所以，
.
【小问2详解】
，，
，，
所以.
20. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）运用三角变换恒等式将函数化为，再整体代换计算；
（2）先去绝对值，解出不等式，再结合不等式恒成立和函数最值计算即可.
【小问1详解】
∵
，
令，解得.
的增区间是，
【小问2详解】
∵，
∵，，∴
∴m−2<1−3m+2>3⇒1
21. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是上的动点，矩形内接于扇形，且，设.
（1）用表示线段的长；
（2）求矩形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过作的垂线，垂足为，根据解三角形可得；
（2）根据解三角形及矩形的面积公式可求，再利用三角变换和正弦函数的性质可求面积的最大值.
【小问1详解】
∵且，∴为等边三角形，∴，
又四边形为矩形，∴，∴；
在扇形中，半径，过作的垂线，垂足为，
∴，
在中，．
【小问2详解】
由（1）可知，，
，，
∴，
∴
，
∵，∴，
∴当，即时，矩形面积的最大值，最大值为
22. 如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M．
（1）求（结果用表示）；
（2）若．
①求的取值范围：
②设，记，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合二倍角公式化简即可.
（2）①结合给定条件，将目标式表示为三角函数，结合有界性求解即可.
②利用给定条件将目标式表示为一元函数，结合换元法和定义法求解值域即可.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
①，
，
设．由题意得，则，
，，
，所以
，
因为，则，
所以，则；
②设，
则，
所以，由得，
即，
整理得，所以，
所以．
即，，
令，，
，，令．
；
∵，，，
则，即，
∴在上单调递增，则，
所以函数值域是.
【点睛】关键点点睛：解题关键是利用平面向量的线性运算将目标式表示为一元函数，然后利用换元法结合定义法得到所要求的值域即可．
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