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新高考物理一轮复习讲义 第5章 专题强化7 卫星变轨问题 双星模型（2份打包，原卷版+教师版）
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题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有Geq \f(Mm,r12)＝meq \f(v2,r1)，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Geq \f(Mm,r12)(3)在椭圆轨道B点(远地点)将做近心运动，Geq \f(Mm,r22)>meq \f(vB2,r2)，再次点火加速，使Geq \f(Mm,r22)＝meq \f(v′2,r2)，进入圆轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1 考向1 卫星变轨问题中各物理量的比较
例1 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是( )
A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
答案 A
解析 由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律有eq \f(r23,T22)＝eq \f(a33,T32)，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝eq \r(\f(GM,R))可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误．
例2 嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020年12月17日成功返回，最终收获1 731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上运动时的加速度大小
C．在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
答案 C
解析 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N点受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度相同，故B错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回，故C正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误．
考向2 变轨问题中的能量变化
例3 2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
A.eq \f(3,4)mv2＋eq \f(3Gm地m,4r) B.eq \f(3,4)mv2－eq \f(3Gm地m,4r)
C.eq \f(5,8)mv2＋eq \f(3Gm地m,4r) D.eq \f(5,8)mv2－eq \f(3Gm地m,4r)
答案 D
解析 当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有Geq \f(m地m,r2)＝meq \f(v02,r)，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝eq \r(\f(Gm地,r))，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(Gm地m,2r)；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有Geq \f(m地m,2r2)＝meq \f(v0′2,2r)，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0′＝eq \r(\f(Gm地,2r))，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝eq \f(r1,r2)v＝eq \f(1,2)v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)mv12＝eq \f(Gm地m,4r)－eq \f(1,8)mv2，所以W1－W2＝eq \f(5,8)mv2－eq \f(3Gm地m,4r)，D正确．
考向3 飞船对接问题
例4 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.
题型二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：
例5 如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则( )
A．恒星A、B运动的周期为T
B．恒星A的质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为eq \f(π2d3,GT2)
D．恒星A的线速度大于B的线速度
答案 C
解析 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误； 根据万有引力提供向心力有Geq \f(mAmB,d2)＝mAeq \f(4π2,2T2)rA＝mBeq \f(4π2,2T2)rB，由题图知rAmB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝eq \f(π2d3,GT2)，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA例6 (多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．两者之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
答案 AC
解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m例7 (多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．每颗星体所需向心力大小为2Geq \f(m2,r2)
B．每颗星体运行的周期均为2πeq \r(\f(r3,3Gm))
C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍
D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,4)
答案 BC
解析 任意两颗星体间的万有引力大小F0＝Geq \f(m2,r2)，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F＝2F0cs 30°＝eq \r(3)Geq \f(m2,r2)，A错误；由牛顿第二定律可得F＝m(eq \f(2π,T))2r′，其中r′＝eq \f(\f(r,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3)r,3)，解得每颗星体运行的周期均为T＝2πeq \r(\f(r3,3Gm))，B正确；星体原来的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \r(\f(3Gm,r3))，若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度ω′＝eq \f(2π,T′)＝eq \r(\f(6Gm,r3))，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍，C正确；星体原来的线速度大小v＝eq \f(2πr′,T)，若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2πeq \r(\f(4r3,3Gm))＝16πeq \r(\f(r3,3Gm))＝8T，星体的线速度大小v′＝eq \f(2π,T′)×4r′＝eq \f(πr′,T)，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,2)，D错误．
题型三 星球“瓦解”问题 黑洞
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq \r(\f(GM,R3)).当ω>eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)≥mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
考向2 黑洞问题
例9 科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1, 光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.eq \f(2v12R,kc2) B.eq \f(2kc2R,v12)
C.eq \f(kv12R,2c2) D.eq \f(2kv12R,c2)
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝eq \r(\f(GkM,r))，并且有eq \r(2)v2>c，联立解得r课时精练
1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量
答案 BD
解析 在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确．
2.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误．
3.(2023·重庆市模拟)我国2021年9月27日发射的试验十号卫星，轨道Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ分别相切于A、B两点，如图所示，停泊轨道Ⅰ距地面约200 km，卫星沿轨道Ⅰ过A点的速度大小、加速度大小分别为v1、a1；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过A点的速度大小、加速度大小分别为v2、a2，过B点的速度大小、加速度大小分别为v3、a3；同步轨道Ⅲ距地面约36 000 km，卫星沿轨道Ⅲ过B点的速度大小、加速度大小分别为v4、a4.下列关于试验十号卫星说法正确的是( )
A．a1a3 v2＝v3
C．a3＝a4 v3答案 C
解析 卫星无论沿轨道Ⅰ过A点还是沿转移椭圆轨道Ⅱ过A点，受到的万有引力相同，根据eq \f(GMm,r2)＝ma可知，加速度a1＝a2，但是卫星过A点由轨道Ⅰ到转移椭圆轨道Ⅱ需要点火加速，所以v1a3，由开普勒第二定律可知v2>v3，故B错误；同理可得，卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过B点的加速度等于轨道Ⅲ过B点的加速度，即a3＝a4，卫星由转移椭圆轨道Ⅱ经B点到轨道Ⅲ需要点火加速，故v3a4，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)可知v1>v4，则v2>v4，故D错误．
4．一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为( )
A.eq \f(T0,T) B.eq \f(T,T0) C.eq \f(T02,T2) D.eq \f(T2,T02)
答案 D
解析 对近地卫星，有 Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T0))2R，地球的质量M＝ρ1·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ1＝eq \f(3π,GT02)，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有Geq \f(Mm0,R2)＝m0(eq \f(2π,T))2R，M＝ρ2·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ2＝eq \f(3π,GT2)，所以eq \f(ρ1,ρ2)＝eq \f(T2,T02)，故选D.
5．(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
答案 AD
解析 星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A正确；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得Geq \f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为eq \f(EkA,EkB)＝eq \f(\f(1,2)mAvA2,\f(1,2)mBvB2)＝eq \f(mAωrA2,mBωrB2)＝eq \f(3,1)，故D正确．
6．(2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是( )
A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力
B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度
C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度
D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些条件可估算出地球的质量
答案 D
解析 航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A错误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B错误；对接后，组合体运动的加速度a＝eq \f(GM,r2)7．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船( )
A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等
B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1eq \r(\f(r1＋r3,2r1)3)
D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
答案 C
解析 飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相等，故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有eq \f(r13,T12)＝eq \f(\f(r1＋r3,2)3,T22)，解得T2＝T1eq \r(\f(r1＋r3,2r1)3)，故C正确；物体绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于飞船沿轨道Ⅰ运行的半径小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的半径，因此飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误．
8.(2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为Geq \f(m2,r12)
B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小
答案 D
解析 对于恒星1，根据万有引力提供向心力有eq \f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1an1，则恒星1的向心加速度大小an1＝eq \f(Gm2,r1＋r22)，故A错误；由mg＝eq \f(GMm,R2)，解得g＝eq \f(GM,R2)，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力加速度的大小，故B错误；对于双星运动有m1r1＝m2r2，又因为角速度相同，根据角速度与线速度关系有m1ωr1＝m2ωr2，即m1v1＝m2v2，则动量大小相等，故C错误；设两恒星之间距离为L，对恒星1，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1(eq \f(2π,T))2r1，对恒星2，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2(eq \f(2π,T))2r2，上述两式相加得eq \f(Gm2,L2)＋eq \f(Gm1,L2)＝(eq \f(2π,T))2r1＋(eq \f(2π,T))2r2，解得T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时，双星做圆周运动的共同周期逐渐减小，故D正确．
9.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为eq \f(1,3)a0
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为eq \f(\r(3a0R),3)
C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3eq \r(3)倍
D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)
答案 BD
解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由eq \f(GMm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，则a1＝eq \f(R2,3R2)a0＝eq \f(1,9)a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝eq \f(v12,3R)，解得v1＝eq \r(\f(1,3)a0R)＝eq \f(\r(3a0R),3)，故B正确；根据开普勒第三定律有eq \f(T22,T12)＝eq \f(3R3,2R3)，解得eq \f(T2,T1)＝eq \f(3\r(6),4)，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝eq \f(1,3)v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)，故D正确．
10.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 BD
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
11．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v＝eq \r(\f(2GM,R)) ，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c，则下列关于该黑洞的说法正确的是( )
A．该黑洞的质量为eq \f(GT2,4πr3)
B．该黑洞的质量为eq \f(4πr3,GT2)
C．该黑洞的最大半径为eq \f(4π2r3,c2)
D．该黑洞的最大半径为eq \f(8π2r3,c2T2)
答案 D
解析 天体绕黑洞运动时，有eq \f(GMm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项A、B错误；黑洞的逃逸速度不小于光速，则有eq \r(\f(2GM,R))≥c，解得R≤eq \f(2GM,c2)＝eq \f(8π2r3,c2T2)，选项C错误，D正确．
12．质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且eq \f(T,T0)＝k.于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为( )
A.eq \f(1－k2,4k2)m B.eq \f(1＋k2,4k2)m
C.eq \f(1－k2,k2)m D.eq \f(1＋k2,k2)m
答案 A
解析 两星球绕连线的中点转动，则有Geq \f(m2,L2)＝m·eq \f(4π2,T02)·eq \f(L,2)，所以T0＝2πeq \r(\f(L3,2Gm))，由于C的存在，星球所需的向心力由两个力的合力提供，则Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(Mm,\f(L,2)2)＝m·eq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2)，又eq \f(T,T0)＝k，联立解得M＝eq \f(1－k2,4k2)m，可知A正确，B、C、D错误．常见的三星模型
①eq \f(Gm2,2R2)＋eq \f(GMm,R2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
常见的四星模型
①eq \f(Gm2,L2)×cs 45°×2＋eq \f(Gm2,\r(2)L2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＋eq \f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(L,\r(3)) ))2)＝ma向
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有Geq \f(Mm,r12)＝meq \f(v2,r1)，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Geq \f(Mm,r12)
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1
例1 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是( )
A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
答案 A
解析 由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律有eq \f(r23,T22)＝eq \f(a33,T32)，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝eq \r(\f(GM,R))可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误．
例2 嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020年12月17日成功返回，最终收获1 731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上运动时的加速度大小
C．在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
答案 C
解析 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N点受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度相同，故B错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回，故C正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误．
考向2 变轨问题中的能量变化
例3 2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)( )
A.eq \f(3,4)mv2＋eq \f(3Gm地m,4r) B.eq \f(3,4)mv2－eq \f(3Gm地m,4r)
C.eq \f(5,8)mv2＋eq \f(3Gm地m,4r) D.eq \f(5,8)mv2－eq \f(3Gm地m,4r)
答案 D
解析 当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有Geq \f(m地m,r2)＝meq \f(v02,r)，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝eq \r(\f(Gm地,r))，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(Gm地m,2r)；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有Geq \f(m地m,2r2)＝meq \f(v0′2,2r)，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0′＝eq \r(\f(Gm地,2r))，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝eq \f(r1,r2)v＝eq \f(1,2)v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)mv12＝eq \f(Gm地m,4r)－eq \f(1,8)mv2，所以W1－W2＝eq \f(5,8)mv2－eq \f(3Gm地m,4r)，D正确．
考向3 飞船对接问题
例4 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.
题型二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：
例5 如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则( )
A．恒星A、B运动的周期为T
B．恒星A的质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为eq \f(π2d3,GT2)
D．恒星A的线速度大于B的线速度
答案 C
解析 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误； 根据万有引力提供向心力有Geq \f(mAmB,d2)＝mAeq \f(4π2,2T2)rA＝mBeq \f(4π2,2T2)rB，由题图知rA
A．两者之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
答案 AC
解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m
A．每颗星体所需向心力大小为2Geq \f(m2,r2)
B．每颗星体运行的周期均为2πeq \r(\f(r3,3Gm))
C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍
D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,4)
答案 BC
解析 任意两颗星体间的万有引力大小F0＝Geq \f(m2,r2)，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F＝2F0cs 30°＝eq \r(3)Geq \f(m2,r2)，A错误；由牛顿第二定律可得F＝m(eq \f(2π,T))2r′，其中r′＝eq \f(\f(r,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3)r,3)，解得每颗星体运行的周期均为T＝2πeq \r(\f(r3,3Gm))，B正确；星体原来的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \r(\f(3Gm,r3))，若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度ω′＝eq \f(2π,T′)＝eq \r(\f(6Gm,r3))，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍，C正确；星体原来的线速度大小v＝eq \f(2πr′,T)，若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2πeq \r(\f(4r3,3Gm))＝16πeq \r(\f(r3,3Gm))＝8T，星体的线速度大小v′＝eq \f(2π,T′)×4r′＝eq \f(πr′,T)，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,2)，D错误．
题型三 星球“瓦解”问题 黑洞
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq \r(\f(GM,R3)).当ω>eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)≥mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
考向2 黑洞问题
例9 科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1, 光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.eq \f(2v12R,kc2) B.eq \f(2kc2R,v12)
C.eq \f(kv12R,2c2) D.eq \f(2kv12R,c2)
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝eq \r(\f(GkM,r))，并且有eq \r(2)v2>c，联立解得r
1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量
答案 BD
解析 在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确．
2.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误．
3.(2023·重庆市模拟)我国2021年9月27日发射的试验十号卫星，轨道Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ分别相切于A、B两点，如图所示，停泊轨道Ⅰ距地面约200 km，卫星沿轨道Ⅰ过A点的速度大小、加速度大小分别为v1、a1；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过A点的速度大小、加速度大小分别为v2、a2，过B点的速度大小、加速度大小分别为v3、a3；同步轨道Ⅲ距地面约36 000 km，卫星沿轨道Ⅲ过B点的速度大小、加速度大小分别为v4、a4.下列关于试验十号卫星说法正确的是( )
A．a1
C．a3＝a4 v3
解析 卫星无论沿轨道Ⅰ过A点还是沿转移椭圆轨道Ⅱ过A点，受到的万有引力相同，根据eq \f(GMm,r2)＝ma可知，加速度a1＝a2，但是卫星过A点由轨道Ⅰ到转移椭圆轨道Ⅱ需要点火加速，所以v1
4．一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为( )
A.eq \f(T0,T) B.eq \f(T,T0) C.eq \f(T02,T2) D.eq \f(T2,T02)
答案 D
解析 对近地卫星，有 Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T0))2R，地球的质量M＝ρ1·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ1＝eq \f(3π,GT02)，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有Geq \f(Mm0,R2)＝m0(eq \f(2π,T))2R，M＝ρ2·eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ2＝eq \f(3π,GT2)，所以eq \f(ρ1,ρ2)＝eq \f(T2,T02)，故选D.
5．(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
答案 AD
解析 星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A正确；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得Geq \f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为eq \f(EkA,EkB)＝eq \f(\f(1,2)mAvA2,\f(1,2)mBvB2)＝eq \f(mAωrA2,mBωrB2)＝eq \f(3,1)，故D正确．
6．(2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是( )
A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力
B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度
C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度
D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些条件可估算出地球的质量
答案 D
解析 航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A错误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B错误；对接后，组合体运动的加速度a＝eq \f(GM,r2)
A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等
B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1eq \r(\f(r1＋r3,2r1)3)
D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
答案 C
解析 飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相等，故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有eq \f(r13,T12)＝eq \f(\f(r1＋r3,2)3,T22)，解得T2＝T1eq \r(\f(r1＋r3,2r1)3)，故C正确；物体绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于飞船沿轨道Ⅰ运行的半径小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的半径，因此飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误．
8.(2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为Geq \f(m2,r12)
B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小
答案 D
解析 对于恒星1，根据万有引力提供向心力有eq \f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1an1，则恒星1的向心加速度大小an1＝eq \f(Gm2,r1＋r22)，故A错误；由mg＝eq \f(GMm,R2)，解得g＝eq \f(GM,R2)，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力加速度的大小，故B错误；对于双星运动有m1r1＝m2r2，又因为角速度相同，根据角速度与线速度关系有m1ωr1＝m2ωr2，即m1v1＝m2v2，则动量大小相等，故C错误；设两恒星之间距离为L，对恒星1，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1(eq \f(2π,T))2r1，对恒星2，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2(eq \f(2π,T))2r2，上述两式相加得eq \f(Gm2,L2)＋eq \f(Gm1,L2)＝(eq \f(2π,T))2r1＋(eq \f(2π,T))2r2，解得T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时，双星做圆周运动的共同周期逐渐减小，故D正确．
9.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为eq \f(1,3)a0
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为eq \f(\r(3a0R),3)
C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3eq \r(3)倍
D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)
答案 BD
解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由eq \f(GMm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，则a1＝eq \f(R2,3R2)a0＝eq \f(1,9)a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝eq \f(v12,3R)，解得v1＝eq \r(\f(1,3)a0R)＝eq \f(\r(3a0R),3)，故B正确；根据开普勒第三定律有eq \f(T22,T12)＝eq \f(3R3,2R3)，解得eq \f(T2,T1)＝eq \f(3\r(6),4)，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝eq \f(1,3)v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)，故D正确．
10.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 BD
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
11．黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v＝eq \r(\f(2GM,R)) ，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c，则下列关于该黑洞的说法正确的是( )
A．该黑洞的质量为eq \f(GT2,4πr3)
B．该黑洞的质量为eq \f(4πr3,GT2)
C．该黑洞的最大半径为eq \f(4π2r3,c2)
D．该黑洞的最大半径为eq \f(8π2r3,c2T2)
答案 D
解析 天体绕黑洞运动时，有eq \f(GMm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项A、B错误；黑洞的逃逸速度不小于光速，则有eq \r(\f(2GM,R))≥c，解得R≤eq \f(2GM,c2)＝eq \f(8π2r3,c2T2)，选项C错误，D正确．
12．质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且eq \f(T,T0)＝k.于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为( )
A.eq \f(1－k2,4k2)m B.eq \f(1＋k2,4k2)m
C.eq \f(1－k2,k2)m D.eq \f(1＋k2,k2)m
答案 A
解析 两星球绕连线的中点转动，则有Geq \f(m2,L2)＝m·eq \f(4π2,T02)·eq \f(L,2)，所以T0＝2πeq \r(\f(L3,2Gm))，由于C的存在，星球所需的向心力由两个力的合力提供，则Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(Mm,\f(L,2)2)＝m·eq \f(4π2,T2)·eq \f(L,2)，又eq \f(T,T0)＝k，联立解得M＝eq \f(1－k2,4k2)m，可知A正确，B、C、D错误．常见的三星模型
①eq \f(Gm2,2R2)＋eq \f(GMm,R2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
常见的四星模型
①eq \f(Gm2,L2)×cs 45°×2＋eq \f(Gm2,\r(2)L2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＋eq \f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(L,\r(3)) ))2)＝ma向
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