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高考物理一轮复习讲义第8章第3课时 机械波（2份打包，原卷版+教师版）
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这是一份高考物理一轮复习讲义第8章第3课时 机械波（2份打包，原卷版+教师版），文件包含高考物理一轮复习讲义第8章第3课时机械波教师版doc、高考物理一轮复习讲义第8章第3课时机械波学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
考点一 机械波的形成 波的图像
1．机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的波源。
②有传播介质，如空气、水等。
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
③介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
2．波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
(3)图像(如图)
3．波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
(2)频率f：等于波源的振动频率，由波源决定。
(3)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，与波长和频率无关。
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝eq \f(λ,T)＝λf。
1．在机械波传播过程中，介质中的质点沿着波的传播方向移动。( × )
2．机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。( √ )
3．机械波在一个周期内传播的距离是振幅的4倍。( × )
4．波速表示介质中质点振动的快慢。( × )
5．波长长的波传播速度较快。( × )
例1 (多选)(2024·安徽合肥市第一中学月考)位置坐标x＝0的波源S在t＝0时刻从平衡位置开始向下运动，形成沿x轴正、负两个方向传播的简谐横波，沿波传播方向上有间距均为1 m的9个质点，位置坐标如图所示。t＝0时刻各质点均处于平衡位置，经0.3 s，x＝1 m处的质点第一次具有正向(即竖直向上)最大速度，同时x＝3 m的质点开始振动，则下列说法正确的是( )
A．波速为10 m/s
B．x＝－3 m和x＝3 m的两质点振动步调完全一致
C．t＝0.6 s时，x＝4 m的质点具有负向最大速度
D．t＝0.5 s时，x＝－2.5 m的质点加速度正在减小
答案 AB
解析 设该波的波速为v，周期为T，根据题意可得eq \f(x3,v)＝0.3 s，eq \f(x1,v)＋eq \f(T,2)＝0.3 s，其中x1＝1 m，x3＝3 m，联立解得v＝10 m/s，T＝0.4 s，故A正确；由于该波源形成沿x轴正、负两个方向传播的简谐横波，则关于该波源对称的点的振动步调完全一致，故B正确；该波从波源传播到x＝4 m处所需的时间为t＝eq \f(x4,v)＝eq \f(4,10) s＝0.4 s，则可知0.4 s时x＝4 m处的质点才开始振动，且跟波源的起振方向相同，即从平衡位置开始向下振动，而0.2 s＝eq \f(T,2)，则可知t＝0.6 s时，x＝4 m的质点到达平衡位置，正向上振动，此刻该质点具有正向最大速度，故C错误；波传播到x＝－2.5 m处所用的时间为t1＝eq \f(x,v)＝eq \f(2.5,10) s＝0.25 s，则再经过0.25 s，x＝－2.5 m的质点正从平衡位置上方向正向最大位移处振动，而离平衡位置越远加速度越大，速度越小，即该质点的加速度正在增大，故D错误。
例2 (2023·广东汕头市模拟)在学习机械波相关知识后，两名同学分别乘坐静止在湖面的甲、乙两艘小船，两船间水平距离为20 m。某时刻，一列水波从甲船向乙船传播，每艘船在1 min时间内上下浮动30次，已知甲船在波峰时，乙船在波谷，两船间恰好还有2个波峰，以下说法正确的是( )
A．水波的周期为1 s
B．水波的波长为8 m
C．水波的波速为8 m/s
D．水波经过一段时间，甲、乙两船将靠近
答案 B
解析 船在1 min时间内上下浮动30次，故水波的周期为T＝eq \f(60,30) s＝2 s，A错误；当甲船位于波峰时，乙船位于波谷，这时两船之间还有两个波峰，故两船间水平距离为s＝(2＋eq \f(1,2))λ＝20 m，解得水波的波长为λ＝8 m，B正确；水波的波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8,2) m/s＝4 m/s，C错误；两船上下振动，不会随波迁移，经过一段时间，甲、乙两船不会靠近，D错误。
例3 (2023·北京市第八中学三模)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示。介质中x＝1 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm。则下列说法正确的是( )
A．该波的波长为4 m，振幅为20 cm
B．t＝0时，x＝2 m处的质点具有负向最大加速度
C．该波沿x轴负方向传播
D．这列波的波速为10 m/s
答案 D
解析 由波形图可直接得出该波的波长λ＝4 m，振幅A＝10 cm，故A错误；由波形图知，t＝0时，x＝2 m处的质点此刻在负向最大位移处，此处加速度指向平衡位置，为正向最大，故B错误；根据质点P沿y轴方向的振动情况，可知下一时刻，P质点将向y轴正方向振动，根据“同侧法”可知该波沿x轴正方向传播，故C错误；根据质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm，可得这列波的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,5π) s＝0.4 s，得波速v＝eq \f(λ,T)＝
eq \f(4,0.4) m/s＝10 m/s，故D正确。
波的传播方向与质点振动方向的互判
考点二 波传播的周期性和多解性问题
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。
2．造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
例4 (2024·湖北省联考)一简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距
16 m的两质点，波先传到质点P。当波传到Q开始计时，P、Q两质点的振动图像如图所示，则( )
A．质点P沿y轴负方向开始振动
B．该波的波长可能为6 m
C．该波的传播速度可能为5 m/s
D．该波从P传到Q的时间可能为7 s
答案 B
解析 由振动图像可知，质点Q起振方向沿y轴正方向，由于各质点的起振方向与波源相同，故质点P开始振动的方向沿y轴正方向，A错误；从题图可以看出质点Q的振动图像向左平移4 s后与质点P的图像重合，故Q比P滞后4 s，振动周期为6 s，结合振动的周期性可知，该波从P传到Q的时间为Δt＝4 s＋nT＝(6n＋4) s(n＝0,1,2,3…)，可能为4 s，10 s,16 s等，不可能为7 s，D错误；该波的传播速度为v＝eq \f(Δx,Δt)，结合D解析中的数据可知，可能为4 m/s，1.6 m/s,1 m/s等，不可能为5 m/s，C错误；波长为λ＝vT，结合C解析中的数据可知，波长可能为24 m,9.6 m,6 m等，B正确。
解决波的多解问题的思路
1．机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的。机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多个值与之对应，即这三个物理量可分别表示为x＝nλ＋Δx，t＝kT＋Δt，v＝eq \f(x,t)＝eq \f(nλ＋Δx,kT＋Δt)(其中n＝0，1,2，…且k＝0,1,2，…)。
2．在解决波的多解问题时，一般先判断波的传播方向是否确定，若不确定，可采用假设法依次分析不同传播方向中的周期性问题。
考点三 波的图像和振动图像的综合应用
振动图像和波的图像的比较
例5 (2024·四川绵阳市零诊)如图(a)为一列简谐横波在t＝0.5 s时刻的波形图，介质中的两个质点P、Q此刻离开平衡位置的位移分别为0.5A、－0.5A；图(b)是质点Q的振动图像。正确的是( )
A．波沿＋x方向传播，0.5 s时刻P质点正在向＋y方向振动
B．波沿＋x方向传播，0.5 s时刻Q质点正在向＋y方向振动
C．波速为4 cm/s,0.5 s时刻质点P在减速、质点Q在加速
D．波速为4 cm/s，质点P、Q振动方向有时相同有时相反
答案 D
解析 由质点Q的振动图像可知0.5 s时刻Q质点正在向－y方向振动，在题图(a)中根据同侧法可以判断出波沿－x方向传播，故A、B错误；根据波的图像可得波长为λ＝24 cm，根据振动图像可得质点振动的周期即波传播的周期为T＝6 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝4 cm/s，根据同侧法可得0.5 s时刻P质点正在向平衡位置运动，在加速，而Q质点则正在向负向最大位移处运动，在减速，C错误；由于质点P、Q的平衡位置的距离不是半波长的整数倍，所以质点P、Q振动方向有时相同有时相反，D正确。
例6 (2023·山东潍坊市二模)如图甲所示，波源S发出一列水平向右传播的简谐横波先后经过P、Q两点，图乙为波源S的振动图像。已知S到P、Q两点的距离分别为SP＝4.2 m、SQ＝5.4 m。已知波在该介质中传播的速度为8 m/s，则在t＝1.0 s时，P、Q两点间的波形图正确的是( )
答案 C
解析 该列波的周期为T＝0.1 s
所以波长为λ＝vT＝0.8 m
波传到P、Q两点所需要的时间
tP＝eq \f(SP,v)＝eq \f(21,40) s，tQ＝eq \f(SQ,v)＝eq \f(27,40) s
t＝1.0 s时P、Q已振动时间为
ΔtP＝eq \f(19,40) s＝4eq \f(3,4)T，
ΔtQ＝eq \f(13,40) s＝3eq \f(1,4)T
由题图乙可知质点起振方向向上，所以此时P点处于波谷处，Q点处于波峰处。又P、Q两点间距离为1.2 m，可知PQ＝1eq \f(1,2)λ，故选C。
分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
考点四 波的干涉、衍射 多普勒效应
1．波的叠加原理：在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉条件：频率相同、相位差恒定、振动方向相同。
3．发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
说明：(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射是否发生的条件，仅是衍射现象是否明显的条件，一般情况下，波长越长越容易发生明显衍射。
(2)当孔的尺寸远小于波长时，尽管衍射十分突出，但由于衍射波的能量很弱，也很难观察到波的衍射现象。
4．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率增加，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
说明：在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间的距离发生变化，观察者接收到的频率发生了变化。
例7 (2023·广东卷·4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是( )
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
答案 B
解析 根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝eq \f(v,f)＝eq \f(1 500,1.5×106) m＝1×10－3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误。
例8 甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，甲波沿x轴正方向传播，乙波沿x轴负方向传播，t＝0时刻两列波恰好在坐标原点相遇，波形图如图所示，已知甲波的频率为4 Hz，则( )
A．两列波的传播速度均为4 m/s
B．两列波叠加后，x＝0处的质点振动减弱
C．两列波叠加后，x＝0.5 m处的质点振幅为30 cm
D．两列波叠加后，介质中振动加强和减弱区域的位置不变
答案 D
解析 甲波的频率为4 Hz，v＝λf＝2×4 m/s＝8 m/s，由于在同一介质中传播，所以波速相同，均为8 m/s，故A错误；由于甲、乙两波的波长相等，此时在x＝0处质点在平衡位置且两波引起的振动方向均向上，经过一段时间为峰峰相遇或谷谷相遇，两列波叠加后振动加强，故B错误；x＝0处的质点振动加强，x＝0.5 m处的质点振动减弱，振幅为10 cm，故C错误；两列稳定的波叠加后，形成稳定的振动图样，两列波在某一点引起质点的振动情况是稳定的，介质中振动加强和减弱区域的位置稳定不变，故D正确。
波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1．图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时。
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时。
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
课时精练
训练1 机械波(一)
1．(2023·新课标卷·14)船上的人和水下的潜水员都能听见轮船的鸣笛声。声波在空气中和在水中传播时的( )
A．波速和波长均不同 B．频率和波速均不同
C．波长和周期均不同 D．周期和频率均不同
答案 A
解析 声波在不同介质中频率和周期都不变，波长和波速都发生改变，所以选项A正确，B、C、D错误。
2.(多选)如图所示，A、B两点为某简谐横波上的质点，已知波的传播方向由A到B，t＝0时刻该波刚好传到A点，且A点的振动方向竖直向上，经t0时间质点B刚好起振。已知波的传播周期为T、传播速度为v，则下列说法正确的是( )
A．振源位于A的左侧，且起振方向竖直向上
B．质点B振动后，其振动周期一定为T
C．质点B每次经过平衡位置的速度一定为v
D．质点B的起振方向与A、B两点之间的距离有关
答案 AB
解析 A的起振方向竖直向上，因此振源的起振方向竖直向上，由于波的传播方向由A到B，因此振源位于A的左侧，A正确；B的振动周期等于振源的振动周期，等于波的传播周期，则其振动周期一定为T，B正确；传播速度与质点的振动速度是两个不同的概念，质点B经过平衡位置的速度不一定为v，C错误；质点在振源的带动下做受迫振动，则质点B开始振动的方向与振源开始振动的方向相同，与A、B两点之间的距离无关，D错误。
3．(2023·北京卷·4)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin(eq \f(2π,T)t)，则t＝T时的波形图为( )
答案 D
解析 由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。
4．(多选)(2023·重庆卷·9)一列简谐横波在介质中沿x轴传播，波速为2 m/s，t＝0时的波形图如图所示，P为该介质中的一质点。则( )
A．该波的波长为14 m
B．该波的周期为8 s
C．t＝0时质点P的加速度方向沿y轴负方向
D．0～2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m
答案 BD
解析 由题图可知eq \f(3,4)λ＝12 m，解得λ＝16 m，A错误；由v＝eq \f(λ,T)得T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(16,2) s＝8 s，B正确；简谐运动的加速度总指向平衡位置，t＝0时质点P位于y轴负半轴，加速度方向沿y轴正方向，C错误；t＝0时质点P位于y轴的负半轴，经过2 s＝eq \f(T,4)，若波向x轴负方向传播，P向远离平衡位置方向振动，在0～2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m，D正确。
5．(多选)(2023·全国乙卷·34(1)改编)一列简谐横波沿x轴传播，图(a)是t＝0时刻的波形图；P是介质中位于x＝2 m处的质点，其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是( )
A．波速为2 m/s
B．波向左传播
C．x＝3 m处的质点在t＝7 s时位于平衡位置
D．质点P在0～7 s时间内运动的路程为70 cm
答案 ABD
解析 由题图(a)可知波长为4 m，由题图(b)可知波的周期为2 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(4,2) m/s＝2 m/s，故A正确；由题图(b)可知t＝0时，P点向下运动，根据“上下坡”法结合题图(a)可知波向左传播，故B正确；根据题图(a)可知t＝0时x＝3 m处的质点位于波谷处，由于t＝7 s＝3T＋eq \f(1,2)T，可知在t＝7 s时x＝3 m处的质点位于波峰处；质点P运动的路程为s＝3×4A＋eq \f(1,2)×4A＝70 cm，故C错误，D正确。
6．(2022·北京卷·6)在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a，t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝eq \f(3,4)T时的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝eq \f(3,4)T时，质点P4的速度最大
C．t＝eq \f(3,4)T时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为eq \f(8a,T)
答案 D
解析 由t＝eq \f(3,4)T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡”法，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，则t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，故A错误；由题图可知，在t＝eq \f(3,4)T时，质点P4处于正的最大位移处，速度为零，故B错误；由题图可知，在t＝eq \f(3,4)T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，故C错误；由题图可知eq \f(λ,4)＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8a,T)，故D正确。
7．(2023·海南卷·4)下面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是( )
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时P质点向上振动
D．4 s时Q质点向上振动
答案 C
解析 由两个质点的振动图像可知，该波的周期是4 s，A错误；4 s时，P质点向上振动，Q质点向下振动，C正确，D错误；两个质点振动步调相反，可知两质点间距离等于(2n＋eq \f(1,2))λ(n＝0,1,2，…)，只有当n＝0时，eq \f(1,2)λ＝6 m，λ＝12 m，v＝eq \f(λ,T)＝3 m/s，n≥1时，v≠3 m/s，B错误。
8．(多选)(2023·天津卷·7)一列机械波的波源是坐标轴原点，从t＝0时波源开始振动，t＝0.5 s时波形如图，则下列说法正确的有( )
A．在这种介质中波速v＝4 m/s
B．x＝1 m处质点在t＝0.3 s时位于波谷
C．波源振动方程y＝0.02sin (5πt＋π) m
D．x＝－1 m处质点半个周期内向左移动半个波长
答案 BC
解析 由题图可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波速为v＝eq \f(x,t)＝eq \f(2.5,0.5) m/s＝5 m/s，故A错误；由题图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(2,5) s＝0.4 s，波传播到x＝1 m处需要的时间t1＝eq \f(x1,v)＝eq \f(1,5) s＝0.2 s，由题图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s时，x＝1 m处的质点已振动了0.1 s，即eq \f(1,4)T，所以位于波谷，故B正确；根据题图可知该波源的振动方程为y＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)＝－0.02sin (5πt) m＝0.02sin (5πt＋π) m，故C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，故D错误。
9．战绳运动是一项超燃脂的运动。某次健身时，有两位健身者甲、乙分别抓住相同的战绳上下舞动形成向右传播的简谐波，如图(a)所示。某时刻开始计时，t＝0时两列波的图像如图(b)所示，P、Q曲线分别为甲、乙的一个绳波，O点为手握的绳子一端，向右为x轴正方向。已知绳波的速度为v＝15 m/s，试求解下列问题：
(1)甲、乙的绳端振动频率f甲和f乙分别为多少？
(2)写出乙健身者的绳中，平衡位置为6 m处质点从t＝0时刻开始的振动方程。
答案 (1)1.25 Hz 2.5 Hz
(2)y＝25sin(5πt＋π) cm
解析 (1)由题图(b)可知甲、乙的波长分别为λ甲＝12 m，λ乙＝6 m
甲、乙的周期分别为T甲＝eq \f(λ甲,v)＝eq \f(12,15) s＝eq \f(4,5) s
T乙＝eq \f(λ乙,v)＝eq \f(6,15) s＝eq \f(2,5) s，则甲、乙的绳端振动频率分别为f甲＝eq \f(1,T甲)＝1.25 Hz，f乙＝eq \f(1,T乙)＝2.5 Hz
(2)根据波形平移法可知，乙健身者的绳中，平衡位置为6 m处质点在t＝0时从平衡位置向y轴负方向振动，设其振动方程为y＝Asin(ωt＋φ0)
其中A＝25 cm
ω＝eq \f(2π,T乙)＝5π rad/s，φ0＝π
可得y＝25sin(5πt＋π) cm。
10．(2024·河南周口市联考)地震波既有纵波(P波)也有横波(S波)，纵波是推进波，横波是剪切波，地震波的纵波和横波频率相等。距离震源30 km的监测人员先感觉到上下颠簸，Δt＝3 s后感觉到左右摇晃，监测人员在左右摇晃时监测到了一列沿x轴负方向传播的地震横波。t1＝0时刻x轴上在0～4.5 km区间内的波形如图中实线所示，t2＝0.6 s时刻的波形如图中虚线所示，已知该地震横波的周期T＞0.5 s。求：
(1)该地震横波传播速度的大小；
(2)该地震纵波的波长。
答案 (1)3.75 km/s (2)4.8 km
解析 (1)由波形图可知地震横波的波长λS＝3 km
由题意可得t2－t1＝(n＋eq \f(3,4))T(n＝0,1,2，…)
又T>0.5 s，可得n＝0，即eq \f(3,4)T＝0.6 s
地震横波传播速度为vS＝eq \f(λS,T)
解得vS＝3.75 km/s
(2)由题意得Δt＝eq \f(x,vS)－eq \f(x,vP)，解得vP＝6 km/s
又vP＝eq \f(λP,T)，解得λP＝4.8 km。
11．(2024·辽宁省六校联考)如图所示，一列简谐横波沿x轴方向传播，在t1＝0时刻波形如图中的实线所示，且质点P的振动方向沿y轴负方向。t2＝2 s时刻的波形如图中虚线所示。
(1)求该列波的波长λ及可能的波速v；
(2)若该列波的周期T>2 s，t1＝0时刻质点M(图中未画出)的位移为2.5 cm，求从t1＝0时刻开始经12 s时间该质点经过的路程。
答案 (1)8 m (4n＋1) m/s(n＝0,1,2…)
(2)30 cm
解析 (1)由题图可知波长为λ＝8 m，在t1＝0时刻质点P的振动方向沿y轴负方向，根据同侧法可知波传播的方向沿x轴负方向，t2＝2 s时刻的波形如题图中虚线所示，
则有v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(nλ＋2,2) m/s(n＝0,1,2…)
联立可得v＝(4n＋1) m/s(n＝0,1,2…)
(2)由v＝eq \f(λ,T)可得T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(8,4n＋1) s(n＝0,1,2…)
由于T>2 s，则n＝0，解得T＝8 s
由于Δt＝12 s＝eq \f(3,2)T，则12 s内质点M经过的路程s＝6A＝6×5 cm＝30 cm。
训练2 机械波(二)
1．(多选)(2023·辽宁卷·8)“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力。下列现象的物理原理与之相同的是( )
A．插入水中的筷子，看起来折断了
B．阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C．驶近站台的火车，汽笛音调变高
D．振动音叉的周围，声音忽高忽低
答案 BD
解析 该现象属于波的叠加原理；插入水中的筷子看起来折断了是光的折射造成的，与该问题的物理原理不相符；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，是由于光从薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象，与该问题的物理原理不相符；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符，故选B、D。
2．(2023·山东青岛市二模)我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350 km/h的自动驾驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正。如图，一辆行驶的动车组发出一频率为f0、持续时间为Δt0的通信信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接收到信号的频率和持续时间分别为fA、ΔtA和fB、ΔtB，下列判断正确的是( )
A．fA>f0，ΔtA<Δt0 B．fAΔt0
C．fB>f0，ΔtB>Δt0 D．fB答案 A
解析 根据多普勒效应，远离波源的接收者接到的频率变小，靠近波源的接收者接收到的频率变大，则fA>f0，fBT0，所以ΔtA<Δt0，ΔtB>Δt0，故选A。
3．(多选)(2023·湖南长沙市一模)如图所示，水平面内两个沿竖直方向振动的相干波源S1、S2发出的简谐横波在同一均匀介质中相遇，波长均为5 cm，波源S1的振幅为2 cm，S2的振幅为4 cm。图中实线表示某时刻波峰，虚线表示该时刻波谷，a、c、e三点均位于S1、S2连线的中垂线上，其中e点是a、c连线的中点，b、d、f三点为所在两个圆弧的交点。下列说法正确的是( )
A．图示时刻ac两点连线上的任意一点(不含a、c)均向下振动
B．b点的振幅为2 cm
C．图中b、d、f三点位于同一条双曲线上
D．图中e点的振幅为0，但是它是振动加强点
答案 ABC
解析 由题图可知，a点是波谷与波谷相遇的点，c点是波峰与波峰相遇的点，e是ac连线的中点，而该相干波源波长相同，能够形成稳定的干涉图样，因此e点在平衡位置，而ac连线上的点始终处于振动加强的状态，当两列波发生干涉，图示时刻ac两点连线上的任意一点(不含a、c)都是向下振动的，故A正确；
由题图可知，b点是波源S1的波峰与波源S2波谷相遇的点，设波源S1的振幅为A1，波源S2的振幅为A2，则b点的振幅为A＝A2－A1＝4 cm－2 cm＝2 cm，故B正确；
由题图可知b、d、f三点到两个波源的距离之差均为半波长，根据几何知识可得，满足该条件的曲线为双曲线，故C正确；
虽然图示时刻e点既不是波峰与波峰相遇处，也不是波谷与波谷相遇处，图示时刻其位移为0，但e点是振动加强点，振幅为6 cm，故D错误。
4．(2023·浙江6月选考·11)如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O。先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位。已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则( )
A．声波的波长λ＝15 cm
B．声波的波长λ＝30 cm
C．两声波的振幅之比为3∶1
D．两声波的振幅之比为2∶1
答案 C
解析 分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，根据题意设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10可得两声波的振幅之比，eq \f(A1,A2)＝eq \f(3,1)，故C正确，D错误；根据振动减弱的条件及由题意可得eq \f(λ,2)＝2d，解得λ＝60 cm，故A、B错误。
5．(2023·辽宁大连市二十四中模拟)如图甲所示，在xOy平面内有两个沿z方向做简谐运动的点波源S1(－2,0)和S2(4,0)。两波源的振动图像分别如图乙和图丙所示，两列波的波速均为0.50 m/s。0时刻两波源产生的波均已到达质点A(－2,8)和B(1,4)处，则( )
A．质点A位于振动加强区
B．质点A比质点B振动得快
C．0～4 s内，质点A的最小位移为－2 m
D．0～4 s内，质点B的最大位移为2 m
答案 D
解析 根据题意可知，两波传播到A点的路程差为Δs＝eq \r(62＋82) m－8 m＝2 m，两列波的波速均为v＝0.5 m/s，由题图可得 T＝4 s，所以波长为 λ＝vT＝0.5×4 m＝2 m，所以Δs＝λ，根据题图乙和题图丙可知，两列波的起振方向是反向的，所以质点A位于振动减弱区，故A错误；两波源的振动频率相等，则质点A与质点B振动快慢相同，故B错误；两波分别从波源传播到B点的路程差为0，B点为振动减弱点，B点的振幅为A＝A2－A1＝4 m－2 m＝2 m，0～4 s内，质点B的最大位移为2 m，故D正确；A点为振动减弱点，0～4 s内，质点A的最小位移为0，故C错误。
6．(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是( )
A．这三列波的波速均为2 m/s
B．t＝2 s时，D处的质点开始振动
C．t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D．t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
答案 C
解析 由题图(b)的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v＝eq \f(λ,T)＝1 m/s，A错误；由题图(a)可知，与D处距离最近的波源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC＝eq \f(DC,v)＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误；由几何关系可知AD＝BD＝5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为tAB＝eq \f(AD,v)＝5 s，故t＝4.5 s时，仅波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；t＝6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷；t＝6 s时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tAB＝1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。
7.(多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
答案 AC
解析 由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，
振幅A＝20 cm，设原点处的质点的振动方程为
y＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)，将(0,10 cm)代入，
有10 cm＝20sin φ (cm)，
解得φ＝eq \f(π,6)。在t＝7 s时刻，
y7＝20sin(eq \f(2π,12)×7＋eq \f(π,6)) cm＝－10eq \r(3) cm≈－17.3 cm
因7 s＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,12)T
由题可知在t＝7 s时刻质点在y轴负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为C所示；若波向左传播，则波形如A所示，故选A、C。
8.(2023·山东临沂市期中)一列简谐横波沿直线传播，该直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图像如图所示，则在A、B、C、D图中描述该波的图像不可能出现的是( )
答案 B
解析 t＝0时刻，a质点在波峰，b质点在平衡位置，且向下振动。若波由a传到b，
则a、b间距s＝(n＋eq \f(3,4))λ＝9 m(n＝0,1,2,3，…)，
解得λ＝eq \f(36,4n＋3) m(n＝0,1,2,3，…)，
当n＝0时λ＝12 m，
当n＝1时λ＝eq \f(36,7) m，
当n＝2时λ＝eq \f(36,11) m，…
若波由b传到a，则a、b间距s＝(n＋eq \f(1,4))λ＝9 m(n＝0,1,2,3，…)，
解得λ＝eq \f(36,4n＋1) m(n＝0,1,2,3，…)，
当n＝0时λ＝36 m，当n＝1时λ＝eq \f(36,5) m，
当n＝2时λ＝4 m，…
可知A、C、D可能出现，不符合题意，B不可能出现，符合题意。
9．(多选)(2024·浙江台州市模拟)如图甲所示，S为与波源处于同一均匀介质中的点，其与两波源P1、P2的距离分别是7 m、9 m，P1、P2间距离为10 m，波源P1的振动图像如图乙所示；波源P2振动频率f＝5 Hz，其产生的简谐横波在t＝0.25 s时刻的图像如图丙所示(x＝2.5 m处为最前端)，已知P1、P2均在t＝0时刻开始振动，则( )
A．波源P2的起振方向沿y轴负方向
B．质点S为振动加强点
C．t＝1.1 s时质点S向y轴负方向运动
D．在t＝0.6 s时，SP1P2所在的平面内有2处波峰与波峰相遇
答案 BD
解析 结合波源P2在t＝0.25 s时波的图像可知，此时刚开始振动的x＝2.5 m处质点的起振方向沿y轴正方向，质点与波源的起振方向相同，因此波源P2的起振方向沿y轴正方向，A错误；
根据波源P1的振动图像可知，波源P1的起振方向向上，又因为S点到两波源的波程差为Δx＝|P1S－P2S|＝2 m，S点到两波源的波程差为波长的整数倍，且两波源的起振方向相同，所以质点S为振动加强点，故B正确；
在同一介质中，频率相同的两列机械波，波速相同，波长相等，由题图可知λ＝2.0 m，T＝0.2 s
则波速为v＝eq \f(λ,T)＝10 m/s
则P1波传到S点的时间为t1＝eq \f(SP1,v)＝0.7 s
当t＝1.1 s，S点已经振动了0.4 s，刚好为两个周期，因为S点为振动加强点，所以它的振动方向与波源P1的相同，所以它此时向y轴正方向运动，故C错误；
在t＝0.6 s时，波传至距离波源6 m处，由起振方向可知，波峰分别位于距离波源5.5 m、3.5 m和1.5 m处，以波源为圆心，波峰到波源的距离为半径作圆，如图
可知SP1P2所在的平面内有2处波峰与波峰相遇，故D正确。
10．(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
答案 (1)见解析图 (2)见解析
解析 (1)根据Δx＝vt得Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，
根据同侧法及两波的波长λ＝8 m可得波形图如图所示。
(2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差
Δx＝eq \f(2n＋1λ,2)(n＝0,1,2…)，
Δx＝|(x－0)－(10 m－x)|
解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有
x＝3 m、x＝7 m
振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2…)
解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有
x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
11．(2023·湖北卷·7)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x＝－eq \f(40,3) cm和x＝120 cm处。某时刻b质点的位移为y＝4 cm，且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为( )
答案 A
解析 a、b之间的距离为Δx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,3)＋120)) cm＝eq \f(4,3)λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为φ，则有4 cm＝8sin φ (cm)，解得φ＝eq \f(π,6)或φ＝eq \f(5π,6)(舍去，向下振动)，由a、b之间的距离关系可知φa－φ＝eq \f(\f(λ,3),λ)·2π＝eq \f(2,3)π，则φa＝eq \f(5,6)π，可知a点此时的位移为y＝8sin φa (cm)＝4 cm，且向下振动，故选A。“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
考点一 机械波的形成 波的图像
1．机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的波源。
②有传播介质，如空气、水等。
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
③介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
2．波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
(3)图像(如图)
3．波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
(2)频率f：等于波源的振动频率，由波源决定。
(3)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，与波长和频率无关。
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝eq \f(λ,T)＝λf。
1．在机械波传播过程中，介质中的质点沿着波的传播方向移动。( × )
2．机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。( √ )
3．机械波在一个周期内传播的距离是振幅的4倍。( × )
4．波速表示介质中质点振动的快慢。( × )
5．波长长的波传播速度较快。( × )
例1 (多选)(2024·安徽合肥市第一中学月考)位置坐标x＝0的波源S在t＝0时刻从平衡位置开始向下运动，形成沿x轴正、负两个方向传播的简谐横波，沿波传播方向上有间距均为1 m的9个质点，位置坐标如图所示。t＝0时刻各质点均处于平衡位置，经0.3 s，x＝1 m处的质点第一次具有正向(即竖直向上)最大速度，同时x＝3 m的质点开始振动，则下列说法正确的是( )
A．波速为10 m/s
B．x＝－3 m和x＝3 m的两质点振动步调完全一致
C．t＝0.6 s时，x＝4 m的质点具有负向最大速度
D．t＝0.5 s时，x＝－2.5 m的质点加速度正在减小
答案 AB
解析 设该波的波速为v，周期为T，根据题意可得eq \f(x3,v)＝0.3 s，eq \f(x1,v)＋eq \f(T,2)＝0.3 s，其中x1＝1 m，x3＝3 m，联立解得v＝10 m/s，T＝0.4 s，故A正确；由于该波源形成沿x轴正、负两个方向传播的简谐横波，则关于该波源对称的点的振动步调完全一致，故B正确；该波从波源传播到x＝4 m处所需的时间为t＝eq \f(x4,v)＝eq \f(4,10) s＝0.4 s，则可知0.4 s时x＝4 m处的质点才开始振动，且跟波源的起振方向相同，即从平衡位置开始向下振动，而0.2 s＝eq \f(T,2)，则可知t＝0.6 s时，x＝4 m的质点到达平衡位置，正向上振动，此刻该质点具有正向最大速度，故C错误；波传播到x＝－2.5 m处所用的时间为t1＝eq \f(x,v)＝eq \f(2.5,10) s＝0.25 s，则再经过0.25 s，x＝－2.5 m的质点正从平衡位置上方向正向最大位移处振动，而离平衡位置越远加速度越大，速度越小，即该质点的加速度正在增大，故D错误。
例2 (2023·广东汕头市模拟)在学习机械波相关知识后，两名同学分别乘坐静止在湖面的甲、乙两艘小船，两船间水平距离为20 m。某时刻，一列水波从甲船向乙船传播，每艘船在1 min时间内上下浮动30次，已知甲船在波峰时，乙船在波谷，两船间恰好还有2个波峰，以下说法正确的是( )
A．水波的周期为1 s
B．水波的波长为8 m
C．水波的波速为8 m/s
D．水波经过一段时间，甲、乙两船将靠近
答案 B
解析 船在1 min时间内上下浮动30次，故水波的周期为T＝eq \f(60,30) s＝2 s，A错误；当甲船位于波峰时，乙船位于波谷，这时两船之间还有两个波峰，故两船间水平距离为s＝(2＋eq \f(1,2))λ＝20 m，解得水波的波长为λ＝8 m，B正确；水波的波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8,2) m/s＝4 m/s，C错误；两船上下振动，不会随波迁移，经过一段时间，甲、乙两船不会靠近，D错误。
例3 (2023·北京市第八中学三模)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图所示。介质中x＝1 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm。则下列说法正确的是( )
A．该波的波长为4 m，振幅为20 cm
B．t＝0时，x＝2 m处的质点具有负向最大加速度
C．该波沿x轴负方向传播
D．这列波的波速为10 m/s
答案 D
解析 由波形图可直接得出该波的波长λ＝4 m，振幅A＝10 cm，故A错误；由波形图知，t＝0时，x＝2 m处的质点此刻在负向最大位移处，此处加速度指向平衡位置，为正向最大，故B错误；根据质点P沿y轴方向的振动情况，可知下一时刻，P质点将向y轴正方向振动，根据“同侧法”可知该波沿x轴正方向传播，故C错误；根据质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm，可得这列波的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,5π) s＝0.4 s，得波速v＝eq \f(λ,T)＝
eq \f(4,0.4) m/s＝10 m/s，故D正确。
波的传播方向与质点振动方向的互判
考点二 波传播的周期性和多解性问题
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。
2．造成波传播问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
例4 (2024·湖北省联考)一简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距
16 m的两质点，波先传到质点P。当波传到Q开始计时，P、Q两质点的振动图像如图所示，则( )
A．质点P沿y轴负方向开始振动
B．该波的波长可能为6 m
C．该波的传播速度可能为5 m/s
D．该波从P传到Q的时间可能为7 s
答案 B
解析 由振动图像可知，质点Q起振方向沿y轴正方向，由于各质点的起振方向与波源相同，故质点P开始振动的方向沿y轴正方向，A错误；从题图可以看出质点Q的振动图像向左平移4 s后与质点P的图像重合，故Q比P滞后4 s，振动周期为6 s，结合振动的周期性可知，该波从P传到Q的时间为Δt＝4 s＋nT＝(6n＋4) s(n＝0,1,2,3…)，可能为4 s，10 s,16 s等，不可能为7 s，D错误；该波的传播速度为v＝eq \f(Δx,Δt)，结合D解析中的数据可知，可能为4 m/s，1.6 m/s,1 m/s等，不可能为5 m/s，C错误；波长为λ＝vT，结合C解析中的数据可知，波长可能为24 m,9.6 m,6 m等，B正确。
解决波的多解问题的思路
1．机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的。机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多个值与之对应，即这三个物理量可分别表示为x＝nλ＋Δx，t＝kT＋Δt，v＝eq \f(x,t)＝eq \f(nλ＋Δx,kT＋Δt)(其中n＝0，1,2，…且k＝0,1,2，…)。
2．在解决波的多解问题时，一般先判断波的传播方向是否确定，若不确定，可采用假设法依次分析不同传播方向中的周期性问题。
考点三 波的图像和振动图像的综合应用
振动图像和波的图像的比较
例5 (2024·四川绵阳市零诊)如图(a)为一列简谐横波在t＝0.5 s时刻的波形图，介质中的两个质点P、Q此刻离开平衡位置的位移分别为0.5A、－0.5A；图(b)是质点Q的振动图像。正确的是( )
A．波沿＋x方向传播，0.5 s时刻P质点正在向＋y方向振动
B．波沿＋x方向传播，0.5 s时刻Q质点正在向＋y方向振动
C．波速为4 cm/s,0.5 s时刻质点P在减速、质点Q在加速
D．波速为4 cm/s，质点P、Q振动方向有时相同有时相反
答案 D
解析 由质点Q的振动图像可知0.5 s时刻Q质点正在向－y方向振动，在题图(a)中根据同侧法可以判断出波沿－x方向传播，故A、B错误；根据波的图像可得波长为λ＝24 cm，根据振动图像可得质点振动的周期即波传播的周期为T＝6 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝4 cm/s，根据同侧法可得0.5 s时刻P质点正在向平衡位置运动，在加速，而Q质点则正在向负向最大位移处运动，在减速，C错误；由于质点P、Q的平衡位置的距离不是半波长的整数倍，所以质点P、Q振动方向有时相同有时相反，D正确。
例6 (2023·山东潍坊市二模)如图甲所示，波源S发出一列水平向右传播的简谐横波先后经过P、Q两点，图乙为波源S的振动图像。已知S到P、Q两点的距离分别为SP＝4.2 m、SQ＝5.4 m。已知波在该介质中传播的速度为8 m/s，则在t＝1.0 s时，P、Q两点间的波形图正确的是( )
答案 C
解析 该列波的周期为T＝0.1 s
所以波长为λ＝vT＝0.8 m
波传到P、Q两点所需要的时间
tP＝eq \f(SP,v)＝eq \f(21,40) s，tQ＝eq \f(SQ,v)＝eq \f(27,40) s
t＝1.0 s时P、Q已振动时间为
ΔtP＝eq \f(19,40) s＝4eq \f(3,4)T，
ΔtQ＝eq \f(13,40) s＝3eq \f(1,4)T
由题图乙可知质点起振方向向上，所以此时P点处于波谷处，Q点处于波峰处。又P、Q两点间距离为1.2 m，可知PQ＝1eq \f(1,2)λ，故选C。
分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意：分清波的图像与哪一时刻对应，振动图像与哪一质点对应。
考点四 波的干涉、衍射 多普勒效应
1．波的叠加原理：在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉条件：频率相同、相位差恒定、振动方向相同。
3．发生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
说明：(1)障碍物或孔的尺寸大小并不是决定衍射是否发生的条件，仅是衍射现象是否明显的条件，一般情况下，波长越长越容易发生明显衍射。
(2)当孔的尺寸远小于波长时，尽管衍射十分突出，但由于衍射波的能量很弱，也很难观察到波的衍射现象。
4．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率增加，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
说明：在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间的距离发生变化，观察者接收到的频率发生了变化。
例7 (2023·广东卷·4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是( )
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
答案 B
解析 根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝eq \f(v,f)＝eq \f(1 500,1.5×106) m＝1×10－3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误。
例8 甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，甲波沿x轴正方向传播，乙波沿x轴负方向传播，t＝0时刻两列波恰好在坐标原点相遇，波形图如图所示，已知甲波的频率为4 Hz，则( )
A．两列波的传播速度均为4 m/s
B．两列波叠加后，x＝0处的质点振动减弱
C．两列波叠加后，x＝0.5 m处的质点振幅为30 cm
D．两列波叠加后，介质中振动加强和减弱区域的位置不变
答案 D
解析 甲波的频率为4 Hz，v＝λf＝2×4 m/s＝8 m/s，由于在同一介质中传播，所以波速相同，均为8 m/s，故A错误；由于甲、乙两波的波长相等，此时在x＝0处质点在平衡位置且两波引起的振动方向均向上，经过一段时间为峰峰相遇或谷谷相遇，两列波叠加后振动加强，故B错误；x＝0处的质点振动加强，x＝0.5 m处的质点振动减弱，振幅为10 cm，故C错误；两列稳定的波叠加后，形成稳定的振动图样，两列波在某一点引起质点的振动情况是稳定的，介质中振动加强和减弱区域的位置稳定不变，故D正确。
波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1．图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．公式法
波的干涉现象中，某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
(1)当两波源振动步调一致时。
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
(2)当两波源振动步调相反时。
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。
课时精练
训练1 机械波(一)
1．(2023·新课标卷·14)船上的人和水下的潜水员都能听见轮船的鸣笛声。声波在空气中和在水中传播时的( )
A．波速和波长均不同 B．频率和波速均不同
C．波长和周期均不同 D．周期和频率均不同
答案 A
解析 声波在不同介质中频率和周期都不变，波长和波速都发生改变，所以选项A正确，B、C、D错误。
2.(多选)如图所示，A、B两点为某简谐横波上的质点，已知波的传播方向由A到B，t＝0时刻该波刚好传到A点，且A点的振动方向竖直向上，经t0时间质点B刚好起振。已知波的传播周期为T、传播速度为v，则下列说法正确的是( )
A．振源位于A的左侧，且起振方向竖直向上
B．质点B振动后，其振动周期一定为T
C．质点B每次经过平衡位置的速度一定为v
D．质点B的起振方向与A、B两点之间的距离有关
答案 AB
解析 A的起振方向竖直向上，因此振源的起振方向竖直向上，由于波的传播方向由A到B，因此振源位于A的左侧，A正确；B的振动周期等于振源的振动周期，等于波的传播周期，则其振动周期一定为T，B正确；传播速度与质点的振动速度是两个不同的概念，质点B经过平衡位置的速度不一定为v，C错误；质点在振源的带动下做受迫振动，则质点B开始振动的方向与振源开始振动的方向相同，与A、B两点之间的距离无关，D错误。
3．(2023·北京卷·4)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t＝0时波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为y＝Asin(eq \f(2π,T)t)，则t＝T时的波形图为( )
答案 D
解析 由于t＝0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t＝T时波源处质点的位移和振动方向应与t＝0时相同，根据“上坡下，下坡上”可知t＝T时的波形图为选项D图，故选D。
4．(多选)(2023·重庆卷·9)一列简谐横波在介质中沿x轴传播，波速为2 m/s，t＝0时的波形图如图所示，P为该介质中的一质点。则( )
A．该波的波长为14 m
B．该波的周期为8 s
C．t＝0时质点P的加速度方向沿y轴负方向
D．0～2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m
答案 BD
解析 由题图可知eq \f(3,4)λ＝12 m，解得λ＝16 m，A错误；由v＝eq \f(λ,T)得T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(16,2) s＝8 s，B正确；简谐运动的加速度总指向平衡位置，t＝0时质点P位于y轴负半轴，加速度方向沿y轴正方向，C错误；t＝0时质点P位于y轴的负半轴，经过2 s＝eq \f(T,4)，若波向x轴负方向传播，P向远离平衡位置方向振动，在0～2 s内质点P运动的路程有可能小于0.1 m，D正确。
5．(多选)(2023·全国乙卷·34(1)改编)一列简谐横波沿x轴传播，图(a)是t＝0时刻的波形图；P是介质中位于x＝2 m处的质点，其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是( )
A．波速为2 m/s
B．波向左传播
C．x＝3 m处的质点在t＝7 s时位于平衡位置
D．质点P在0～7 s时间内运动的路程为70 cm
答案 ABD
解析 由题图(a)可知波长为4 m，由题图(b)可知波的周期为2 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(4,2) m/s＝2 m/s，故A正确；由题图(b)可知t＝0时，P点向下运动，根据“上下坡”法结合题图(a)可知波向左传播，故B正确；根据题图(a)可知t＝0时x＝3 m处的质点位于波谷处，由于t＝7 s＝3T＋eq \f(1,2)T，可知在t＝7 s时x＝3 m处的质点位于波峰处；质点P运动的路程为s＝3×4A＋eq \f(1,2)×4A＝70 cm，故C错误，D正确。
6．(2022·北京卷·6)在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a，t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝eq \f(3,4)T时的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝eq \f(3,4)T时，质点P4的速度最大
C．t＝eq \f(3,4)T时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为eq \f(8a,T)
答案 D
解析 由t＝eq \f(3,4)T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡”法，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，则t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，故A错误；由题图可知，在t＝eq \f(3,4)T时，质点P4处于正的最大位移处，速度为零，故B错误；由题图可知，在t＝eq \f(3,4)T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，故C错误；由题图可知eq \f(λ,4)＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8a,T)，故D正确。
7．(2023·海南卷·4)下面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是( )
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时P质点向上振动
D．4 s时Q质点向上振动
答案 C
解析 由两个质点的振动图像可知，该波的周期是4 s，A错误；4 s时，P质点向上振动，Q质点向下振动，C正确，D错误；两个质点振动步调相反，可知两质点间距离等于(2n＋eq \f(1,2))λ(n＝0,1,2，…)，只有当n＝0时，eq \f(1,2)λ＝6 m，λ＝12 m，v＝eq \f(λ,T)＝3 m/s，n≥1时，v≠3 m/s，B错误。
8．(多选)(2023·天津卷·7)一列机械波的波源是坐标轴原点，从t＝0时波源开始振动，t＝0.5 s时波形如图，则下列说法正确的有( )
A．在这种介质中波速v＝4 m/s
B．x＝1 m处质点在t＝0.3 s时位于波谷
C．波源振动方程y＝0.02sin (5πt＋π) m
D．x＝－1 m处质点半个周期内向左移动半个波长
答案 BC
解析 由题图可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波速为v＝eq \f(x,t)＝eq \f(2.5,0.5) m/s＝5 m/s，故A错误；由题图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(2,5) s＝0.4 s，波传播到x＝1 m处需要的时间t1＝eq \f(x1,v)＝eq \f(1,5) s＝0.2 s，由题图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s时，x＝1 m处的质点已振动了0.1 s，即eq \f(1,4)T，所以位于波谷，故B正确；根据题图可知该波源的振动方程为y＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)＝－0.02sin (5πt) m＝0.02sin (5πt＋π) m，故C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，故D错误。
9．战绳运动是一项超燃脂的运动。某次健身时，有两位健身者甲、乙分别抓住相同的战绳上下舞动形成向右传播的简谐波，如图(a)所示。某时刻开始计时，t＝0时两列波的图像如图(b)所示，P、Q曲线分别为甲、乙的一个绳波，O点为手握的绳子一端，向右为x轴正方向。已知绳波的速度为v＝15 m/s，试求解下列问题：
(1)甲、乙的绳端振动频率f甲和f乙分别为多少？
(2)写出乙健身者的绳中，平衡位置为6 m处质点从t＝0时刻开始的振动方程。
答案 (1)1.25 Hz 2.5 Hz
(2)y＝25sin(5πt＋π) cm
解析 (1)由题图(b)可知甲、乙的波长分别为λ甲＝12 m，λ乙＝6 m
甲、乙的周期分别为T甲＝eq \f(λ甲,v)＝eq \f(12,15) s＝eq \f(4,5) s
T乙＝eq \f(λ乙,v)＝eq \f(6,15) s＝eq \f(2,5) s，则甲、乙的绳端振动频率分别为f甲＝eq \f(1,T甲)＝1.25 Hz，f乙＝eq \f(1,T乙)＝2.5 Hz
(2)根据波形平移法可知，乙健身者的绳中，平衡位置为6 m处质点在t＝0时从平衡位置向y轴负方向振动，设其振动方程为y＝Asin(ωt＋φ0)
其中A＝25 cm
ω＝eq \f(2π,T乙)＝5π rad/s，φ0＝π
可得y＝25sin(5πt＋π) cm。
10．(2024·河南周口市联考)地震波既有纵波(P波)也有横波(S波)，纵波是推进波，横波是剪切波，地震波的纵波和横波频率相等。距离震源30 km的监测人员先感觉到上下颠簸，Δt＝3 s后感觉到左右摇晃，监测人员在左右摇晃时监测到了一列沿x轴负方向传播的地震横波。t1＝0时刻x轴上在0～4.5 km区间内的波形如图中实线所示，t2＝0.6 s时刻的波形如图中虚线所示，已知该地震横波的周期T＞0.5 s。求：
(1)该地震横波传播速度的大小；
(2)该地震纵波的波长。
答案 (1)3.75 km/s (2)4.8 km
解析 (1)由波形图可知地震横波的波长λS＝3 km
由题意可得t2－t1＝(n＋eq \f(3,4))T(n＝0,1,2，…)
又T>0.5 s，可得n＝0，即eq \f(3,4)T＝0.6 s
地震横波传播速度为vS＝eq \f(λS,T)
解得vS＝3.75 km/s
(2)由题意得Δt＝eq \f(x,vS)－eq \f(x,vP)，解得vP＝6 km/s
又vP＝eq \f(λP,T)，解得λP＝4.8 km。
11．(2024·辽宁省六校联考)如图所示，一列简谐横波沿x轴方向传播，在t1＝0时刻波形如图中的实线所示，且质点P的振动方向沿y轴负方向。t2＝2 s时刻的波形如图中虚线所示。
(1)求该列波的波长λ及可能的波速v；
(2)若该列波的周期T>2 s，t1＝0时刻质点M(图中未画出)的位移为2.5 cm，求从t1＝0时刻开始经12 s时间该质点经过的路程。
答案 (1)8 m (4n＋1) m/s(n＝0,1,2…)
(2)30 cm
解析 (1)由题图可知波长为λ＝8 m，在t1＝0时刻质点P的振动方向沿y轴负方向，根据同侧法可知波传播的方向沿x轴负方向，t2＝2 s时刻的波形如题图中虚线所示，
则有v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(nλ＋2,2) m/s(n＝0,1,2…)
联立可得v＝(4n＋1) m/s(n＝0,1,2…)
(2)由v＝eq \f(λ,T)可得T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(8,4n＋1) s(n＝0,1,2…)
由于T>2 s，则n＝0，解得T＝8 s
由于Δt＝12 s＝eq \f(3,2)T，则12 s内质点M经过的路程s＝6A＝6×5 cm＝30 cm。
训练2 机械波(二)
1．(多选)(2023·辽宁卷·8)“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力。下列现象的物理原理与之相同的是( )
A．插入水中的筷子，看起来折断了
B．阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C．驶近站台的火车，汽笛音调变高
D．振动音叉的周围，声音忽高忽低
答案 BD
解析 该现象属于波的叠加原理；插入水中的筷子看起来折断了是光的折射造成的，与该问题的物理原理不相符；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，是由于光从薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象，与该问题的物理原理不相符；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符，故选B、D。
2．(2023·山东青岛市二模)我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350 km/h的自动驾驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正。如图，一辆行驶的动车组发出一频率为f0、持续时间为Δt0的通信信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接收到信号的频率和持续时间分别为fA、ΔtA和fB、ΔtB，下列判断正确的是( )
A．fA>f0，ΔtA<Δt0 B．fA
C．fB>f0，ΔtB>Δt0 D．fB
解析 根据多普勒效应，远离波源的接收者接到的频率变小，靠近波源的接收者接收到的频率变大，则fA>f0，fB
3．(多选)(2023·湖南长沙市一模)如图所示，水平面内两个沿竖直方向振动的相干波源S1、S2发出的简谐横波在同一均匀介质中相遇，波长均为5 cm，波源S1的振幅为2 cm，S2的振幅为4 cm。图中实线表示某时刻波峰，虚线表示该时刻波谷，a、c、e三点均位于S1、S2连线的中垂线上，其中e点是a、c连线的中点，b、d、f三点为所在两个圆弧的交点。下列说法正确的是( )
A．图示时刻ac两点连线上的任意一点(不含a、c)均向下振动
B．b点的振幅为2 cm
C．图中b、d、f三点位于同一条双曲线上
D．图中e点的振幅为0，但是它是振动加强点
答案 ABC
解析 由题图可知，a点是波谷与波谷相遇的点，c点是波峰与波峰相遇的点，e是ac连线的中点，而该相干波源波长相同，能够形成稳定的干涉图样，因此e点在平衡位置，而ac连线上的点始终处于振动加强的状态，当两列波发生干涉，图示时刻ac两点连线上的任意一点(不含a、c)都是向下振动的，故A正确；
由题图可知，b点是波源S1的波峰与波源S2波谷相遇的点，设波源S1的振幅为A1，波源S2的振幅为A2，则b点的振幅为A＝A2－A1＝4 cm－2 cm＝2 cm，故B正确；
由题图可知b、d、f三点到两个波源的距离之差均为半波长，根据几何知识可得，满足该条件的曲线为双曲线，故C正确；
虽然图示时刻e点既不是波峰与波峰相遇处，也不是波谷与波谷相遇处，图示时刻其位移为0，但e点是振动加强点，振幅为6 cm，故D错误。
4．(2023·浙江6月选考·11)如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O。先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位。已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则( )
A．声波的波长λ＝15 cm
B．声波的波长λ＝30 cm
C．两声波的振幅之比为3∶1
D．两声波的振幅之比为2∶1
答案 C
解析 分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，根据题意设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10可得两声波的振幅之比，eq \f(A1,A2)＝eq \f(3,1)，故C正确，D错误；根据振动减弱的条件及由题意可得eq \f(λ,2)＝2d，解得λ＝60 cm，故A、B错误。
5．(2023·辽宁大连市二十四中模拟)如图甲所示，在xOy平面内有两个沿z方向做简谐运动的点波源S1(－2,0)和S2(4,0)。两波源的振动图像分别如图乙和图丙所示，两列波的波速均为0.50 m/s。0时刻两波源产生的波均已到达质点A(－2,8)和B(1,4)处，则( )
A．质点A位于振动加强区
B．质点A比质点B振动得快
C．0～4 s内，质点A的最小位移为－2 m
D．0～4 s内，质点B的最大位移为2 m
答案 D
解析 根据题意可知，两波传播到A点的路程差为Δs＝eq \r(62＋82) m－8 m＝2 m，两列波的波速均为v＝0.5 m/s，由题图可得 T＝4 s，所以波长为 λ＝vT＝0.5×4 m＝2 m，所以Δs＝λ，根据题图乙和题图丙可知，两列波的起振方向是反向的，所以质点A位于振动减弱区，故A错误；两波源的振动频率相等，则质点A与质点B振动快慢相同，故B错误；两波分别从波源传播到B点的路程差为0，B点为振动减弱点，B点的振幅为A＝A2－A1＝4 m－2 m＝2 m，0～4 s内，质点B的最大位移为2 m，故D正确；A点为振动减弱点，0～4 s内，质点A的最小位移为0，故C错误。
6．(2023·湖南卷·3)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是( )
A．这三列波的波速均为2 m/s
B．t＝2 s时，D处的质点开始振动
C．t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D．t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
答案 C
解析 由题图(b)的振动图像可知，振动的周期为4 s，故三列波的波速为v＝eq \f(λ,T)＝1 m/s，A错误；由题图(a)可知，与D处距离最近的波源是波源C，距离为3 m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时间为tC＝eq \f(DC,v)＝3 s，故t＝2 s时，D处的质点还未开始振动，B错误；由几何关系可知AD＝BD＝5 m，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为tAB＝eq \f(AD,v)＝5 s，故t＝4.5 s时，仅波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为t1＝t－tC＝1.5 s，由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；t＝6 s时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为t2＝t－tC＝3 s，由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷；t＝6 s时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时间为t3＝t－tAB＝1 s，由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是2 cm，D错误。
7.(多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
答案 AC
解析 由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，
振幅A＝20 cm，设原点处的质点的振动方程为
y＝Asin(eq \f(2π,T)t＋φ)，将(0,10 cm)代入，
有10 cm＝20sin φ (cm)，
解得φ＝eq \f(π,6)。在t＝7 s时刻，
y7＝20sin(eq \f(2π,12)×7＋eq \f(π,6)) cm＝－10eq \r(3) cm≈－17.3 cm
因7 s＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,12)T
由题可知在t＝7 s时刻质点在y轴负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为C所示；若波向左传播，则波形如A所示，故选A、C。
8.(2023·山东临沂市期中)一列简谐横波沿直线传播，该直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图像如图所示，则在A、B、C、D图中描述该波的图像不可能出现的是( )
答案 B
解析 t＝0时刻，a质点在波峰，b质点在平衡位置，且向下振动。若波由a传到b，
则a、b间距s＝(n＋eq \f(3,4))λ＝9 m(n＝0,1,2,3，…)，
解得λ＝eq \f(36,4n＋3) m(n＝0,1,2,3，…)，
当n＝0时λ＝12 m，
当n＝1时λ＝eq \f(36,7) m，
当n＝2时λ＝eq \f(36,11) m，…
若波由b传到a，则a、b间距s＝(n＋eq \f(1,4))λ＝9 m(n＝0,1,2,3，…)，
解得λ＝eq \f(36,4n＋1) m(n＝0,1,2,3，…)，
当n＝0时λ＝36 m，当n＝1时λ＝eq \f(36,5) m，
当n＝2时λ＝4 m，…
可知A、C、D可能出现，不符合题意，B不可能出现，符合题意。
9．(多选)(2024·浙江台州市模拟)如图甲所示，S为与波源处于同一均匀介质中的点，其与两波源P1、P2的距离分别是7 m、9 m，P1、P2间距离为10 m，波源P1的振动图像如图乙所示；波源P2振动频率f＝5 Hz，其产生的简谐横波在t＝0.25 s时刻的图像如图丙所示(x＝2.5 m处为最前端)，已知P1、P2均在t＝0时刻开始振动，则( )
A．波源P2的起振方向沿y轴负方向
B．质点S为振动加强点
C．t＝1.1 s时质点S向y轴负方向运动
D．在t＝0.6 s时，SP1P2所在的平面内有2处波峰与波峰相遇
答案 BD
解析 结合波源P2在t＝0.25 s时波的图像可知，此时刚开始振动的x＝2.5 m处质点的起振方向沿y轴正方向，质点与波源的起振方向相同，因此波源P2的起振方向沿y轴正方向，A错误；
根据波源P1的振动图像可知，波源P1的起振方向向上，又因为S点到两波源的波程差为Δx＝|P1S－P2S|＝2 m，S点到两波源的波程差为波长的整数倍，且两波源的起振方向相同，所以质点S为振动加强点，故B正确；
在同一介质中，频率相同的两列机械波，波速相同，波长相等，由题图可知λ＝2.0 m，T＝0.2 s
则波速为v＝eq \f(λ,T)＝10 m/s
则P1波传到S点的时间为t1＝eq \f(SP1,v)＝0.7 s
当t＝1.1 s，S点已经振动了0.4 s，刚好为两个周期，因为S点为振动加强点，所以它的振动方向与波源P1的相同，所以它此时向y轴正方向运动，故C错误；
在t＝0.6 s时，波传至距离波源6 m处，由起振方向可知，波峰分别位于距离波源5.5 m、3.5 m和1.5 m处，以波源为圆心，波峰到波源的距离为半径作圆，如图
可知SP1P2所在的平面内有2处波峰与波峰相遇，故D正确。
10．(2023·全国甲卷·34(2))分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同振幅均为5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
答案 (1)见解析图 (2)见解析
解析 (1)根据Δx＝vt得Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s时P波刚好传播到x＝10 m处，Q波刚好传播到x＝0处，
根据同侧法及两波的波长λ＝8 m可得波形图如图所示。
(2)根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的距离差
Δx＝eq \f(2n＋1λ,2)(n＝0,1,2…)，
Δx＝|(x－0)－(10 m－x)|
解得在图示范围内，振幅最大的平衡位置有
x＝3 m、x＝7 m
振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2…)
解得在图示范围内，振幅最小的平衡位置有
x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
11．(2023·湖北卷·7)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x＝－eq \f(40,3) cm和x＝120 cm处。某时刻b质点的位移为y＝4 cm，且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为( )
答案 A
解析 a、b之间的距离为Δx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,3)＋120)) cm＝eq \f(4,3)λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为φ，则有4 cm＝8sin φ (cm)，解得φ＝eq \f(π,6)或φ＝eq \f(5π,6)(舍去，向下振动)，由a、b之间的距离关系可知φa－φ＝eq \f(\f(λ,3),λ)·2π＝eq \f(2,3)π，则φa＝eq \f(5,6)π，可知a点此时的位移为y＝8sin φa (cm)＝4 cm，且向下振动，故选A。“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
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