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    word版 2023北京首都师大附中高二(下)期中试卷数学(答案在末尾 精品解析)

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    word版 2023北京首都师大附中高二(下)期中试卷数学(答案在末尾 精品解析)

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    这是一份word版 2023北京首都师大附中高二(下)期中试卷数学(答案在末尾 精品解析),共17页。
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 函数的导函数为( )
    A. B. C. D.
    2. 在等比数列中,已知,,则的值为( )
    A. B. 4C. D.
    3. 已知函数的导函数的图象如图所示,则的极小值点为( )
    A. 和B. C. D.
    4. 由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数是( )
    A. 24B. 12C. 10D. 6
    5. 若直线过原点,且与函数的图像相切,则该直线的斜率为( )
    A. 1B. C. D.
    6. 已知数列为等比数列,其前n项和为,,则“公比”是“对于任意,”的( )
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    7. 函数的图像大致是( )
    A. B.
    C. D.
    8. 若,则( )
    A. 40B. 41C. D.
    9. 首师大附中四月在园博园开展越野跑活动,沿途共设置3个“志愿服务站”.现有4名男同学和3名女同学,分配到这3个“志愿服务站”参加志愿活动,若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名,则不同的分配方案种数为( )
    A. 432种B. 216种C. 108种D. 72种
    10. 已知函数,,若成立,则n-m的最小值为( )
    A. B.
    C. D.
    第II卷(共110分)
    二、填空题共8小题,每小题5分,共40分.
    11. 在的展开式中,常数项为_____.
    12. 随机变量的分布列如下,若,则的值是_______.
    13. 已知为数列的前项和,满足,则的值为____________.
    14. 函数的导函数___________.
    15. 做一个无盖的圆柱形水桶,其体积是,则当圆柱底面圆半径__________时,用料最省.
    16. 将公差不为零的等差数列,,调整顺序后构成一个新的等比数列,,,其中,则该等比数列的公比为________.
    17. 若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为__________.
    18. 将数列中的所有项排成如下数阵:


    ……
    已知从第二行开始每一行比上一行多两项,第一列数,,,……,成等差数列,且,.从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列,则( )
    A. B. 位于第列C. D.
    三、解答题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
    19. 已知函数.
    (1)求函数在区间上的最值;
    (2)若直线是函数的一条切线,求的值.
    20. 已知等差数列的前n项和为,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若等比数列满足,且公比为q,从①;②;③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件,求数列的前n项和.
    21. 为调查A,B两种同类药物在临床应用中的疗效,药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间,经整理得到如下数据:
    假设用频率估计概率,且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.
    (1)若一名患者只服用药物A治疗,估计此人能在14天内康复的概率;
    (2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人,以X表示这2人中能在7天内康复的人数,求X的分布列和数学期望:
    (3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人,用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率,其中.当最大时,写出k的值.(只需写出结论)
    22. 已知函数.
    (1)若,请直接写出函数的零点的个数;
    (2)若,求证:函数存在极小值;
    (3)若对任意的实数,恒成立,求实数的取值范围.
    23. 对任意的非空数集,定义:,其中表示非空数集中所有元素的乘积,特别地,如果,规定.
    (1)若,请直接写出集合和中元素的个数.
    (2)若,其中是正整数,求集合中元素个数的最大值和最小值,并说明理由.
    (3)若,其中是正实数,求集合中元素个数的最小值,并说明理由.
    参考答案
    第I卷(共40分)
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 【答案】A
    【分析】根据复合函数求导公式求解即可.
    【详解】.
    故选:A
    2. 【答案】B
    【分析】利用等比中项性质列式求解
    【详解】等比数列中,.
    故选:B.
    3. 【答案】D
    【分析】根据导函数的图像,确定导函数取得正负的区间,得到原函数的单调性,从而可得选项.
    【详解】因为当,,所以单调递增;当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,故的极小值点为.
    故选:D.
    4. 【答案】C
    【分析】
    分个位数是0和个位数是5两类求解.
    【详解】当个位数是0时,有个,
    当个位数是5时,有个,
    所以能被5整除的个数是10,
    故选:C
    5. 【答案】B
    【分析】求导,由切点坐标可得切线斜率,由点斜式即可得切线方程,代入坐标原点即可求解,进而可求斜率.
    【详解】因为,所以,设切点为,所以 ,
    所以切线方程为,
    又切线过坐标原点,所以,解得,
    所以切线方程的斜率为.
    故选:B
    6. 【答案】A
    【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式,分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
    【详解】若,且公比,则,所以对于任意,成立,故充分性成立;
    若,且,则,
    所以由对于任意,,推不出,故必要性不成立;
    所以“公比”是“对于任意,”的充分不必要条件.
    故选:A
    7.【答案】B
    【分析】由函数有两个零点排除选项A,C;再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.
    【详解】由得,或,选项A,C不满足,即可排除A,C
    由求导得,
    当或时,,
    当时,,
    于是得在和上都单调递增,在上单调递减,
    所以在处取极大值,在处取极小值,D不满足,B满足.
    故选:B
    8. 【答案】B
    【分析】利用赋值法可求的值.
    【详解】令,则,
    令,则,
    故,
    故选:B.
    9. 【答案】B
    【分析】首先将4名男同学分配到3个志愿服务站,再将3名女同学分配到3个志愿服务站,即可得到答案.
    【详解】首先将4名男同学分配到3个志愿服务站共有种,
    将3名女同学分配到3个志愿服务站共有种,
    所以共有种.
    故选:B
    10. 【答案】A
    【分析】令,得到关于t的函数式,进而可得关于t的函数式,构造函数利用导数研究单调性并确定最值,即可求的最小值.
    【详解】令,则,,
    ∴,,即,
    若,则,
    ∴,有,
    当时,,单调递减;当时,,单调递增;
    ∴,即的最小值为.
    故选:A.
    【点睛】关键点睛:令确定关于t的函数式,构造函数并利用导数求函数的最小值.
    第II卷(共110分)
    二、填空题共8小题,每小题5分,共40分.
    11. 【答案】6
    【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.
    【详解】的展开式的通项公式为,令,则常数项为,
    故答案为:6.
    12. 【答案】
    【分析】由离散型随机变量分布列的性质,结合,可以求出,最后利用方差的计算公式求出的值.
    【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知中:,因为,所以有,联立(1)(2),可得:,
    所以.
    【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式,考查了数学运算能力.
    13. 【答案】8
    【分析】根据已知条件求得,从而求得.
    【详解】依题意,,,
    当时,,
    当时,由得,
    两式相减并化简得,
    所以数列从第二项起是公比为的等比数列,
    所以,
    所以.
    故答案为:
    14. 【答案】
    【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
    【详解】
    故答案为:
    15. 【答案】
    【分析】设圆柱的高为,半径为则由圆柱的体积公式可得,要使用料最省即求全面积的最小值,而,令,结合导数可判断函数的单调性,进而可求函数取得最小值时的半径
    【详解】解:设圆柱的高为,半径为,则由圆柱的体积公式可得
    所以
    所以
    令,,则,
    令解得,令可得,
    在上单调递减,在上单调递增,则在时取得极小值即最小值,
    即当时,圆柱的表面积(不包含上底面)最小,即用料最省;
    故答案为:
    16. 【答案】或
    【分析】设等差数列的公差为 ,分别利用,为等比中项得到公差与首项的等量关系,再运用定义求新数列的公比,即可求解.
    【详解】设等差数列的公差为,则,,
    则,,或,,不成等比数列;
    (1)若,,或,,成等比数列,则,即,
    解得,
    此时等比数列,,的公比为,等比数列,,的公比为;
    (2)若,,或,,成等比数列,则,即,
    解得,
    此时等比数列,,的公比为,等比数列,,的公比为.
    综上可得,等比数列的公比为或.
    故答案为:或.
    【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的定义,以及等比数列的通项公式的应用,其中解答中分别利用,为等比中项得到公差与首项的等量关系,再运用定义求新数列的公比是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
    17. 【答案】
    【分析】方法一:利用导数判断函数在上的单调性,确定零点位置,求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值,即可解出.
    【详解】[方法一]:【通性通法】单调性法
    求导得,
    当时,函数在区间内单调递增,且,所以函数在内无零点;
    当时,函数在区间内单调递减,在区间内单调递增.
    当时,;当时,.
    要使函数在区间内有且仅有一个零点,只需,解得.
    于是函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,,所以最大值与最小值之和为.
    故答案为:.
    [方法二]: 等价转化
    由条件知有唯一的正实根,于是.令,则,所以在区间内单调递减,在区间内单调递增,且,当时,;当时,.
    只需直线与的图像有一个交点,故,下同方法一.
    [方法三]:【最优解】三元基本不等式
    同方法二得,,当且仅当时取等号,
    要满足条件只需,下同方法一.
    [方法四]:等价转化
    由条件知有唯一的正实根,即方程有唯一的正实根,整理得,即函数与直线在第一象限内有唯一的交点.于是平移直线与曲线相切时,满足题意,如图.
    设切点,因为,于是,解得,
    下同方法一.
    【整体点评】方法一:利用导数得出函数在上的单调性,确定零点位置,求出参数,进而问题转化为闭区间上的最值问题,从而解出,是该类型题的通性通法;
    方法二:利用等价转化思想,函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点,从而求出参数,使问题得解;
    方法三:通过三元基本不等式确定取最值条件,从而求出参数,使问题得解,是该题的最优解;
    方法四:将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切,从而求出参数,使问题得解.
    18. 【答案】ACD
    【分析】根据题意,分析所给数阵的特点,计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式,可得A正确;
    通过计算可知位于数阵第行第列,故B错误;
    分析计算的表达式,比较可得C正确;
    位于数阵第行第个数,代入等比数列通项公式可得D正确.
    【详解】将等差数列,,,……,记为,则公差,所以,故A正确;
    第行的项数,第行的项数,,第行的项数,构成以为首项,为公差的等差数列,即第行有项,前行有项,
    因为,而,
    则位于第行从左边数第项,即位于第列,故B错误;
    因为,
    ,故C正确;
    ,所以D正确.
    故选:ACD.
    三、解答题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
    19. 【答案】(1),
    (2)或
    【分析】(1)求导函数,确定函数在闭区间上的单调性,即可确定函数的最值;
    (2)根据导数的几何意义确定函数的切点坐标即可得的值.
    【小问1详解】
    ∵,
    ∴当时,;当时,;
    ∴在,上单调递增,在上单调递减,
    又,,,,
    ∴,.
    【小问2详解】
    由(1)知:,令,解得:或3;
    当时,切点为,则切线方程为:,∴;
    当时,切点为,则切线方程为:,即,∴;
    综上所述:或.
    20. 【答案】(1);(2)答案见解析.
    【分析】(1)设等差数列的d,根据求和公式可得,又,即可得解;
    (2)根据为等差数列,为等比数列,则:
    ,分组求和即可得解.
    【详解】(1)设等差数列的公差为d,又因为,
    且,所以,故,
    所以;
    (2)由(1)可知,,又,所以.
    若选择条件①,可得,

    若选择条件②,可得,

    若选择条件③,可得,
    .
    【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算,考查了数列的分组求和法,有一定的计算量,属于中档题.
    21. 【答案】(1)
    (2)分布列见解析,数学期望为1
    (3)2
    【分析】(1)结合表格中数据求出概率;
    (2)先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率,得到X的可能取值及相应的概率,得到分布列和期望;
    (3)求出只服用药物A的患者中,14天内未康复的概率,利用独立性重复试验求概率公式得到,列出不等式组,求出,结合得到答案.
    【小问1详解】
    只服用药物A的人数为人,且能在14天内康复的人数有人,
    故一名患者只服用药物A治疗,估计此人能在14天内康复的概率为;
    【小问2详解】
    只服用药物A的患者7天内康复的概率为,
    只服用药物B的患者7天内康复的概率为,
    其中X的可能取值为,
    ,,

    则分布列为:
    数学期望为;
    【小问3详解】
    只服用药物A的患者中,14天内未康复的概率为,

    令,即,
    解得:,因为,所以.
    22. 【答案】(1)个
    (2)证明见解析 (3)
    【分析】(1)当时,直接解方程,可得结论;
    (2)求得,令,利用导数分析函数的单调性与极值,根据与的关系,可得出函数的单调性,由此可证得结论成立;
    (3)由参变量分离法可得对任意的恒成立,利用导数分析函数在上的单调性,求出函数在上的最小值,即可得出实数的取值范围.
    【小问1详解】
    解:当时,,令可得,解得,
    故当时,函数有且仅有一个零点.
    【小问2详解】
    证明:由,得.
    令,则.
    当时,,当时,,
    所以在区间上是减函数,在区间上是增函数.
    所以的最小值为.
    当时,,.
    又在单调递增,故存在,使得,
    当时,,则;当时,,则.
    所以,函数在上单调递减,在上单调递增,
    故函数存在极小值.
    【小问3详解】
    解:对任意的实数,,即,可得,
    令,其中,则,
    令,其中,则,
    所以,函数在上为增函数,故,
    故当时,,则函数在上为增函数,
    因此,,
    综上所述,实数的取值范围是.
    【点睛】结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
    (1),;
    (2),;
    (3),;
    (4),.
    23. 【答案】(1)有4个元素,有7个元素
    (2)个,11个
    (3)13,理由见解析
    【分析】(1)根据已知新定义结合条件求解即可.
    (2)根据已知新定义,分类讨论、列举结合条件进行求解.
    (3)根据已知新定义, 分类讨论、列举进行求解、证明.
    【小问1详解】
    因为,,
    所以有4个元素,有7个元素.
    【小问2详解】
    最大值:集合A的非空子集只有个,因此最多有31个元素.
    可能的构造如下:.这个集合的元素均为素数,中最大的元素为,
    则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同,从而由该数字的所有大于1的因子组成.
    最小值:不妨设,显然有,则

    则至少有11个元素.
    可能的构造如下:,等比数列即可.
    【小问3详解】
    中至少有13个元素,可能的构造如下:
    ,所以
    证明如下:
    考虑对集合A进行分类:,,,
    设,,,.
    设,再对集合B进行分类:
    ,,,
    设,,.分析,,与,,的关系:
    对集合中的元素:,则
    则①
    对集合中的元素:;②
    对集合中的元素:,则
    则③
    ①+②+③得到
    注意到:当时,
    当时,
    (均值不等式)
    从而元素个数至少为13.
    【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.
    -1
    0
    1
    康复时间
    只服用药物A
    只服用药物B
    7天内康复
    360人
    160人
    8至14天康复
    228人
    200人
    14天内未康复
    12人
    40人
    0
    1
    2

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