2023北京四中高二（下）期中试卷数学（答案在末尾 精品解析）

这是一份2023北京四中高二（下）期中试卷数学（答案在末尾 精品解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
卷（Ⅰ）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.）
1. 已知数列满足，且，那么（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
2. 函数的导数为（ ）
A. B. C. D.
3. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A. B.
C. D.
4. 函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. 2B. C. D. 1
5. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为4，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在等比数列中，，，则等于（ ）
A. 9B. 72C. 9或72D. 9或-72
7. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球和1个红球，乙袋中有2个红球和中1个白球，这6个球手感上不可区别.现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）.
A. B. C. D.
10. 已知常数，数列满足.现给出下列四个命题：
①当时，数列为递减数列；
②当时，数列为递减数列；
③当时，数列不一定有最大项；
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③④D. ②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 已知随机变量X的分布列如下：
则p＝___；D（X）＝___．
12. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为______.
13. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.
14. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的陦想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）如果是奇数，则将它乘3加1（即）.不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前既也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次岕现），则的所有不同值的个数为______.
15. 已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论：
①；②；③为等差数列；④.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）
16. 在等差数列{}中，
（1）求{}的通项公式；
（2）若是公比为2的等比数列，，求数列{}的前n项和．
17. 某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意情况，对20名学生进行问卷计分调查（满分100分），得到如图所示的茎叶图：
（1）计算男生打分的平均分.再观蔡茎叶图，设女生分数的方差为，男生分数的方差为，直接指出与的大小关系（结论不需要证明）；
（2）从这20多学生中打分在80分以上的同学中随机抽取3人，求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.
卷（Ⅱ）
四、解答题（本题共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）
18. 已知函数.
（1）求函数在区间上的平均变化率；
（2）设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；
（3）求过点且与曲线相切的直线方程.
19. 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）
（1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区青年人中随机选取3人，以频率估计概率，记这3人中对酸奶满意的人数为，求的分布列与期望；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果）
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.
20. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求使不等式成立的最小正整数的值.
21. 数列满足：.记的前项和为，并规定.定义集合.
（1）对数列：，0.7，，0.9，0.1，求集合；
（2）若集合，证明：.
（3）给定正整数，对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值.
参考答案
卷（Ⅰ）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.）
1. 【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的基本量，即可求解.
【详解】由题意，得，得数列是等差数列，公差，
.
故选：C
2. 【答案】B
【解析】
【分析】由常用函数的导数公式和导数的运算法则即可得答案.
【详解】，
故选：B.
3. 【答案】B
【解析】
【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
4. 【答案】B
【解析】
【分析】
函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解
【详解】，
所以函数在处的瞬时变化率为
故选：B
【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题.
5. 【答案】C
【解析】
【分析】用列举法写出事件所含的基本事件，同时可得事件含有的基本事件，从而可得概率．
【详解】由题意，共9个基本事件，
其中和为4的只有和两个事件，
所以．
故选：C．
6. 【答案】D
【解析】
【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，解得或，故或，
故选：D.
7. 【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率及古典概率的计算公式，结合全概率公式即可求解.
【详解】设“从甲袋放入乙袋的是白球”， “从甲袋放入乙袋的是红球” “从乙袋中任取一球是红球”，则
.
故选：B.
8. 【答案】D
【解析】
【分析】通过举反例可以判断得结论.
【详解】当时，数列不一定是递增数列，
例如, , ；
当数列为递增数列时，也不一定成立，例如，此时单调递增，
所以“”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.
【详解】解：平均融化速度为，反映的是图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，
故选：C．
【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.
10. 【答案】D
【解析】
【分析】由于，再根据的范围讨论即可判断对错.
【详解】对于①：当时，，，所以数列不是递减数列，所以①不正确；
对于②：当时，，
所以.所以数列为递减数列，故②正确；
对于③：当时，
因为，当时，，，
，
所以数列有最大项，故③不正确；
对于④：，当为正整数时，.
当时，；当时，令，
解得，，
若，则，数列单调递增；
若，则，数列单调递减；
若，；
所以数列必有两项相等的最大项，故④正确.
故选：D
【点睛】关键点睛：由，再根据的范围进行分类讨论，得到数列的单调性.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】利用随机变量分布列的性质知，求得；利用期望和方差的公式求得；
【详解】根据随机变量分布列的性质，知，所以，
，；
故答案为：；.
12. 【答案】##
【解析】
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.
【详解】若两人都没有投进，概率,
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率.
故答案为：
13. 【答案】0.6
【解析】
【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.
【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，
所以，
所以或．
由，得，
即，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．
14. 【答案】6
【解析】
【分析】根据科拉茨的猜想从反推的所有可能取值，列表展示.
【详解】如果正整数按照上述规则施行变换后第八项为1，
则变换中的第7项一定为2，
变换中的第6项一定为4，
变换中的第5项可能为1，也可能是8，
变换中的第4项可能是2，也可能是16，
变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16，
变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或10，变换中的第1项是128或21或20或3，
如图得到的反推结果：
故答案为：6
15. 【答案】①③④
【解析】
【分析】根据关系式，当时，即可求得的值；由得，当时，可得，可证明为等差数列，即可求得，则可求得，则可判断其他选项.
【详解】因为，所以当时，，解得或，
又，所以，故，故①正确；
因为，可得，所以，当时，，
所以，
是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，故④正确；
所以，则，所以为等差数列，故③正确；
当时，，又不符合
所以，故②不正确.
故答案为：①③④.
三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）
16. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解.
【小问1详解】
解：设公差为，
则，解得，
则，所以，
所以；
【小问2详解】
解：，
因为是公比为2的等比数列，
所以，
所以，
所以
.
17. 【答案】（1）平均分为69；
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）结合茎叶图计算可得男生打的平均分为69；观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散，故.
（2）由题意可得的可能取值为1，2，3，结合超几何概型的概率公式即可求得分布列，然后计算可得数学期望.
【小问1详解】
解：男生打的平均分为：
，
观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散，故.
【小问2详解】
因为打分在80分以上的有3女2男，
所以的可能取值为1，2，3，
，，，
所以的分布列为：
.
卷（Ⅱ）
四、解答题（本题共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.）
18. 【答案】（1）2 （2）1
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平均变化率公式，即可求解；
（2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解；
（3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程.
【小问1详解】
函数在区间上的平均变化率为；
【小问2详解】
，，，
，，，
由题意可知，，得；
【小问3详解】
，设切点为，，
则曲线在点处的切线方程为，切线过点，
则，化简为，
即，则，
得或，
当时，切线方程为，
当时，切线方程为，
综上可知，切线方程为或.
19. 【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望
（3）青年人
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，计算满意的概率；
（2）由条件可知，，根据二项分布，求分布列和数学期望；
（3）根据表格数据，结合每类人对鲜奶的满意度，即可作出判断.
【小问1详解】
设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为，
样本总人数为500人，其中对酸奶满意人数为人，
所以；
【小问2详解】
用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率，
的取值为，，
，，
，，
所以的分布列为
的数学期望是.
【小问3详解】
青年人
青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高0.1，则人数提高最多，则整体对鲜奶的满意度会大幅提高.
20. 【答案】（1），
（2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）根据求出，为公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求出答案；
（2）利用错位相减法求和得到答案；
（3）在（2）的基础上，解不等式结合单调性得到答案.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
经检验，，满足，
综上：，
故，
因为①，当时，②，
两式相减得，即，
中，令得，，
故为公比为2的等比数列，首项为1，
所以，
【小问2详解】
，
则，
两式相减得，
故；
【小问3详解】
，
因为当时，，又单调递增，
故在单调递增，
又，又，
解得，
故最小正整数的值为8.
21. 【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)直接利用信息求出结果；
(2)根据所给的条件和关系式求出结果；
(3)利用(2)的结论，进一步求出关系，即集合的最小值.
【小问1详解】
因为，
，
所以.
【小问2详解】
由集合的定义知，
且是使得成立的最小的，
由于，
所以，即.
【小问3详解】
因为，所以非空.
设集合，不妨设，
则由（2）可知，，
同理，且，
所以
.
因为，所以的元素个数.
取常数数列：，
并令，
则，适合题意，
且，其元素个数恰为.
综上，的元素个数的最小值为.
X
0
1
2
P
0.4
p
0.4
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
120
120
100
150
120
不满意
50
30
30
50
50
80
2
1
2
3
0
1
2
3