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初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.6 圆内接四边形随堂练习题
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这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册第3章 圆的基本性质3.6 圆内接四边形随堂练习题，共14页。
考点一： 已知圆内接四边形求角度
例1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC=115°，则∠CAE的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
变式1-1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A．64°B．61°C．62°D．60°
变式1-2．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径，若∠BAC=130∘，则∠COD的度数为（ ）
A．100∘B．80∘C．60∘D．50∘
考点二：求四边形外接圆的直径
例2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（ ）
A．2B．4C．2D．22
变式2-1．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为0,4，点 M是第三象限内圆上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．4B．5C．63D．2
变式2-2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
考点三：已知正多边形的中心角求边数
例3．正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
变式3-1．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
变式3-2．如图，AC是⊙O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O内接正八边形的一边．此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
考点四：求正多边形的中心角
例4．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60°B．72°C．30°D．45°
变式4-1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在⊙O上连接BE,CE，若∠ABE=18°，则∠BEC−∠DCE=（ ）
A．16°B．17°C．18°D．20°
变式4-2．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜上的的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
考点五：正多边形与圆综合
例5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是⊙O上的一个动点，当F沿着B→A→E→D→C的路径在圆上运动的过程中（不包括B，C两点），∠BFC的度数是（ ）
A．36°B．72°C．54°D．不确定
变式5-1．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形ABCDEF的周长是183cm，则这个正六边形的外接圆半径是（ ）
A．3cmB．23cmC．33cmD．6cm
变式5-2．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
参考答案
考点一： 已知圆内接四边形求角度
例1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC=115°，则∠CAE的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【详解】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC=115°，
∴∠B=180°−115°=65°，
∵AC=AC
∴∠AEC=∠B=65°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE=90°−65°=25°，
故选：B．
变式1-1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A．64°B．61°C．62°D．60°
【答案】C
【详解】∵∠BOD=124°，
∴∠A=12∠BOD=12×124°=62°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A=62°．
故选：C．
变式1-2．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径，若∠BAC=130∘，则∠COD的度数为（ ）
A．100∘B．80∘C．60∘D．50∘
【答案】B
【详解】连接OC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠D=180°，
∴∠D=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠DBC=40°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠DBC=40°，
∴∠COD=80°，
故选：B．
考点二：求四边形外接圆的直径
例2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（ ）
A．2B．4C．2D．22
【答案】D
【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．
∵正方形的边长为2，
∴正方形的对角线长为22，
∴外接圆直径为22．
故选：D．
变式2-1．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为0,4，点 M是第三象限内圆上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．4B．5C．63D．2
【答案】A
【详解】解：∵O、A、B、M都在圆上，∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°−∠BMO=60°，
∵∠BOA=90°，
∴AB是⊙C的直径，∠ABO=30°，
∵A0,4，
∴OA=4，
∴AB=2OA=8，
∴⊙C的半径为4，
故选：A．
变式2-2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【答案】41π
【详解】解：如图，连接AO，并延长交圆O于点E，连接EB，EC．
则AB⊥BE，AC⊥CE．
∵AC⊥BD，
∴BD//EC，
∴CD=BE
∴BE=CD，
∵CD=8
∴EB=CD=8．
在Rt△ABE中，AB=10，EB=8
所以，由勾股定理得，AE=AB2+BE2=102+82=241
∴OA=12AE=41．
所以圆O的面积为π×OA2=41π．
考点三：已知正多边形的中心角求边数
例3．正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【详解】解：∵正多边形的中心角为45°，
∴这个多边形的边数是360°÷45°=8，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
变式3-1．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【详解】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10，
故选：D．
变式3-2．如图，AC是⊙O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O内接正八边形的一边．此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】D
【详解】解：连接OB，
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC=360°÷8=45°
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=60°−45°=15°
∴n=360°÷15°=24
故选：D．
考点四：求正多边形的中心角
例4．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60°B．72°C．30°D．45°
【答案】D
【详解】解：根据题意，得n−2×180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个正n边形的中心角为360°8=45°，
故选：D．
变式4-1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在⊙O上连接BE,CE，若∠ABE=18°，则∠BEC−∠DCE=（ ）
A．16°B．17°C．18°D．20°
【答案】C
【详解】解：连接OA,OD,OB,OC,OE，则：∠BEC=12∠BOC,∠ABE=12∠AOE,∠ECD=12∠DOE,
∴∠ABE+∠ECD=12∠AOD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD=∠BOC=360°4=90°，
∴∠BEC=45°,∠ABE+∠ECD=12∠AOD=45°=∠BEC，
∴∠BEC−∠DCE=∠ABE=18°；
故选C．
变式4-2．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜上的的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
【答案】B
【详解】解：∵ ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴ ∠COD=360°5=72°，
∵CD=CD，
∴∠CPD=12∠COD=36°，
故选：B．
考点五：正多边形与圆综合
例5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是⊙O上的一个动点，当F沿着B→A→E→D→C的路径在圆上运动的过程中（不包括B，C两点），∠BFC的度数是（ ）
A．36°B．72°C．54°D．不确定
【答案】A
【详解】解：连接OB,OC，
依题意，∠BOC=360°5=72°
∵BC=BC，
∴∠BFC=12∠BOC=36°
故选：A．
变式5-1．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形ABCDEF的周长是183cm，则这个正六边形的外接圆半径是（ ）
A．3cmB．23cmC．33cmD．6cm
【答案】C
【详解】解：连接BE，AD相交于点O，
由正多边形性质可知∠AOB=360°6=60°，AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长是183cm，
∴AB=183÷6=33cm，
∴OA=OB=AB=33cm．
∴这个正六边形的外接圆半径是33cm．
故选：C．
变式5-2．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【详解】解：如图：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵拼成的四边形的面积为2，
∴每一个三角形的面积为1，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴原正六边形纸片的面积为6．
故选B．
考点一： 已知圆内接四边形求角度
例1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC=115°，则∠CAE的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
变式1-1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A．64°B．61°C．62°D．60°
变式1-2．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径，若∠BAC=130∘，则∠COD的度数为（ ）
A．100∘B．80∘C．60∘D．50∘
考点二：求四边形外接圆的直径
例2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（ ）
A．2B．4C．2D．22
变式2-1．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为0,4，点 M是第三象限内圆上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．4B．5C．63D．2
变式2-2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
考点三：已知正多边形的中心角求边数
例3．正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
变式3-1．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
变式3-2．如图，AC是⊙O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O内接正八边形的一边．此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
考点四：求正多边形的中心角
例4．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60°B．72°C．30°D．45°
变式4-1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在⊙O上连接BE,CE，若∠ABE=18°，则∠BEC−∠DCE=（ ）
A．16°B．17°C．18°D．20°
变式4-2．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜上的的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
考点五：正多边形与圆综合
例5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是⊙O上的一个动点，当F沿着B→A→E→D→C的路径在圆上运动的过程中（不包括B，C两点），∠BFC的度数是（ ）
A．36°B．72°C．54°D．不确定
变式5-1．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形ABCDEF的周长是183cm，则这个正六边形的外接圆半径是（ ）
A．3cmB．23cmC．33cmD．6cm
变式5-2．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
参考答案
考点一： 已知圆内接四边形求角度
例1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE是⊙O的直径，连接AC．若∠ADC=115°，则∠CAE的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【详解】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC=115°，
∴∠B=180°−115°=65°，
∵AC=AC
∴∠AEC=∠B=65°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE=90°−65°=25°，
故选：B．
变式1-1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A．64°B．61°C．62°D．60°
【答案】C
【详解】∵∠BOD=124°，
∴∠A=12∠BOD=12×124°=62°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A=62°．
故选：C．
变式1-2．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径，若∠BAC=130∘，则∠COD的度数为（ ）
A．100∘B．80∘C．60∘D．50∘
【答案】B
【详解】连接OC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠D=180°，
∴∠D=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠DBC=40°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠DBC=40°，
∴∠COD=80°，
故选：B．
考点二：求四边形外接圆的直径
例2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（ ）
A．2B．4C．2D．22
【答案】D
【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．
∵正方形的边长为2，
∴正方形的对角线长为22，
∴外接圆直径为22．
故选：D．
变式2-1．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为0,4，点 M是第三象限内圆上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．4B．5C．63D．2
【答案】A
【详解】解：∵O、A、B、M都在圆上，∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°−∠BMO=60°，
∵∠BOA=90°，
∴AB是⊙C的直径，∠ABO=30°，
∵A0,4，
∴OA=4，
∴AB=2OA=8，
∴⊙C的半径为4，
故选：A．
变式2-2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【答案】41π
【详解】解：如图，连接AO，并延长交圆O于点E，连接EB，EC．
则AB⊥BE，AC⊥CE．
∵AC⊥BD，
∴BD//EC，
∴CD=BE
∴BE=CD，
∵CD=8
∴EB=CD=8．
在Rt△ABE中，AB=10，EB=8
所以，由勾股定理得，AE=AB2+BE2=102+82=241
∴OA=12AE=41．
所以圆O的面积为π×OA2=41π．
考点三：已知正多边形的中心角求边数
例3．正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【详解】解：∵正多边形的中心角为45°，
∴这个多边形的边数是360°÷45°=8，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
变式3-1．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【详解】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10，
故选：D．
变式3-2．如图，AC是⊙O内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O内接正八边形的一边．此时AB是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】D
【详解】解：连接OB，
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC=360°÷8=45°
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=60°−45°=15°
∴n=360°÷15°=24
故选：D．
考点四：求正多边形的中心角
例4．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60°B．72°C．30°D．45°
【答案】D
【详解】解：根据题意，得n−2×180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个正n边形的中心角为360°8=45°，
故选：D．
变式4-1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在⊙O上连接BE,CE，若∠ABE=18°，则∠BEC−∠DCE=（ ）
A．16°B．17°C．18°D．20°
【答案】C
【详解】解：连接OA,OD,OB,OC,OE，则：∠BEC=12∠BOC,∠ABE=12∠AOE,∠ECD=12∠DOE,
∴∠ABE+∠ECD=12∠AOD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD=∠BOC=360°4=90°，
∴∠BEC=45°,∠ABE+∠ECD=12∠AOD=45°=∠BEC，
∴∠BEC−∠DCE=∠ABE=18°；
故选C．
变式4-2．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE⏜上的的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
【答案】B
【详解】解：∵ ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴ ∠COD=360°5=72°，
∵CD=CD，
∴∠CPD=12∠COD=36°，
故选：B．
考点五：正多边形与圆综合
例5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是⊙O上的一个动点，当F沿着B→A→E→D→C的路径在圆上运动的过程中（不包括B，C两点），∠BFC的度数是（ ）
A．36°B．72°C．54°D．不确定
【答案】A
【详解】解：连接OB,OC，
依题意，∠BOC=360°5=72°
∵BC=BC，
∴∠BFC=12∠BOC=36°
故选：A．
变式5-1．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形ABCDEF的周长是183cm，则这个正六边形的外接圆半径是（ ）
A．3cmB．23cmC．33cmD．6cm
【答案】C
【详解】解：连接BE，AD相交于点O，
由正多边形性质可知∠AOB=360°6=60°，AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长是183cm，
∴AB=183÷6=33cm，
∴OA=OB=AB=33cm．
∴这个正六边形的外接圆半径是33cm．
故选：C．
变式5-2．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【详解】解：如图：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵拼成的四边形的面积为2，
∴每一个三角形的面积为1，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴原正六边形纸片的面积为6．
故选B．
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