湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

数学
考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 已知是虚数单位，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则和虚部的概念求解即可.
【详解】由题意得，，虚部为.
故选：C
2. 对于①，②，③，④．⑤，⑥，则为第三象限角的充要条件为（ ）
A. ①③B. ④⑥C. ②③D. ②⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数值的正负性，结合充要条件的性质逐一判断即可.
【详解】A：因，，所以为第一象限角，因此不符合题意；
B：因为，，所以为第二象限角，因此不符合题意；
C：因为，，所以为第四象限角，因此不符合题意；
D：因为，，所以为第三象限角，
显然当为第三象限角时，，成立，
故选：D
3. 若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由余弦的二倍角公式化简求得，再运用同角三角函数间的关系可得选项．
【详解】由已知可得，∴，，∴，即，
故选：B.
【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和同角三角函数间的关系，属于基础题．
4. 表示的小数部分，则的值是
A. -1B. -2C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】对进行分母有理化得，通过对值的估算，得到的范围，进而得到的取值，再代入对数式求值.
【详解】因为，而，则，
所以，
所以.
故选A.
【点睛】本题考查用逼近法估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，考查对数式的运算求值.
5. 函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意，,所以，令，则
，即向右平移可以得到.
考点：正弦型函数解析式 函数图像平移变换
点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.
6. 已知函数，是公差不为0的等差数列，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】，函数关于中心对称，构造函数，关于中心对称，利用等差数列性质即可寻找其零点，即可求解.
【详解】，
，
所以函数关于中心对称，
其导函数，
可得是单调增函数，
构造函数，关于中心对称，且单调递增，
有唯一零点，
将变形为，
即，
是公差不为0的等差数列，则一定是单调数列，不妨考虑：
，根据等差数列性质，
即与轴的交点，所以，所以.
故选：C
【点睛】此题考查函数对称性与零点问题，关键在于弄清已知函数的单调性对称性和零点，需要掌握三次函数的基本性质，例如此题考到三次函数必有对称中心，根据函数图象的中心对称关系求值.
7. 在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理，可求得，即角或，分类讨论， 由，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】因为与互补，，且四点共圆.
所以，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，所以，
得，所以或.
设四边形的外接圆半径为，则，解得.
（1）设.
当，则，故，此时，且，在中，，所以，即.
所以四边形面积，当且仅当时，四边形面积取得最大值为
（2）当，则，故，所以.因为，所以，则在中由余弦定理得，
所以，即.所以，
此时，四边形面积.
综上，四边形面积的最大值等于，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题.
8. 在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，可证为所求线面角，设，用表示出求最值.
【详解】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，
由，则，又，则，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，则，
又平面，平面，，则平面．
又，故与面所成角与与面所成角相等，所以为所求线面角，
设，则，
，
故 ，
令，则，
因为，所以，当且仅当时取等号．
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：已知斜线AB与平面交于点B，则直线AB与平面所成角的作法：
（1）直接法作线面角：即定义法，过A作面垂线，垂足为，根据线面角的定义得为直线AB与平面所成角.
（2）借助于面面垂直作线面角：过A点作平面的垂面，过A点作两面交线的垂线，垂足为，则为直线AB与平面所成角.
二、多选题（共18分）
9. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式可知ACD正确，举特值可知B错误.
【详解】由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，选项A成立；
取，则，此时，选项B错误；
由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，选项C成立；
，当且仅当时等号成立，选项D成立；
故选：ACD.
10. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，在表达式中令结合已知即可验证；对于B，在表达式中令结合A选项分析即可验证；对于C，在表达式中令结合已知即可验证；对于D，结合B、C选项的分析即可验证.
【详解】对于A，在中令，可得，
又，所以，故A选项正确；
对于B，在中令，可得，
又由A选项分析可知，所以，
所以，由实数具有任意性，所以，故B选项正确；
对于C，中令，结合，
故可得，所以，
由于实数具有任意性，所以，故C选项正确；
对于D，由C选项分析可知，而由B选项分析可知，
所以，故D选项错误.
故选：ABC.
11. 设函数，已知在[0,2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是（ ）
A. 在有且仅有3个极大值点
B. 在有且仅有2个极小值点
C. 的取值范围是[,）
D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】当时求出整体的范围，结合的图象求出的范围，然后再结合的图象判断A、B选项是否正确．
对于D：当时，结合的范围判断整体是否在正弦函数的增区间内.
【详解】
因为，则，有4个零点，
则，，故C对；
有两个极小值点，2个或3个 极大值点，故A错，B对；
对于D：当时，，，
∴在上单调递增，故D对，
故选：BCD
三、填空题（共15分）
12. 若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为函数与的图象的有两个交点的问题，结合函数图象求解即可.
【详解】解：令，得，由题意可知函数与的图象有两个交点，结合函数图象（如图），可知，.
故答案：．
【点睛】本题考查函数的零点问题，方法是数形结合法，把零点个数转化为函数图象与直线交点个数，本题属于中档题．
13. 在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】取BC的中点H，连接AH，DH，则可得为二面角的平面角，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OA，OD，然后在中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.
【详解】如图，取BC的中点H，连接AH，DH，
由题意，，，
所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，
又是边长为2的等边三角形，所以，
过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，
设球的半径为R，连接OA，OD，可得，
在中，，
利用余弦定理可得，
所以，
解得R2＝，所以其外接球的表面积为.
故答案为：.
14. 设函数的最大值为，最小值为，那么________
【答案】4021
【解析】
【分析】先把函数变形为,判断函数的单调性,根据函数在定义域上为增函数以及函数的定义域就可求出函数的最大值与最小值,进而求出最大值与最小值之和.
【详解】函数
在上为增函数,在上为减函数
在上为增函数,
而在上也为增函数
在上为增函数
，
故答案为 4021
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最大值与最小值,关键是把函数化简成可以判断单调性的形式.
四、解答题（共77分）
15. 某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.
（1）求样本容量和频率分布直方图中，的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，求抽到的2名学生成绩均在的概率（将样本频率视为概率）.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图和茎叶图中的数据即可求出;
（2）由古典概型列出事件的所有情况即可求得概率.
【小问1详解】
由直方图可知，分数在中的频率为，
根据茎叶图可知，分数在中的频数为3，所以样本容量，
根据茎叶图可知，分数在中的频数为1，
所以分数在中的频率为，
所以，所以，
由，得，
综上所述：，，．
【小问2详解】
由题意，本次竞赛成绩样本中分数在中的学生有名，
分数在中的学生有名．
抽取分数在中的学生有名，
抽取分数在中的学生有名．
设成绩在分的学生为，，成绩在的学生为，，．
从成绩在80分以上的学生中随机抽取两名学生，
共有，，，，，，，，，共10种情况，
其中2名同学均在共有，，共3种情况，
设抽到的2名学生成绩均在为事件，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).
【解析】
【分析】(1)取AD中点N，连接MN，CN，推证平面CMN与平面BPA平行而得；
(2)由于M是PD中点，点P，D到平面ACM等距离，利用等体积法转化求得；
(3)作出二面角M-AC-D的平面角，由直角三角形求解而得.
【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取AD中点N，连接MN，CN，如图，
因M是PD中点，则MN//PA，MN平面PAB，所以MN//平面PAB，
由已知得BC//AN且BC=AN，则ABCN为平行四边形，
则CN//AB，CN平面PAB，所以CN//平面PAB，
而平面CMN，MN平面CMN，
平面CMN//平面PAB，又CM平面CMN，
CM//平面PAB；
(2)由(1)知MN//PA，，而PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，
而AB⊥BC，则是矩形，CN⊥AD，
平面ACM经过线段PD的中点，则点P，D到平面ACM距离相等，CN=AB=1，
；
(3)取AC中点O，连ON，OM，因CN=AN=1，CN⊥AN，则ON⊥AC，
由(2)知MN⊥AC，所以AC⊥平面OMN，AC⊥OM，
∠MON是二面角M-AC-D的平面角，
中，MN⊥ON，MN=1，ON=，则，
.
【点睛】(1)三棱锥体积，可以利用等体积法转化求解；
(2) 求二面角大小的方法，一是作出二面角的平面角解决，二是用空间向量方法解决.
17. 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为人，每位员工的培训费为元，培训机构的利润为元.
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；
（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．
详解：（1）依题意得，当时，；
当时，.
.
（2）当时，,
x=30时, 取得最大值.
当时,
,
,
当或时, 取得最大值.
因为，
当公司参加培训的员工人数为或时，
培训机构可获得最大利润元.
点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．
18. 在中，分别是所对的边，,，三角形的面积为，
（1）求的大小；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】(1)根据已知可求得，化简可求C；(2)，求得，再根据余弦定理，利用，解得的值.
【小问1详解】
,
【小问2详解】
由，得
又
解得
19. 如图，一个角形海湾，（常数为锐角）.拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
图1 图2
方案一：如图1，围成扇形养殖区，其中；
方案二：如图2，围成三角形养殖区，其中．
现给定数据如下：，
（1）求方案一中养殖区的面积；
（2）求方案二中养殖区的最大面积；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）应选择方案一，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由扇形面积公式计算出扇形面积；
（2）设，，由余弦定理求得的关系，利用基本不等式得的最大值，从而得面积的最大值；
（3）比较（1）（2）两个面积可得．
【详解】解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为，
则，.
（2）设，，
则，
由均值不等式可得
可得，当且仅当时取等号．
故，
（3）显然有：则．
故为使养殖区面积最大，应选择方案一．