湖南省部分学校2025届高三上学期8月入学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省部分学校2025届高三上学期8月入学考试数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了已知，则，记的内角的对边分别为，若，则，记为随机事件，已知，则等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（ ）
A.2 B.4 C.8 D.12
4.已知，则（ ）
A.1 B. C.2 D.
5.记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.1
6.记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.记为随机事件，已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，是与坐标轴的交点.若是直角三角形，且，则（ ）
A. B. C. D.1
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷､李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，则（ ）
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的分位数为19
C.该组数据的平均数为17
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.已知首项为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A.可能为等差数列
B.
C.若，则
D.若，则
11.已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记的边上的高为，则（ ）
A.
B.函数在定义域内单调递减
C.点可能在以为直径的圆上
D.的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________.
①不是常函数
②的最小正周期为2
③不存在对称中心
14.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线交的右支于点（点在点上方），.过点作直线，在第二象限交于点，若直线与直线的交点在直线上，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知椭圆过点和.
（1）求的离心率；
（2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.
16.（15分）中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性､战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
（1）计算与的相关系数（保留三位小数）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量.
参考公式.
参考数值：.
17.（15分）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，.
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求.
18.（17分）已知函数.
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，讨论和的大小关系.
19.（17分）对于一个非零整数和质数，我们称中含的幂次为定义为最大的非负整数，使得存在非零整数，有，例如等.定义一个非零有理数的，如，且规定.现在对于任意一个有理数，我们定义其“示数”为，其中，规定.记两个有理数的“示数距离”为.
（1）直接写出的值；
（2）证明对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数使
（3）给定质数，若一个无穷集合中任意一数列，对于任意，则我们称集合是“-紧致的”，是否存在质数，使得整数集是“-紧致的”？若存在，求出所有；若不存在，请说明理由.
湖南·2025届高三入学考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.【答案】A
【解析】由解得，故答案选A.
2.【答案】D
【解析】.解得.故答案选D.
3.【答案】C
【解析】因为该圆台的侧面积为，母线长，所以，解得，故选C.
4.【答案】A
【解析】由有.
.故答案选A.
5.【答案】D
【解析】由正弦定理得，即或.若，结合有，故舍去，，故答案选D.
6.【答案】B
【解析】过点作的垂线，垂足为，则，故答案选B.
7.【答案】D
【解析】记，由全概率公式有，代入数据有，解得.故答案选D.
8.【答案】C
【解析】由正弦函数性质有，由是直角三角形可得，结合有，解得，
，故答案选C.
9.【答案】ACD
【解析】对于A项，极差等于，故A正确；对于B项，，故分位数为20，故B错误；对于C项，平均数等于，故C正确，对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确，故答案选ACD.
10.【答案】ACD
【解析】由题意可得或.注意到若存在使得，则，则对于C项，只能满足，累乘得，当时也符合，此时，故数列此时为等差数列，故A正确；，故C正确；若，则，故，故B错误；此时，奇偶分类讨论有，此时，故D正确，故选ACD.
11.【答案】ABD
【解析】对于A选项，由是偶函数有，则，得，故A正确；对于B选项，，由复合函数单调性判断有为减函数.故B正确；对于C选项，由B知，即.由对称性，可设，则.若点在以为直径的圆上，则有，代入即，即.若，则，不满足题意；若.而，
，故不可能在以为直径的圆上.故C错误；对于D选项，过点作轴的垂线交于点，则（当且仅当时取等），而
，记，则
，当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，故的最大值为，故D正确.故答案选ABD.
12.【答案】
【解析】因为，所以，所以，
故答案为：
13.【答案】（满足题意即可）
14.【答案】
【解析】记直线与直线的交点为，则，由对称性有过坐标原点且.由有.又，即.在中，.在中，，解得，故答案为.
15.解：（1）由题意得，从而可得
故的离心率.
（2）联立，得，
由，得，
直线的一般式方程为：.
16.解：（1），
，
，
.
（2）由（1）知，所以关于的线
性回归方程是，
当时，（万辆），
该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54万辆.
17.解：（1）侧面是边长为2的正方形，.
侧面是平行四边形，.
在中，由余弦定理有.解得
是直角三角形，，
平面平面，
又平面.
（2）取的中点，记为，连接.
，
平面平面为二面角的平面角.又平面平面，
记二面角为，则
平面.
18.解：（1）时，时，在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，没有极大值.
（2）.
若，则时，单调递减，时，，单调递增；
若，此时，当且仅当时取等号，单调递增；
若，则时，单调递减；和时，单调递增.
综上所述，若时，单调递减，时，单调递增；若单调递增；若时，单调递减；和时，单调递增.
（3）由（2）知，只能是.由有且时，在上单调递减可知时，在上单调递增可知.综上所述，时，时，.
19.解：（1）计算知.
（2）我们取，则为非整数的正有理数，.故成立.
（3）取，则.故.，其中，故
，而.所以不存在质数，使得整数集是“-紧致的”.年份
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80