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浙江省杭甬名校2023-2024学年高一下学期7月分班考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份浙江省杭甬名校2023-2024学年高一下学期7月分班考试数学试题（Word版附解析），文件包含浙江省杭甬名校2023-2024学年高一7月分班考试数学试卷Word版含解析docx、浙江省杭甬名校2023-2024学年高一7月分班考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
（2）请把解答写在答题卷的对应题次上，做在试题卷上无效.
一、选择题（5×8=40分）
1. 如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据已知可得，根据相似比从而不难得到答案．
【详解】连接，
，
平行于.
.
.
，，
，
，
.
故选：D
2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质分别用圆的半径表示出两图形面积，即可得出答案.
【详解】如图所示，连接，，过点作于点，
设的半径为，
是的内接正三角形，
，
，，
的高的长度为，
且，
，
设正方形的边长为，
则，
，
解得：，
，
.
故选：D.
3. 抛物线与直线x=1，x=2，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．
【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小，
把点代入得，把点代入得，
则的范围介于两者之间，故 ．
故选：D.
4. 若，，且满足，，则的值为（ ）.
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值.
【详解】由，，得，即，解得，
把代入，得，即，两边平方得，由得，
则.
故选：C
5. 设，则的整数部分等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，由此可以得到，然后即可求出的整数部分.
【详解】当，
因，
所以，
即，
故的整数部分等于
故选：A.
6. 如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】图中1,2,3,4图形的面积和为正方形的面积,1,2和两个3的面积和是两个扇形的面积,因此两个扇形的面积的和减去正方形的面积等于无阴影两部分的面积之差.求解即可.
【详解】如图所示，
，
，
两式相减，得到
故选：A.
7. 在等边所在平面内有一点，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ）
A. 1个B. 7个C. 10个D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】过点作的中垂线，可知在三角形内有一点满足、、都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆和圆，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足、、都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点.
【详解】作三边的中垂线，交点肯定是其中之一，以为圆心，为半径画圆，交的中垂线于、两点，作、、，如图，
则、、都是等腰三角形，同理具有题目所说的性质的点，
以为圆心，为半径画圆，交的中垂线于点，该点也必具有题目所说的性质.
依此类推，在的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：个.
故选：C
8. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平均增长率问题，可直接用公式解题即可．
【详解】假设第一季度产值为，则第二季度产值为，第二季度产值为.
第三季度的产值比第一季度增长了.
故选：D．
二、填空题（5×8=40分）
9. 方程的解是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用换元法，借助立方和公式展开，求解方程组可得答案.
【详解】设，则，
因为，
所以，即，与联立可得或;
当时，，解得；
当时，，解得.
故答案为：或
10. 若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为__________.
【答案】，
【解析】
【分析】分情况讨论不等式恒成立的条件.
【详解】当时，，；
当时，若，则；
若，则，不能恒成立；
若，则，不能恒成立；
即当时，若，可使不等式恒成立，
综上所述，若使不等式恒成立，则，
11. 设，则的最大值与最小值之差为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据自变量的范围先去绝对值再求出最大值及最小值即可.
【详解】因，所以，
因为，所以当时，取最大值为4，
当时，取最小值3，
所以的最大值与最小值之差为.
故答案为：1.
12. 两个反比例函数，在第一象限内的图象点在反比例函数上，它们的横坐标分别为，纵坐标分别是1、3、5共2007个连续奇数，过分别作轴的平行线，与的图象交点依次为，则__________.
【答案】##2006.5
【解析】
【分析】由点的纵坐标结合得出其横坐标，进而由得出点纵坐标，从而得出.
【详解】由题可知，因为点在的图象上，所以，
又在的图象上，所以，
所以.
故答案为：.
13. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离．
【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则.
因为为圆锥底面圆的周长，即2π，
由弧长公式得，.
所以，
故答案为：．
14. 有一张矩形纸片，，，将纸片折叠使、两点重合，那么折痕长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先由勾股定理求出的长，设的中点为，折线与交于，然后求证∽，求出的长．
【详解】如图，
由勾股定理易得，设的中点为，折线与交于，（折线垂直平分对角线），．
由∽，得，
∴折线长,
故答案为:
15. 已知3、、4、、5这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的标准差是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准
差．
【详解】，解得或，这组数据为.
平均值；
方差；
则这五个数据的标准差为.
故答案为：.
16. 若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】若抛物线中不管取何值时都通过定点，则含的项的系数为0，由此求出的值，再求的值，得出定点坐标.
【详解】可化为，
当时，，且与的取值无关，
所以不管取何值时都通过定点.
故答案为：
三、解答题
17. 设m是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根、．
（1）若，求m值．
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）10.
【解析】
【分析】（1）根据判别式可得，再利用韦达定理代入即可得答案；
（2）将问题转化为关于的一元二次函数，再利用函数的性质求最值；
【详解】∵方程有两个不相等的实数根，
结合题意知：
（1）
.
（2）
∴当时，式子取最大值为10．
【点睛】本题考查一元二次方程中韦达定理、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
18. 如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点，抛物线上另有一点在第一象限，且使，
（1）求的长及的值；
（2）设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式.
【答案】（1），.
（2），.
【解析】
【分析】（1）首先求出抛物线与轴交点坐标，再由三角形相似计算可得；
（2）首先求出点坐标，利用待定系数法求出的解析式，再将点坐标代入抛物线方程，求出，即可得解.
【小问1详解】
由题设知，且方程有两实数根，，
即，，所以，，
，，
，则（负值已舍去），
所以；
【小问2详解】
因为是的中点，所以点的横坐标为，
又，则，解得或（舍去），，
设直线的解析式为，因其过点，，
则有，解得，所以；
又点在抛物线上，，解得，
抛物线解析式为.
19. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.
【解析】
【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台,建立三元一次方程组,则总产值．由于每周冰箱至少生产60台,即,所以.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有台,即可求得,具体的x,y,z的值．
【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有
总产值
,而,
,
即.
故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.
20. 一个家庭有3个孩子，
（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；
（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）用树状图列出所有结果，再根据古典概型计算所求；
（2）根据（1）树状图列出的所有结果，再根据计算所求；
【小问1详解】
用和分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为
【小问2详解】
由（1）可知，这个家庭至少有一个男孩的概率.
21. 如图，已知和相交于、两点，过点作的切线交点，过点作两圆的割线分别交、于、，与相交于点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当与为等圆时，且时，求与的面积的比值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用切线角与同弧所对角的性质得到，从而得到，由此得证；
（2）结合（1）中结论，利用切割线定理即可得证；
（3）利用三角形相似与勾股定理证得，从而得到的比值，再利用面积比与相似比的关系即可得解.
【小问1详解】
连接，
切于，，
又，，
，，
.
【小问2详解】
由（1）得，则，
再根据切割线定理，得，.
【小问3详解】
连接，由（1）知，易得，
而，，
不妨设，，则，，
，，
为直径，为的直径，
因为与为等圆，，
，，，
，.
家电名称
空调
彩电
冰箱
工时
产值（千元）
4
3
2
（2）请把解答写在答题卷的对应题次上，做在试题卷上无效.
一、选择题（5×8=40分）
1. 如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据已知可得，根据相似比从而不难得到答案．
【详解】连接，
，
平行于.
.
.
，，
，
，
.
故选：D
2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质分别用圆的半径表示出两图形面积，即可得出答案.
【详解】如图所示，连接，，过点作于点，
设的半径为，
是的内接正三角形，
，
，，
的高的长度为，
且，
，
设正方形的边长为，
则，
，
解得：，
，
.
故选：D.
3. 抛物线与直线x=1，x=2，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．
【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小，
把点代入得，把点代入得，
则的范围介于两者之间，故 ．
故选：D.
4. 若，，且满足，，则的值为（ ）.
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值.
【详解】由，，得，即，解得，
把代入，得，即，两边平方得，由得，
则.
故选：C
5. 设，则的整数部分等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，由此可以得到，然后即可求出的整数部分.
【详解】当，
因，
所以，
即，
故的整数部分等于
故选：A.
6. 如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】图中1,2,3,4图形的面积和为正方形的面积,1,2和两个3的面积和是两个扇形的面积,因此两个扇形的面积的和减去正方形的面积等于无阴影两部分的面积之差.求解即可.
【详解】如图所示，
，
，
两式相减，得到
故选：A.
7. 在等边所在平面内有一点，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ）
A. 1个B. 7个C. 10个D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】过点作的中垂线，可知在三角形内有一点满足、、都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆和圆，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足、、都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点.
【详解】作三边的中垂线，交点肯定是其中之一，以为圆心，为半径画圆，交的中垂线于、两点，作、、，如图，
则、、都是等腰三角形，同理具有题目所说的性质的点，
以为圆心，为半径画圆，交的中垂线于点，该点也必具有题目所说的性质.
依此类推，在的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：个.
故选：C
8. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平均增长率问题，可直接用公式解题即可．
【详解】假设第一季度产值为，则第二季度产值为，第二季度产值为.
第三季度的产值比第一季度增长了.
故选：D．
二、填空题（5×8=40分）
9. 方程的解是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用换元法，借助立方和公式展开，求解方程组可得答案.
【详解】设，则，
因为，
所以，即，与联立可得或;
当时，，解得；
当时，，解得.
故答案为：或
10. 若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为__________.
【答案】，
【解析】
【分析】分情况讨论不等式恒成立的条件.
【详解】当时，，；
当时，若，则；
若，则，不能恒成立；
若，则，不能恒成立；
即当时，若，可使不等式恒成立，
综上所述，若使不等式恒成立，则，
11. 设，则的最大值与最小值之差为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据自变量的范围先去绝对值再求出最大值及最小值即可.
【详解】因，所以，
因为，所以当时，取最大值为4，
当时，取最小值3，
所以的最大值与最小值之差为.
故答案为：1.
12. 两个反比例函数，在第一象限内的图象点在反比例函数上，它们的横坐标分别为，纵坐标分别是1、3、5共2007个连续奇数，过分别作轴的平行线，与的图象交点依次为，则__________.
【答案】##2006.5
【解析】
【分析】由点的纵坐标结合得出其横坐标，进而由得出点纵坐标，从而得出.
【详解】由题可知，因为点在的图象上，所以，
又在的图象上，所以，
所以.
故答案为：.
13. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离．
【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则.
因为为圆锥底面圆的周长，即2π，
由弧长公式得，.
所以，
故答案为：．
14. 有一张矩形纸片，，，将纸片折叠使、两点重合，那么折痕长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先由勾股定理求出的长，设的中点为，折线与交于，然后求证∽，求出的长．
【详解】如图，
由勾股定理易得，设的中点为，折线与交于，（折线垂直平分对角线），．
由∽，得，
∴折线长,
故答案为:
15. 已知3、、4、、5这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的标准差是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准
差．
【详解】，解得或，这组数据为.
平均值；
方差；
则这五个数据的标准差为.
故答案为：.
16. 若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】若抛物线中不管取何值时都通过定点，则含的项的系数为0，由此求出的值，再求的值，得出定点坐标.
【详解】可化为，
当时，，且与的取值无关，
所以不管取何值时都通过定点.
故答案为：
三、解答题
17. 设m是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根、．
（1）若，求m值．
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）10.
【解析】
【分析】（1）根据判别式可得，再利用韦达定理代入即可得答案；
（2）将问题转化为关于的一元二次函数，再利用函数的性质求最值；
【详解】∵方程有两个不相等的实数根，
结合题意知：
（1）
.
（2）
∴当时，式子取最大值为10．
【点睛】本题考查一元二次方程中韦达定理、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
18. 如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点，抛物线上另有一点在第一象限，且使，
（1）求的长及的值；
（2）设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式.
【答案】（1），.
（2），.
【解析】
【分析】（1）首先求出抛物线与轴交点坐标，再由三角形相似计算可得；
（2）首先求出点坐标，利用待定系数法求出的解析式，再将点坐标代入抛物线方程，求出，即可得解.
【小问1详解】
由题设知，且方程有两实数根，，
即，，所以，，
，，
，则（负值已舍去），
所以；
【小问2详解】
因为是的中点，所以点的横坐标为，
又，则，解得或（舍去），，
设直线的解析式为，因其过点，，
则有，解得，所以；
又点在抛物线上，，解得，
抛物线解析式为.
19. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.
【解析】
【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台,建立三元一次方程组,则总产值．由于每周冰箱至少生产60台,即,所以.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有台,即可求得,具体的x,y,z的值．
【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有
总产值
,而,
,
即.
故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050.
20. 一个家庭有3个孩子，
（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；
（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）用树状图列出所有结果，再根据古典概型计算所求；
（2）根据（1）树状图列出的所有结果，再根据计算所求；
【小问1详解】
用和分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为
【小问2详解】
由（1）可知，这个家庭至少有一个男孩的概率.
21. 如图，已知和相交于、两点，过点作的切线交点，过点作两圆的割线分别交、于、，与相交于点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当与为等圆时，且时，求与的面积的比值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用切线角与同弧所对角的性质得到，从而得到，由此得证；
（2）结合（1）中结论，利用切割线定理即可得证；
（3）利用三角形相似与勾股定理证得，从而得到的比值，再利用面积比与相似比的关系即可得解.
【小问1详解】
连接，
切于，，
又，，
，，
.
【小问2详解】
由（1）得，则，
再根据切割线定理，得，.
【小问3详解】
连接，由（1）知，易得，
而，，
不妨设，，则，，
，，
为直径，为的直径，
因为与为等圆，，
，，，
，.
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