广东省湛江市雷州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广东省湛江市雷州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出四个答案，其中只有一个正确）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图为某对战局部棋谱，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
3．已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
4．某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后所得到的拋物线解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为( )
A．30°B．35°C．40°D．45°
7．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为（ ）．
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．二次函数的部分图象如图，当时，x的取值范围为（ ）
A．B．或C．或D．
10．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是 .
12．如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是 ．
13．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到）
14．已知一个圆锥的母线长为4cm，侧面展开图面积为，那么圆锥底面圆的直径为 cm．
15．如图，、分别与相切，切点分别为A、B，，，若为的直径，则图中阴影部分的面积为 ．

16．如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的是 .（填序号）

三、解答题（一）（本大题4.小题，每小题6分，共24分）
17．解一元二次方程：.
18．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
19．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，求的长．
20．如图，为的直径，点C在上，与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接并延长，交的延长线于点E．求证：．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．雷剧2010年列入国家非物质文化遗产保护目录，是雷州土生土长的文化艺术瑰宝，是粤西传统文化的一朵奇葩，是雷州半岛人民文化生活的重要组成部分，是人们互相交流情感的一种方式。小丫头、麦子两位雷剧爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从A. 《陈瑸放犯》、B. 《雷州义盗》、C. 《武大娘辞轿》、D. 《智驯雷州虎》、E. 《龙珠奇缘》五部曲目中，分别随机选择一部，主办方做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别是这5个曲目的剧照，将卡片背面朝上洗匀后，让小丫头先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，麦子再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行表演.
(1)小丫头所抽取的卡片正面是C. 《武大娘辞轿》的概率为______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小丫头、麦子二人中，有一个人抽中A. 《陈瑸放犯》这个曲目的概率.
22．如图（1），一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图（2）是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离），当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高2.6米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m.
图（1） 图（2）
(1)求抛物线的解析式；
(2)请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由.
23．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品比每套B型纪念品的多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共200元．
(1)求A、B两种类型纪念品的进价；
(2)该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数，物价局规定该纪念品售价不能超过120元，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接．
(1)若，，求的长；
(2)求证：为的切线．
25．如图，已知直线与抛物线交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
3．A
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
4．B
【分析】根据降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，列方程即可．
【详解】解：∵降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，
∴可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
5．A
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．
【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移之后二次函数的解析式为，
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
6．B
【分析】由旋转性质等到△ABD为等腰三角形,利用内角和180°即可解题.
【详解】解：由旋转可知,∠BAD=110°,AB=AD
∴∠B=∠ADB,
∠B=（180°-110°）2=35°,
故选B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和,属于简单题,熟悉旋转的性质是解题关键.
7．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∵是的弦，交于点，
∴．
∴．
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明.
9．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得一个交点为，另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解
【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和，抛物线开口向上，
当时，图象在轴的上方，
∴或，
故选：C．
10．D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，，
则：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
11．（5，-3）
【详解】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，
点P（-5， 3）关于原点对称点P′的坐标是（5，-3），
故答案为（5，-3）.
12．10
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，则n=360÷36=10，故这个正多边形的边数为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
13．
【分析】根据图中的数据即可解答．
【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近，
“凸面向上”的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，解题的关键是明确概率的定义．
14．4
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，据此即可求解．
【详解】解：底面周长为：，
直径为：
故答案为：4．
15．
【分析】可求，，从而可求，，可得，由即可求解．
【详解】解：、分别与相切，
，，
是等边三角形，，
，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边的三角形的判定及性质，扇形面积公式，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征等，掌握相关的性质及公式是解题的关键．
16．③④##④③
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解答本题的关键．根据题意得抛物线开口向上，对称轴位置，抛物线与轴交点，得到，再根据，得到点的坐标为，进而判断②③，根据时，取最小值，得到，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，
故①不正确；

设抛物线对称轴与轴交点为，则，
，
，即点的坐标为，
时，，
，
故②不正确；
，
，
，
，
故③正确；
时，取最小值，
，
即，
故④正确，
综上，③④正确，
故答案为：③④．
17．，.
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法，得，即可作答．
【详解】解：，
，
或，
解得，.
18．（1）；（2）的值为，方程的另一个根为．
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程即可得出方程的另一个根．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，解得：m≥1．
（2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△＝b2﹣4ac≥0”是解题的关键．
19．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，由旋转的性质得到，，则可证明，由勾股定理可得．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
∴．
20．见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，连接，由切线的性质得到，进而证明得到，再由等边对等角推出，由此可证明．
【详解】证明：如图所示，连接，
∵为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小丫头、麦子二人中，有一个人抽中A．《陈瑸放犯》这个曲目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）∵有A，B，C，D，E五部曲目，
∴小丫头所抽取的卡片正面是C. 《武大娘辞轿》的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中小丫头、麦子二人中，有一个人抽中A. 《陈瑸放犯》这个曲目的结果有：AB，AC，AD，AE，BA，CA，DA，EA，共8种，
∴小丫头、麦子二人中，有一个人抽中A. 《陈瑸放犯》这个曲目的概率为.
22．(1)
(2)水流不能浇灌到小树后面的草地，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用：
（1）由顶点设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；
（2）根据解析式求得当时，的值即可作出判断．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
水流不能浇灌到小树后面的草地．
23．(1)A种类型纪念品的进价为80元，B种类型纪念品的进价为60元；
(2)当n为120元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是1200元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用：
（1）设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元，根据每套A型纪念品比每套B型纪念品的多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共200元列出方程组求解即可；
（2）设A型纪念品的销售总利润为w元，根据利润（售价进价）销售量，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元．
由题意得，
解得，
答：A种类型纪念品的进价为80元，B种类型纪念品的进价为60元；
（2）解：设A型纪念品的销售总利润为w元，
根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随n的增大而增大，
∵n的取值范围是，
∴当时，w取最大值，最大值为，
答：当n为120元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是1200元．
24．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，根据弧长公式即可求解；
（2）连接、，根据矩形性质和圆半径相等，推出，进而得到，然后根据，可以推出，最后通过证明即可求解．
【详解】（1）如图：连接，
，且
半径
的长
．
（2）如图：连接、，交于点P，
四边形是矩形
，，
在中，
在和中
又为的半径
为的切线．
【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质、弧长公式等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A、C坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可；
（2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可；
（3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：．
【详解】（1）解：在中，当时，，解得，则，
把，代入中得：
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）记于y轴的交点为，
当时，，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作轴交于，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
当时，有最大值，
∴的最大值为：；
（3）如图，当在的右边，
记直线交y轴于R，，则，
设直线的解析式为，
把、分别代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
设，而四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当在的左边，
同理可得：，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．