内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.下列命题中正确的是（ ）
A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量
C.若为实数，则向量与方向相同D.单位向量的模都相等
3.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A.众数<中位数<平均数B.众数<平均数<中位数
C.中位数<平均数<众数D.中位数<众数<平均数
4.设l是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5.柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只.设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ）
A.B.C.D.
6.若，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.在中，点D在边上，.记，，则（ ）
A.B.C.D.
8.在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A.若，则B.对任意复数，，有
C.对任意复数，，有
D.在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
10.对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ）
A.若A与B互斥，则B.若A与B互斥，则
C.若，则D.若A与B相互独立，则
11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，若复数z对应的点的坐标为，则______.
13.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为______°C.
14.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是______.
四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求C；（2）若，的面积为，求b和c.
16.如图，在三棱锥中，，底面
（1）证明：平面平面
（2）若，M是中点，求与平面所成角的正切值
17.出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的着崭新名片.某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组，，，…，，整理得到频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差.
18.如图（1），在梯形中，，，A是中点，现将沿折起得图（2），点M是的中点，点N是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点E，使得平面平面？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
19.5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率；
（2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率.
参考答案：
1.A
【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数在复平面对应的点为位于第一象限.
故选：A.
2.D
【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断.
【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；
对于选项B：例如，是非零向量，可知，是共线向量但不是相等向量，故B错误；
对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误；
对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确；
故选：D.
3.A
【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.
【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，
所以众数<中位数<平均数.
故选：A
4.B
【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；
【详解】A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则l，相交或或，故D错误；
故选：B.
5.B
【分析】设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，利用列举法可得从中任取两只的情况和取出的鞋都是一只脚的情况，再根据古典概型概率公式计算可得答案.
【详解】设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，从中任取两只有，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中取出的鞋都是一只脚的有，，，，，，共6种，所以取出的鞋都是一只脚的概率是.
故选：B.
6.С
【分析】首先利用两角和的正切公式求，再利用三角函数恒等变化，转化为关于，的齐次分式，转化为正切表示，即可求解.
【详解】，，
.
故选：C
7.B
【分析】根据图形结合向量的线性运算分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
8.D
【分析】N，M分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点O是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积.
【详解】如图，N，M分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点O是该三棱柱外接球的球心，
外接球半径.其中.M点为外接圆圆心，为外接圆半径，为正三角形，（E是边中点）.
所以外接球半径.从而外接球体积为.
故选：D.
9.BC
【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故，
故，故A错误：
对B：设、，
则
，
，
故，故B正确；
对C：设、，
有，则，
，故，故C正确；
对D：设，则有，
集合M所构成区域为以为圆心，半径为2的圆，
故，故D错误.
故选：BC.
10.BD
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解.
【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误；
对于B，A与B互斥，则，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，A与B相互独立，则，D正确.
故选：BD
11.ABC
【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；
【详解】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以AC选项正确.
圆锥的侧面积为，所以B选项正确.
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以D选项不正确.
故选：ABC
12.
【分析】先求出z，然后代入化简即可.
【详解】由题意得，所以.
故答案为：
13.4
【分析】整理可得，分析可知最大温差为.若，，直接代入即可.
【详解】因为，
且的最小正周期，即正好为一个满周期，
可知的最大值为，最小值为，
可得最大温差为，
若，，则最大温差；
故答案为：4.
14.①②③④
【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.
【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示：
对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确；
对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确；
对于③，，面，面，，面，面，
所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题③正确；
对于④，，面，面，，面，面，所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题④正确.
故答案为：①②③④.
15.（1）（2），
【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到，则；
（2）根据三角形面积公式即可得b值，再利用余弦定理即可得到c值.
【详解】（1）由正弦定理：，那么，由于，
则，则，且，故.
（2）由于，则，
根据余弦定理：，
那么.
16.（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）由，得到，再根据底面，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）作，连接，由平面平面，得到平面，
则即为与平面所成的角求解.
【详解】（1）证明：因为，所以，又底面，
所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面；
（2）如图所示：
作，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
则即为与平面所成的角，
设，则，，
所以，又，
所以，
所以与平面所成角的正切值为.
17.（1）72.5（2）20人（3）29.25
【分析】（1）在频率分布直方图，根据中位数左边和右边的直方图面积应该相等，即可求解；
（2）先求分数在的频率，从而可求样本中分数在的人数，进而可知样本中分数在的人数，从而可求解；
（3）根据分层总体的方差公式即可求解.
【详解】（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，.因此中位数落在之间.
设中位数为x，则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5.
（2）由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为.
18.（1）证明见解析 （2）存在，E为中点，证明见解析
【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可
【详解】（1）取的中点Q，连接，，
因为M，Q分别为，的中点，所以，，
又因为N为的中点，所以，.所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.
（2）存在点E，当E为中点时，平面平面.
证明如下：由图（1）因为A是中点，，，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以.因为E，M分别为，中点，所以，
所以，因为平面，平面，所以平面，
同理可知平面，又因为，平面，平面，
所以平面平面.
19.（1）和.（2）.
【分析】（1）设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件，根据独立关系求出，根据求出，据此即可求解；
（2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”，根据甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响列出计算式即可求解.
【详解】（1）设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件，
则，根据独立性假定得，
所以，又，
得，所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和；
（2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”，
由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
又，
所以，所以，，且与，与互斥，与，与分别相互独立，
，
，
，
，
设“爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则，
且与互斥，与，与分别相互独立，
所以，所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为.