河北省唐山市第二中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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出题人：鄂文庆
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解方程，进而用列举法表示集合A，然后根据元素和集合，集合与集合的关系判断即可.
【详解】由,
得,
所以，故C正确；
对于A,故A错误；
对于B,,故B错误；
对于D,故D错误.
故选：C.
2. 下列命题中的假命题是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：对于A．，当x=1成立．
对于B．，当x= 成立，
对于C．，当x<0不成立故为假命题
对于 D． ，成立，故选C.
考点：全称命题和特称命题
点评：主要考查了判定命题真假的的运用，属于基础题．
3. “”是“函数在区间上存在零点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可.
【详解】因为在区间上存在两个零点，
所以,
解得或,
因为集合是集合或的真子集，
所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 设a、b是正实数，以下不等式①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为 （ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】①由基本不等式可证得≥，得到①不恒成立；②由，且，则，得到②恒成立；③用作差法判断大小；④用基本不等式求最值,得到答案.
【详解】∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥,得≥.
当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；
②由，且，则a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立；
③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；
④ab＋≥2恒成立.
故选：D.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，作差法判断大小，属于中档题.
5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一次函数的图象可知,由此可知的大致图象，在通过平移得到的图象.
【详解】由一次函数的图象可知,
所以是在上单调递减的指数函数，且经过定点,
因为是由向左平移个单位，
故D选项满足题意.
故选：D.
6. 已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目转化为在上恒成立，然后用分离参数的方法求解即可.
【详解】因为函数在内是增函数，
所以在恒成立，
所以在上恒成立，
只需即可.
因为,
当,即x=1时，，
所以，即的取值范围为.
故选：B.
7. 已知函数满足：①是偶函数；②在区间上是减函数．若，且，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】是偶函数，可得函数y=fx的图象关于对称，即f2+x=f-x，结合，，且，有，由单调性得，即.
【详解】由是偶函数，把的图象向右平移1个单位可得函数y=fx的图象，
所以函数y=fx的图象关于对称，即f2+x=f-x，
因为，，且，所以，
因为函数在上是减函数，所以，即.
故选：B．
8. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数进行求导，得到一个二次函数，然后讨论二次函数的开口，及结合为函数的极大值点，可以得到导函数两个根的大小关系，进而判断即可.
【详解】，
令得或，
当时，若为函数的极大值点，则，所以，此时，故A、D错误；
当时，若为函数的极大值点，则，所以，此时，故B、D错误；
综上所述：，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算错误是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本初等函数的求导公式判断即可.
【详解】对于A，，A错误，故A满足题意；
对于B，，B错误，故B满足题意；
对于C，，C正确，故C不满足题意；
对于D，，D错误，故D满足题意.
故选：ABD.
10. 已知，，且，则（）
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于,因为,且,
所以，即,
当且仅当时等号成立，故错误；
对于,根据选项中可知,
当且仅当时等号成立，故正确;
对于C，,
当且仅当时等号成立,故C错误;
对于D，，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，下列叙述正确的有（ ）
A. 若，则只有一个零点
B. 若，则有两个零点
C. 若，则方程有两个实根
D. 若，则方程有两个实根
【答案】AC
【解析】
【分析】由分段函数的性质，根据二次函数、对数函数的图象，结合各选项的参数m及数形结合的思想，判断零点情况，以及关于的方程根的情况即可.
【详解】对A，有f(x)=(x-1)2-4, x≤mln(x-1), x>1，在上，无零点；
在上，当时，故只有一个零点，故A正确；
对B，当时有f(x)=(x-1)2-4, x≤2ln(x-1), x>2，在上，；
在上无零点；故时可能只有一个零点，故B错误；
对C，时，可得或，而的图象如下图示，
由图象知或各有1个根，故方程有两个实根，故C正确；
对D，时，可得，
又，且的图象如下图示，
故此方程有三个实根，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若集合，，则=________.
【答案】
【解析】
【详解】，，A∩B=.
13. 函数（且）的图像必过定点，点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先写出函数的图像的变换过程，再求函数经过的定点，再写出函数经过的定点的坐标.
【详解】的图象可以看作把的图象向右平移一个单位再向上平移个单位，又因为一定过点，则应过点，
故答案：．
14. 已知函数，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性，求最值点计算最值.
【详解】，则，
当时，f'x>0，单调递增；
当时，，单调递减，
则时，有最大值，
最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的概念和性质即可求的解析式；
（2）化简函数，根据在区间上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可求实数a的取值范围.
【详解】（1）由f(x)幂函数知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意；
当m=2时，f(x)=，为奇函数，不合题意，舍去.
故f(x)=；
（2）由（1）得，
函数的对称轴为x=a-1，
由题意知函数在(2,3)上为单调函数，
∴a-1≤2或a-1≥3，分别解得a≤3或a≥4.
即实数a的取值范围为：a≤3或a≥4.
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质，属中档题.
16. （1）若求的值；
（2）求值：
【答案】（1）5；（2）101
【解析】
【分析】（1），两边同时平方，可求的值；
（2）利用对数式和指数式的运算规则化简求值.
【详解】（1），
则．
（2）.
17 已知曲线上一点.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为9，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再结合给定面积列式求解即得.
【小问1详解】
当时，，求导得，则，而，
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
函数，求导得，则，而，
因此曲线y=fx在点处的切线方程为：，
因为切线能与两坐标轴围成三角形，所以，
令，得，令，得，
依题意，，解得或，
所以实数的值为或.
18. 已知函数
（1）若函数只有一个零点，求的值；
（2）证明：曲线是轴对称图形；
（3）若函数的值域为，求的取值范围．
【答案】（1）2 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由有一个解，即方程有一个根，根据判别式为0求解即可；
（2）因为关于直线对称，不妨猜测y=fx也关于直线对称，因此只需验证是否成立即可；
（3）若函数的值域为R，只需能取遍所有正数即可，因此方程的判别式即可.
【小问1详解】
依题意，
所以方程有一个解，
即方程只有一个根，
所以，
解得.
【小问2详解】
因为，
所以y=fx关于直线对称，
因此曲线y=fx是轴对称图形.
【小问3详解】
若函数的值域为R，
只需能取遍所有正数即可，
因此方程的判别式，
解得.
19. 已知函数．
（1）当时,讨论的单调性;
（2）当时,,求a的取值范围.
【答案】（1）减区间,增区间,
（2）.
【解析】
【分析】(1)将代入,求函数的导函数,求出单调性;
(2)构造新的函数,通过判断临界点处的导数正负,判断时函数的增减趋势,以此证明和时所构造函数的单调性和值域,进而得出a的取值范围.
【小问1详解】
解:由题知,当时,,则,
当时,,
当时,,
故的减区间为,增区间为.
【小问2详解】
设,则,又,
设,则,
若,则,
因为为连续不间断函数,
故存在,使得,总有,
故在为增函数,故,
故在为增函数,
故,与题设矛盾.
若,则,
下证：对任意,总有成立,
证明：设,故,
故在上为减函数,
故即成立.
由上述不等式有,
故总成立,即在上为减函数,
所以.
当时,有,
所以在上为减函数,所以.
综上,.
【点睛】本题是导函数应用题,第一问比较常规,代入求导即可;第二问主要是对的分类,先考虑临界点的情况,也是根据临界点进行分类,一种情况找出矛盾点,对另一种情况进行证明成立,中间需要多次求导,多次构造函数,注意导函数正负决定所对应函数的单调性,然后判断原函数的取值范围,进而判断原函数的正负,再一层一层往上进行判断,有必要时需要用到隐零点,注意隐零点所在区间.