河北省唐山市2024届高三下学期第一次模拟演练数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，复数，则=（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知，：“”，：“”，则是的（ ）
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 4C. D. 20
4. 已知函数，则的最小值为（ ）
A. 0B. 2C. D. 3
5. 从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为（ ）
A B. C. D.
6. 已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（ ）
A 3B. 4C. 6D. 8
7. 已知球与圆台底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ）
A. 2：3B. 3：4C. 7：8D. 6：13
8. 已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A. 在单调递增B. 是的一个对称中心
C. 在的值域为D. 是的一条对称轴
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（ ）
A. 极差为8B. 方差为6C. 平均数为5D. 80百分位数为7
10. 已知函数，则（ ）
A. 直线是曲线的切线
B. 有两个极值点
C. 有三个零点
D. 存在等差数列，满足
11. 在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）
A. 水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形
B. 当时，水面的面积为
C. 当时，水面与地面的距离为
D. 当侧面与地面重合时，水面的面积为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
13. 在中，，D是AB边上一点，，则______．
14. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前n项和为，求满足的最大整数n．
16. 某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X．
（1）求此人得分的期望；
（2）指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．
17. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，底面ABC为等边三角形．
（1）证明：；
（2）若，，
①证明：平面平面ABC；
②求平面ABC与平面的夹角的余弦值．
18 已知双曲线：，，，直线与有唯一公共点．
（1）求的方程：
（2）若双曲线的离心率不大于，过的直线与交于不同的两点，．求直线与直线的斜率之和．
19. 已知函数，，
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）当时，求的值域．