浙江省台州市路桥区第三中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 第19届亚运会在杭州顺利举行，下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解： B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2. 下列各组数中，能作为三角形三边长的是（ ）
A. 1，1，2B. 5，5，9C. 10，4，5D. 5，9，4
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析．
【详解】解：A、，1，1，2不能组成三角形；
B、，5，5，9能组成三角形；
C、，10，4，5不能组成三角形；
D、，5，9，4不能组成三角形．
故选：B．
3. 肺炎支原体直径约为米，却有着不可小觑的威力．其中数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为：，其中，为第一位非零数字前所有的个数（含小数点前的）．
根据科学记数法的一般形式解答即可．
【详解】解：，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意．
故选：C．
5. 如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【详解】A. 添加，根据能判定，故本选项不符合题意；
B. 添加时，根据不能判定，故本选项不符合题意；
C. 添加，根据不能判定，故本选项不符合题意；
D. 添加，根据不能判定，故本选项符合题意；
故选：D.
6. 若分式的值为零，则x等于（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分式有意义时，分母不为零；分式的值为零时，分子等于零，据此可得，求解即可．
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值为零时的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解答本题的关键．
先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，求出答案即可．
【详解】解：，
，
．
故选：A．
8. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A. 6米;B. 9米;C. 12米;D. 15米.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，结合完全平方公式得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∵该图案的面积为，小正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，
即，，故A选项和B选项不符合题意；
根据题意可得：个全等的小长方形的面积加上1个小正方形的面积等于大正方形的面积，
即，故D选项不符合题意；
则，
由该图案的面积为，可得出，
即，
故，故C选项符合题意．
故选：C．
10. 在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（ ）
①若，则和一定全等；
②若，则和一定全等；
③若，则和一定全等．
A. ②对①③错B. ②③对①错C. 全对D. 全错
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明②说法正确，根据全等三角形的判定定理不能根据①③的条件证明和全等．
【详解】解：①若，即，，，
不能证明与是全等三角形，故①错误；
②若，即，，，
根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可得与是全等三角形，故②正确；
③若，即，，，
不能证明与是全等三角形，故③错误；
综上，②正确①③错误．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂：（），即可求解．
【详解】解：．
故答案：．
12. 若正多边形的每一个外角为，则这个正多边形是_____边形．
【答案】五
【解析】
【分析】由一个多边形的外角为和每一个外角都是，可求得其边数．
此题考查了多边形的外角和定理．熟练掌握“多边形的外角和等于”是解答此题的关键．
【详解】解：正多边形的外角和等于，
∴这个正多边形的边数，
故这个正多边形是五边形．
故答案为：五．
13. 如图，在等腰中，，腰长为，则点关于轴的对称点的坐标为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，关于轴对称的点的特征．先根据等腰三角形的定义得出，推出点的坐标，再结合关于轴对称的点的特征，即可求解.
【详解】解：在等腰中，，腰长为，
∴，
∴点的坐标为，
∴则点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
14. 已知am＝3，an＝5，则am+n的值为_____．
【答案】15．
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算将am+n变形为am·an，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵am·an＝am+n，
∴am+n＝am·an＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解答的关键．
15. 已知，，则的值为 _____（用含m，n的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式混合运算．先化简原式，再根据，，求出，最后整体代入进行化简即可．
【详解】解：
，
∵，，
故，
，
∴，，，
将，，，代入原式，得：
原式．
故答案为：．
16. 如图，，D为垂直平分线上一点，且，，则_____．

【答案】##36度
【解析】
【分析】连接，过点D作交于点，与交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，等量代换得出，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出，根据等角对等边得出，推得，根据等边对等角得出，结合对顶角相等得出，即，据此设，则，根据三角形内角和定理列出方程，求得，即．
【详解】解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图：

∵D为的垂直平分线上一点，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
设，则，
故，
解得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
三.解答题（本题有8小题，17-19每题6分，20-21题8分，22-23题10分，24题12分，共66分）
17. （1）因式分解：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，多项式除以单项式运算．
（1）根据提公因式法进行因式分解即可求解；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18. 先化简代数式，再从0，1，2这几个数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算化简原式，再根据分式有意义的条件得出不能为0和1，取，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
要使分式有意义，必须且，
故不能为和，
当时，原式．
19. 如图，点D在上，点E在上，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线的对称图形；
（2）在上找一点P，使得的距离最短，在图中作出P点的位置；（保留作图痕迹）
（3）若点B坐标为，点坐标为，则上一点的对应点坐标表示为 ．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了画对称轴图形，最短路线问题，轴对称的性质．
（1）先找出点、、关于直线的对称点、、，再顺次连接、、即可；
（2）根据对称的性质可得，故，当点，点，点三点共线时，的值最小为；
（3）先根据对称的两点的坐标得出对称轴，再结合关于对称轴对称的两个点到对称轴的距离相等，求出点的横坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：即为所求．
【小问2详解】
解：连接，与的交点即为所求点，如图：
【小问3详解】
解：∵点B坐标为，点坐标为，
∴点、关于直线对称，
故上一点的对应点的纵坐标为，横坐标为，
故点的坐标为．
故答案为：．
21. 某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多件．
请求出乙商品的进价为多少元．
【答案】元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙商品的进价为元，根据“甲的进价乙的进价”，“甲的数量乙的数量”，列出方程，求解即可．
【详解】解：设乙商品进价为元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故乙商品的进价为元．
22. 如图，在中，．
（1）已知线段的垂直平分线与边交于点P，连接，若的周长为，长为，求的周长．
（2）以点B为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点Q，连接，若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内内角和定理．
（1）根据垂直平分线上的的点到线段两端点的距离相等得出，，求出，根据的周长求出，即可求解；
（2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据三角形内角和定理列出方程式，解方程即可求出．
【小问1详解】
解：∵线段的垂直平分线与边交于点P，
∴，，
∴，
∵的周长为，
即，
故的周长为．
【小问2详解】
解：根据题意可知，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
即，
∴．
23. 【问题提出】如何分解因式：？
【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究：
甲同学：
乙同学：
【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由．
【拓展提升】
(3)如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为 (，均为正整数)，且满足，请求出和的值．
【答案】（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义．
（1）根据分组分解法分解因式即可；
（2）利用分组分解法，解方程得出，即可得出为等腰三角形；
（3）根据题意列出方程，结合实际意义，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
∵，，均为正数，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：∵长为，长为，
∴长方形试验田的面积为，
当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为，
即，，
根据题意可得：，
整理得出：，
∵，
故，
可得出或，
分别求解，得出或（舍去），
故，．
24. 如图1，在和中，，，，连接，两线相交于点F，与相交于点H，连接，过点A作于点G．
（1）探究与的数量关系和位置关系．
（2）①的度数为 ；
②探究线段，，的数量关系．
（3）如图2，当平分时，设，，直接写出的面积．（用含，的式子表示）
【答案】（1），
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）与交于点，与交于点，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，，结合三角形内角和定理得出，即可得出；
（2）①过点作交于点，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等得出，根据正方形的判定和性质得出；
②根据正方形的性质得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等得出，根据，即可得到；
（3）设，则，根据相似三角形的判定和性质得出，即，，结合角平分线的定义得出，根据相似三角形的判定和性质得出，则，代入三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：，，
理由如下：与交于点，与交于点，如图：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，
即．
【小问2详解】
解：①过点作交于点，如图：
∵，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴平分，，
∴．
②，
理由如下：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
【小问3详解】
解：设，
∵，
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得：，
即，
则，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额
甲

乙