高考数学科学创新复习方案提升版第2讲充分条件与必要条件学案（Word版附解析）

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充分条件、必要条件与充要条件
1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．
总结：小推大，大不可推小．
1．(2024·福清三中月考)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不一定能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件．故选B.
2．(人教A必修第一册习题1.4 T6改编)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.
3．(人教A必修第一册习题1.4 T3(3)改编)若p：AB，q：A∪B＝B，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为AB，所以可以推出A∪B＝B；又因为A∪B＝B，所以A⊆B，当A＝B时，推不出AB.故选A.
4．(人教A必修第一册习题1.4 T2(2)改编)已知命题p：一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根，q：m≤eq \f(1,4)，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若方程x2－x＋m＝0有实数根，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤eq \f(1,4)，所以p是q的充要条件．故选C.
5．已知p：x>a是q：2答案 (－∞，2]
解析 由已知，得{x|2a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．
例1 (1)(2024·济南模拟)“x>y”的一个充分条件可以是( )
A．2x－y>eq \f(1,2) B．x2>y2
C.eq \f(x,y)>1 D．xt2>yt2
答案 D
解析 因为由xt2>yt2，可得x>y，所以“xt2>yt2”是“x>y”的充分条件，所以D符合题意．由2 x－y >eq \f(1,2)＝2－1，得x－y>－1，当x＝1，y＝eq \f(3,2)时成立，所以由2 x－y >eq \f(1,2)不能推出x>y；由x2>y2，可得|x|>|y|，不一定能推出x>y，例如当x＝－3，y＝2时，x2>y2成立，但x>y不成立；若eq \f(x,y)>1，当y<0时，可得x(2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋csβ＝0”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案 B
解析 当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq \f(π,2)，β＝0，但sinα＋csβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋csβ＝0；当sinα＋csβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－csβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋csβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋csβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B.
(3)(2023·南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由已知条件可知甲乙⇔丙丁，所以甲⇒丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要条件．故选A.
判断充分条件、必要条件的两种方法
(1)定义法
(2)集合法
1.(2023·无锡模拟)已知x∈R，则“x≠0”是“x＋|x|>0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x＋|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，∴“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．故选B.
2．(2023·湖南师大附中二模)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则“a1<0且0an”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵an＋1＝anq，∴“a1<0且0an”；“对于任意n∈N*都有an＋1>an”“a1<0且0an，n∈N*，但a1＝2，q＝2，∴“a1<0且0an”的充分不必要条件．故选A.
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
答案 (1)[0，3] (2)[9，＋∞)
解析 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S⊆P，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0，3]．
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，则m的取值范围为[9，＋∞)．
由充分、必要条件求参数范围的策略
已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
C．(－7，1)D．[－7，1]
答案 B
解析 由(x－m)2>3(x－m)得x3＋m，所以p：x3＋m；由x2＋3x－4<0得－4课时作业
一、单项选择题
1．(2024·广州模拟)已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，则“a＝0”是“M⊆N”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a＝0时，集合M＝{1，0}，N＝{－1，0，1}，可得M⊆N，满足充分性；若M⊆N，则a＝0或a＝－1，不满足必要性，所以“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件．故选A.
2．复数z的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))，则“z为纯虚数”是“z＋eq \(z,\s\up6(－))＝0”的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由z为纯虚数，设z＝bi，b∈R，且b≠0，可得eq \(z,\s\up6(－))＝－bi，则z＋eq \(z,\s\up6(－))＝bi－bi＝0；当z＝0时，可得eq \(z,\s\up6(－))＝0，则z＋eq \(z,\s\up6(－))＝0＋0＝0，但此时z不是纯虚数，所以“z为纯虚数”是“z＋eq \(z,\s\up6(－))＝0”的充分不必要条件．故选B.
3．已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.
4．(2023·济宁模拟)已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵函数f(x)是R上的奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是R上的奇函数，当x1＝x2＝2时，f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．
5．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 解法一：因为xy≠0，且eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.
解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝eq \f(y,－y)＋eq \f(－y,y)＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.
解法三：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq \f(－2xy,xy)＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2，所以eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq \f(（x＋y）2,xy)－2＝－2，所以eq \f(（x＋y）2,xy)＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.
6．(2023·八省联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若an>0，则Sn>Sn－1，∴{Sn}是递增数列，∴“an>0”是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn>Sn－1，∴an>0(n≥2)，但是a1的符号不确定，∴“an>0”不是“{Sn}是递增数列”的必要条件．故选A.
7．(2023·烟台一模)在△ABC中，“A>eq \f(π,6)”是“sinA>eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 在△ABC中，A∈(0，π)，由sinA>eq \f(1,2)，可得eq \f(π,6)eq \f(π,6)”是“sinA>eq \f(1,2)”的必要不充分条件．故选B.
8．(2024·深圳罗湖区期末)已知实数a>0，且a≠1，则“2a>2”是“lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))>0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由2a>2，得a>1；由lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))>0，可得lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))>lga1，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>1，,a＋\f(1,2)>1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(01或02”是“lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))>0”的充分不必要条件．故选A.
二、多项选择题
9．下列四个选项中，q是p的充要条件的是( )
A．p：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))q：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,ab＝0))
B．p：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))q：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2，,ab＝1))
C．p：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,b>0，))q：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b>0，,ab>0))
D．p：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>1，,b>1，))q：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b>2，,ab>1))
答案 ABC
解析 对于A，由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充要条件；对于B，由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充要条件；对于C，由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也成立，∴q是p的充要条件；对于D，由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝eq \f(1,2)，∴q是p的必要不充分条件．故选ABC.
10．已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )
A．l⊂α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ D．l⊂α，m⊂β，l⊥m
答案 ABC
解析 由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意；对于D，l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α，β相交或平行，D不符合题意．故选ABC.
11．(2023·长沙一模)下列选项中，与“x2>x”互为充要条件的是( )
A．x>1 B．2x2>2x
C.eq \f(1,x)<1 D．|x(x－1)|＝x(x－1)
答案 BC
解析 x2>x的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，对于A，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合题意；对于B，因为2x2>2x等价于x2>x，其解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合题意；对于C，eq \f(1,x)<1即x(x－1)>0，其解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C符合题意；对于D，|x(x－1)|＝x(x－1)即x(x－1)≥0，其解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合题意．故选BC.
三、填空题
12．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________(填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
答案 必要条件
解析 由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．
13．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．
答案 －1解析 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于eq \f(|1－0－k|,\r(2))14．(2023·衡水一中第一次调研)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若A是B的充要条件，则b＝________；
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．
答案 (1)eq \f(1,2) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 (1)由已知可得A＝B，则x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝eq \f(1,2).
(2)若A是B的充分不必要条件，则AB，则有b>0，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,b)))))，由(2，＋∞)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)，＋∞))，得eq \f(1,b)<2，b>eq \f(1,2)，所以若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
四、解答题
15．设p：{x|x2＋2x－3＜0}，q：{x|x2＋(m－1)x－m＜0，m≠－1}．
(1)若m＝4，判断p是q的充分条件还是必要条件；
(2)若p是q的________，求m的取值集合．
在①充分不必要条件；②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在第(2)问中的横线上，并解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解 设集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x2＋(m－1)x－m＜0}．
(1)当m＝4时，B＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|－4＜x＜1}，
∵AB，∴p是q的充分条件．
(2)选①，若p是q的充分不必要条件，
则AB，
∵A＝{x|－3＜x＜1}，当m＜－1时，B＝{x|1＜x＜－m}，AB不可能；
当m＞－1时，B＝{x|－m＜x＜1}，由AB，得－m<－3，
即m>3.
∴m的取值集合为{m|m＞3}．
选②，若p是q的必要不充分条件，则BA.
∵A＝{x|－3＜x＜1}，当m＜－1时，B＝{x|1＜x＜－m}，BA不可能；
当m＞－1时，B＝{x|－m＜x＜1}，由BA，得－m>－3，
即－1∴m的取值集合为{m|－1＜m＜3}．
16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.
①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况：当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；
当xy>0时，则x>0，y>0或x<0，y<0.
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立；
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．
综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
由①②可得，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.若p⇒q，则p是q的eq \x(\s\up1(01))充分条件，q是p的eq \x(\s\up1(02))必要条件
p是q的eq \x(\s\up1(03))充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的eq \x(\s\up1(04))必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的eq \x(\s\up1(05))充要条件
p⇔q
p是q的eq \x(\s\up1(06))既不充分也不必要条件
p q且q⇒ p
考向一 充分、必要条件的判断
基本思路
根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断
适用范围
多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题
解题技巧
抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”
考向二 根据充分、必要条件求参数的范围
巧用转化求参数
把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍
在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍