高考数学科学创新复习方案提升版第31讲平面向量基本定理及坐标表示学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第31讲平面向量基本定理及坐标表示学案（Word版附解析），共17页。

1．平面向量基本定理
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与eq \x(\s\up1(03))x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，eq \x(\s\up1(04))(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝eq \x(\s\up1(05))(1，0)，j＝eq \x(\s\up1(06))(0，1)，0＝eq \x(\s\up1(07))(0，0)．
3．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝eq \x(\s\up1(08))(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝eq \x(\s\up1(09))(x1－x2，y1－y2)，
λa＝eq \x(\s\up1(10))(λx1，λy1)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \x(\s\up1(11))(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \x(\s\up1(12))eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔eq \x(\s\up1(13))x1y2－x2y1＝0．
1．平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量的基底可以有无穷多个．
2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
1．(人教A必修第二册复习参考题6 T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
答案 B
解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.
2．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq \r(42＋（－3）2)＝5.故选D.
3.(人教A必修第二册习题6.3 T1改编)如图，在△ABM中，BM＝3CM，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AM,\s\up6(→))，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )
A．－eq \f(1,7) B.eq \f(1,7)
C．－eq \f(2,7) D.eq \f(2,7)
答案 D
解析 eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,7)×eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,7)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,7)eq \(AC,\s\up6(→))，故λ＋μ＝－eq \f(1,7)＋eq \f(3,7)＝eq \f(2,7).故选D.
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
答案 eq \f(8,5)
解析 因为a∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝eq \f(8,5).
5．(人教A必修第二册习题6.3 T4改编)已知▱ABCD的顶点A(0，－2)，B(3，－1)，C(5，2)，则顶点D的坐标为________．
答案 (2，1)
解析 设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(3，1)＝(5－x，2－y)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝5－x，,1＝2－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
例1 (2023·清远月考)如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将eq \(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC与OA交于点E，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．
解 (1)∵A是BC的中点，
∴2eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
即eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b.
eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq \f(2,3)b＝2a－eq \f(5,3)b.
(2)∵eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))共线，
∴存在实数k，使eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(DC,\s\up6(→))，
即(λ－2)a＋b＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(5,3)b))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－2＝2k，,1＝－\f(5,3)k，))解得λ＝eq \f(4,5).
应用平面向量基本定理表示向量的方法
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
1.(2023·长沙模拟)已知在△ABC中，点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(μ,λ)＝________．
答案 3
解析 如图，由题意得存在实数m，使得eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AD,\s\up6(→))(0