湖南省常德市石门县第一中学2025届高三上学期入学考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省常德市石门县第一中学2025届高三上学期入学考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，确定集合A中的两个元素即可求出a的范围.
【详解】集合，，因为中恰有两个元素，
因此，则，
所以实数a的取值范围为.
故选：A
2. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.
【详解】由关于的不等式有解，得，解得或.
则或，故只有D选项符合必要不充分条件.
故选：D.
3. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，
当且仅当x=y时取“=”，
4. 已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D
5. 若，设，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可.
【详解】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.
故选：D
6. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.
【详解】，
，则，即，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
综上，函数的值域为.
故选：C.
7. 已知函数在定义域上是单调函数，若对任意都有，则（ ）
A. B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】依题意采用换元法可令，解得，即函数解析式为，代入计算即可求得结果.
【详解】令，则，即，解得,
所以函数，所以.
故选：.
8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用单调性求出的最值，再根据绝对值的意义确定，利用一次函数求解的最小值即可.
【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以是三者中的较大者，如图：

表示的函数图象为图中粗线部分，且，
所以当时，的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则.
B. 若，则
C. 若且，则.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据均值不等式最值公式对选项一一判断即可．
【详解】对A，，当时等号成立，故正确；
对B，因为，所以，则，故正确；
对C，且
则，故错；
对D，因为，所以，故正确．
故选：ABD
10. 已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为函数图象的一条对称轴
C. 在单调递增
D. 若方程在上的两根为、，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A.依题意，，令，
则，∴ ，A选项正确；
B.，∴函数周期为，偶函数的对称轴是，
∴是的对称轴，B选项正确；
C.在上递减，又函数周期为，∴函数在上递减，C选项错误；
D.在上递增，且为偶函数，∴ 在上递减，
∴在上递减，所以的图象关于对称，
∴ 两个根的和为，D选项正确.
故选：ABD
11. 若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的解集列方程，求得关于的表达式以及的取值范围，由此对选项进行分析，利用赋值法、不等式的性质来确定正确答案.
【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，
又由，则由，
即，所以必有，
对于A中，且，所以，所以A正确；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C正确；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：不等式的解集的端点，与不等式对应的方程的根有关，由此可列出等量关系式.判断不等式是否成立，可以结合已知条件以及要判断的不等式的结构，利用赋值法来进行判断.
三、填空题
12. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件：
①对任意，都有；
②对任意且，都有.
则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据，变形，可构造，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此解不等式，可得答案．
【详解】由，可得：，
令，则，即函数为偶函数，
因为对任意且，都有，
不妨设，则有，即，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由，得，即，
因为函数为偶函数，所以，
则，解得或，
则不等式的解集为.
故答案为：．
14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求得在区间上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】时，，而时，
所以，
又，
所以当时，，
当时，，
作出示意图如下图所示：

要使，则需，结合上图，
由，解得，所以.
【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.
四、解答题
15 设集合，.
（1）若且，求实数的值；
（2）若是的子集，且，求实数的取值范围.
【答案】（1），，（2）.
【解析】
【分析】（1）求得集合,根据，计算即可得出结果；
（2）由，可解得，由是的子集，根据集合关系列出不等式即可得出结果.
【详解】（1），
∵，∴，
∴，
∵，，.
（2）∵，∴，
∵是的真子集，∴且，
解得.
【点睛】本题考查集合相等和包含关系，考查不等式的求解集问题，属于基础题.
16. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过解对数、指数、一元二次不等式等知识求得不等式的解集.
（2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
，
，
恒成立，
，
原不等式的解集为；
【小问2详解】
方程有两个不同的实数根，
有两个不同的实数根，
令，则在有两个不同的实数根，
令，
由已知得Δ=a+12-4a+1>0a+12>0g0=a+1>0，解得.
17. 为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第天不下雪的概率为 .
（1）求的值，并求;
（2）设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到，且得到，利用构造法得到为等比数列，从而求出通项公式；
（2）求出，及对应的概率，得到的数学期望.
【小问1详解】
由题意得，
第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，
故，
依题意，
整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即 ，所以；
【小问2详解】
，
由（1）得，
则他第天通过运动锻炼消耗的能量的期望为
.
18. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）记为导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求导，分析导函数正负，结合极值和单调性分析即得解；
（2）求导，分，，分析单调性，结合极值点，边界情况，分析即得解.
【小问1详解】
由题得，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以是的极小值点；
又当时，，当时，，当时，，
所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点，
所以．
【小问2详解】
由题可得（），
∴
①当时，，函数在上单调递增，
又∵，
∴函数有且仅有1个零点，∴符合题意；
②当时，令，，函数在上单调递增，
因为，
∴存在唯一实数，使得，即，
当时，，单调递减；时，，单调递增；
又∵时，，时，，且，
∴当函数有且仅有1个零点时，，
∴符合题意
综上可知，的取值范围是或.
点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（2）已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”.
①求实数t的取值范围；
②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可得为R上的奇函数，结合三角函数的奇偶性分析求解即可；
（2）①分析可知对任意的x∈R，均存在成立，整理可得，即可得结果；②根据向量平行分析可得，构建，可知Fx在0,1内不单调，结合复合函数单调性分析求解即可.
【小问1详解】
因为
，
若是位差值为的位差奇函数，
则为R上的奇函数，
注意到为R上的奇函数，为R上的偶函数，
可知，则，解得.
【小问2详解】
①因为，
由题意可知：对任意的x∈R，均存在成立，
因为
整理可得，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
所以实数t的取值范围为；
②由①可知：，
则，，
设，
则，
若，则，
且，即，则，
即，
构建，
则，且，，
结合Fx在R上连续不断，可知Fx在0,1内不单调，
令，则，
且在0,1内单调递增，
可知在0,1内单调递增，
当时，；当，；即，
可得在内不单调，
且的图象开口向上，对称轴，
则，解得，
所以实数m的取值范围为.