新高考数学三轮冲刺卷：空间的垂直关系（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：空间的垂直关系（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，那么“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 在长方体 六个面中，与面 垂直的有
A. 个B. 个C. 个D. 个

3. 已知 ， 是两个不同的平面，， 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，，则

4. 设有不同的直线 和不同的平面 ，给出下列三个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ．
其中正确的个数是
A. B. C. D.

5. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则

6. 下列命题中不正确的是
A. 如果 ，且 ，则
B. 如果 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
C. 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D. 如果 ，，，那么

7. 如图所示，在斜三棱柱 中，，，则 在底面 上的射影 必在
A. 直线 上B. 直线 上C. 直线 上D. 内部

8. 若 ，， 是互不相同的空间直线，， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则

9. 已知 ， 为异面直线，，，直线 满足 ，，，，则
A. 且 B. 且
C. 与 相交，且交线平行于 D. 与 相交，且交线垂直于

10. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，下些说法正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，则

11. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，下些说法正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，则

12. 对于直线 和平面 ，能得出 的一个条件是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，

13. 设 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则

14. 若 是空间两条不同的直线， 是空间的两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是
A. ，B. ，C. ，D. ，

15. 若 ， 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

16. 设 ，， 表示三条不同的直线，，， 表示三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 ，，，则 ； 若 ， 是 在 内的射影，，则 ； 若 ，，则 其中真命题的个数为
A. B. C. D.

17. 如图所示，空间四边形 的各边都相等，，，， 分别是 ，，， 的中点，下列四个结论中正确的个数为
；；；．
A. B. C. D.

18. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 为矩形，， 分别为 ， 的中点，在此几何体中，给出下面 个结论：
①直线 与直线 异面；
②直线 与直线 异面；
③ ；
④ ．
其中正确的结论个数为
A. 个B. 个C. 个D. 个

19. 已知 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，且 ，，则
D. 若 ，，且 ，则

20. 已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，那么“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

二、填空题（共5小题；）
21. 已知直线 和平面 ，，利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断 的真命题是 ．

22. 已知 ， 是两个不同的平面，， 是平面 ， 外的两条不同的直线，给出下列论断：① ；② ；③ ；④ ．以其中三个论断作为条件，剩下的一个论断作为结论，则 成立．

23. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；
④平行于同一平面的两直线平行．
其中是“可换命题”的是 （填命题的序号）．

24. 已知 垂直于正方形 所在平面，连接 、 、 、 、 ，则下列垂直关系中正确的序号是 ．
① ② ③

25. 如图，在三棱柱 中，平面 ，，若点 在棱 上，则当点 满足 时，有平面 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 如图所示几何体中， 为正三角形， 和 垂直于平面 ，且 ，， 为 的中点．求证：
（1）；
（2）．

27. 如图， 为 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上任意一点，， 为垂足．
（1）求证：．
（2）若 ，垂足为 ，求证：．

28. 如图所示，在四棱锥 中，，，， 是 的中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高．求证：
（1）．
（2）．

29. 如图，已知在长方体 中，，， 分别是 和 的中点．证明 ．

30. 如图，三棱锥 中，，，点 ， 在线段 上，且 ，，点 在线段 上，且 ．
（1）证明：；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求线段 的长．
答案
1. B【解析】由题意知 ，但 ，
故“”是“”的必要不充分条件．
2. D
3. C【解析】对于 A，如图，
，，此时 ， 异面，故 A 错误；
对于 B，若 ，，则 或 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，，则 或 ，又 ，
所以则 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，，，则 可能与 相交，也可能与 平行，也可能在 内，故 D 错误．
所以正确的选项为 C．
4. A
5. C
【解析】分别如图所示：
故A不正确；
此图显示 与 相交，故B不正确；
因为 ，，所以， 内存在与 垂直的直线，故 ，C正确；
如图显示， 与 不垂直，故D不正确．
6. A【解析】根据面面垂直的性质，知A不正确，直线 可能平行平面 ，也可能在平面 内．
7. A【解析】．
又 ，，所以 ．
8. C
9. C
10. B
【解析】若 ，，则 与 平行、相交或 ，故A不正确；
若 ，，则 ，因为 根据线面平行的性质，在 内至少存在一条直线与 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；
若 ，，，则 或 与 相交，故C不正确；
若 ，，则 与 相交或平行，故D不正确．
11. B【解析】若 ，，则 与 平行、相交或 ，故A 不正确；
若 ，，则 ，
因为 根据线面平行的性质在 内至少存在一条直线与 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；
若 ，，，则 或 与 相交，故C不正确；
若 ，，则 与 相交或平行，故D不正确．
12. C【解析】提示：C选项，由 可得 ，又因为 ，所以 ．
13. C【解析】对于A，B，D均可能出现 ，而对于C是正确的．
14. D【解析】提示：A、B、C中的 与 的位置关系都不确定．D中，由 ， 可以推得 （事实上，这符合线面垂直的推论），反之 时，不能得到 ，．
15. B
16. C【解析】由 ，， 表示三条不同的直线，，， 表示三个不同的平面知：在 中，若 ，，，则平面 ， 成 角，所以 ，故 正确；在 中，若 ， 是 在 内的射影，，则由三垂线定理得 ，故 正确；对于 ，，，则 错误，如墙角的三个面的关系，故 错误，真命题的个数为 ，故选C．
17. A【解析】因为 ，，，
所以 ，故 正确；
因为 ，，，，
所以 ，故 正确；
因为 ，，，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故 正确．只有 错误．
18. C【解析】画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线 与直线 异面，不正确，
因为 ， 是 与 的中点，可知 ，
所以 ，直线 与直线 是共面直线；
②直线 与直线 异面；满足异面直线的定义，正确．
③ ；
由 ， 是 与 的中点，可知 ，
所以 ，
因为 ，，
所以判断是正确的．
④因为 与底面 的关系不是垂直关系， 与平面 的关系不能确定，
所以 ，不正确．
19. D【解析】由 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，知：
在A中，若 ，，则 与 相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若 ，，则 与 相交或平行，故B错误；
在C中，若 ，，且 ，，则 与 相交或平行，故C错误；
在D中，若 ，，且 ，则线面垂直、面面垂直的性质定理得 ，故D正确
20. B
21. 若 ，且 ，则 ；
或若 ，且 ，则 ．
22. ①③④或 ②③④，②或①
23. ①③
【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理 可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．
24. ①②
【解析】易证 ，则 ：又 ，故 ，则 ．
25. 为棱 的中点
【解析】如图，分别取 ， 的中点 ，．
因为 ，所以 ．所以 ，．根据已知易得 ，，，，所以 ，．所以四边形 是平行四边形，故 ．因为 平面 ，所以 ，．若 ，在平面 内，过 作 ， 为垂足，则有 ，所以 为 与 的交点，故 为 中点，从而 为 中点．
26. （1） 如图，取 中点 ，连接 ．
∵ 为 中点，
且 ；
又 且 ；
且 ．
四边形 为平行四边形．
，又 ，；
．
（2） 为正三角形， 为 中点；
，
，；
；
又 ，；
．
，
．
又（1）已证 ，；
又 ， 为 的中点，
；
又 ，，
．
，
．
27. （1） 因为 为 的直径，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又 ，且 ，
所以 ．
（2） 由（）知 ，
又 ，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
28. （1） 因为 ，，
所以 ．
因为 为 中边 上的高，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ．
（2） 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，．
又因为 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ．
29. 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，，
因为 是 的中点，且 ，，
所以 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角．
又因为 ，
所以四边形 ，四边形 都是正方形，
又 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成的角为 ，
所以 ．
30. （1） 由 ， 知， 为等腰 中 边的中点，故 ．
又 ，，，，
所以 ，从而 ．
因为 ，，所以 ．
从而 与平面 内两条相交直线 ， 都垂直，
所以 ．
（2） 设 ，则在 中，
，
从而 ．
由 知，，得 ，
故 ，即 ．
由 ，，
从而四边形 的面积为 ．
由（1）知 ，所以 为四棱锥 的高．
在 中，，
所以 ，
所以 ，
解得 或 ．
由于 ，因此 或 ．
所以 或 ．