2021-2022学年北京市门头沟区大峪中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市门头沟区大峪中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．16
2．（2分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．0D．9
3．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）若分式无意义，则x的值是（ ）
A．x＝±1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝0
5．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）若a＝，则实数a在数轴上对应的点P的大致位置是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在式子：、、、、中，分式的个数是 ．
10．（2分）如果二次根式有意义，则x ．
11．（2分）分式的值为0，则x的值是 ．
12．（2分）已知|x+2|+＝0，则＝ ．
13．（2分）在实数范围内分解因式：a3﹣5a＝ ．
14．（2分）小成编写了一个程序：输入x→x2→立方根→倒数→算术平方根→，则x为 ．
15．（2分）如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是 ．
16．（2分）阅读下列材料：①﹣＝﹣的解为x＝1，②﹣＝﹣的解为x＝2，③﹣＝﹣的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ．
三、解答题（本题共68分，第17～25题每小题5分，第26～27题6分，第28题5分，第29题6分）
17．（5分）计算：+．
18．（5分）计算：+
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）计算：2÷×．
22．（5分）计算：．
23．（5分）计算：．
24．（5分）解方程：．
25．（5分）解方程：．
26．（6分）先化简，再求值：（+）•，其中x＝﹣3．
27．（6分）若关于x的分式方程无解，求m的值．
28．（5分）列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路．2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．
29．（6分）一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b和ab表示例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2，②a2﹣b2，③+中，属于对称式的是 （填序号）．
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若m＝﹣2，n＝，求对称式+的值．
②若n＝﹣4，直接写出对称式+的最小值．
2021-2022学年北京市门头沟区大峪中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．16
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．（2分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．0D．9
【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分数，所以是有理数，故本选项错误；
B、是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；
C、0是整数，是有理数，故本选项错误；
D、9是整数，是有理数，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断．
【解答】解：A、＝3，不是最简二次根式，则A选项不符合题意；
B、＝|mn|，不是最简二次根式，则B选项不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，则C选项不符合题意；
D、是最简二次根式，则D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）是解决此类问题的关键．
4．（2分）若分式无意义，则x的值是（ ）
A．x＝±1B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝0
【分析】根据分母为0是分式无意义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
5．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的除法、减法及二次根式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
B．÷＝＝＝3，此选项正确，符合题意；
C．2﹣＝，此选项错误，不符合题意；
D．＝|﹣3|＝3，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念、二次根式的除法、减法法则及二次根式的性质．
6．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．
【解答】解：A、当c≠0时，才成立，所以选项A不正确；
B、，所以选项B不正确；
C、当a＝b时，才成立，所以选项C不正确；
D、∵a是分母，
∴a≠0，
∴，
所以选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．
7．（2分）若a＝，则实数a在数轴上对应的点P的大致位置是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据，即可选出答案
【解答】解：∵，
故选：C．
【点评】本题主要考查了是实数在数轴上的表示，熟悉实数与数轴的关系式解答此题的关键．
8．（2分）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为 2 ．
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（3※2）×（8※12）
＝（﹣）×（+）
＝（﹣）×2（+）
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在式子：、、、、中，分式的个数是 3 ．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：在式子、、、、中，
分式的有：、、，共有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题的关键．分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
10．（2分）如果二次根式有意义，则x ≥﹣7 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵x+7≥0，
∴x≥﹣7，
故答案为：≥﹣7．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
11．（2分）分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
12．（2分）已知|x+2|+＝0，则＝ ﹣2 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2＝0，y﹣6＝0，
解得x＝﹣2，y＝6，
所以x﹣y＝﹣2﹣6＝﹣8
所以＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质．根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
13．（2分）在实数范围内分解因式：a3﹣5a＝ ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：a3﹣5a
＝a（a2﹣5）
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
14．（2分）小成编写了一个程序：输入x→x2→立方根→倒数→算术平方根→，则x为 ±8 ．
【分析】根据算术平方根，立方根，倒数等知识点列出算式，再逐步求出即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
则＝，
x2＝64，
x＝±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查了立方根的定义，算术平方根，倒数的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式．
15．（2分）如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是 1 ．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+2a﹣1＝0，可以得到a2+2a＝1，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：（a﹣）•
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．（2分）阅读下列材料：①﹣＝﹣的解为x＝1，②﹣＝﹣的解为x＝2，③﹣＝﹣的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ﹣＝﹣ ，这个方程的解为 x＝n ．
【分析】根据已知方程的特点归纳总结得出一般性规律，写出第n个方程，表示出方程的解即可．
【解答】解：方程为﹣＝﹣，方程的解是x＝n，
故答案为：﹣＝﹣，x＝n．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解此题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17～25题每小题5分，第26～27题6分，第28题5分，第29题6分）
17．（5分）计算：+．
【分析】先通分，化成同分母的分式，再利用分式的加法法则即可得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的加减，关键是要能找到最简共分母，然后通分，要牢记分式的加法法则．
18．（5分）计算：+
【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．
【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（5分）计算：．
【分析】先算算术平方根，立方根，零指数幂等，再根据实数混合运算计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣﹣1
＝1﹣．
【点评】本题考查实数的运算，涉及算术平方根的定义，立方根的定义，零指数幂等，掌握相关运算法则是解题基础．
20．（5分）计算：．
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2﹣3+4
＝﹣+4．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
21．（5分）计算：2÷×．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4÷×3
＝8×3
＝24．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
22．（5分）计算：．
【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣2+
＝﹣2+
＝4﹣2+
＝2+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
23．（5分）计算：．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣（5﹣2+1）
＝1﹣6+2
＝2﹣5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
24．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+5＝10，
解得：x＝5，
经检验x＝5是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
25．（5分）解方程：．
【分析】方程两边都乘以x﹣1得出1﹣2x＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得1﹣2x＝2（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣1≠0，所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
26．（6分）先化简，再求值：（+）•，其中x＝﹣3．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入化简即可．
【解答】解：原式＝•
＝﹣，
当x＝﹣3时，原式＝﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
27．（6分）若关于x的分式方程无解，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程的解求出m的值即可．
【解答】解：解分式方程得，x＝，
∵上述分式方程无解，
∴x2﹣1＝0，即x＝1或x＝﹣1，
∴＝1或＝﹣1，
解得m＝2或m＝﹣4．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
28．（5分）列方程解应用题：
京张高铁是一条连接北京市与河北省张家口市的城际铁路．2019年底，京张高铁正式开通，京张高铁是我国“八纵八横”高铁网的重要组成部分，也是2022年北京冬奥会重要的交通保障设施．已知该高铁全长约180千米，按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，全程用时比普通快车少用1个小时，求京张高铁列车的平均行驶速度．
【分析】设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，根据“普通快车行驶时间＝高铁列车行驶时间+1小时”列出方程并解答．
【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时，
由题意，得 ．
解得 x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
∴3x＝360．
答：高铁列车的平均行驶速度为360千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
29．（6分）一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b和ab表示例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2，②a2﹣b2，③+中，属于对称式的是 ①③ （填序号）．
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若m＝﹣2，n＝，求对称式+的值．
②若n＝﹣4，直接写出对称式+的最小值．
【分析】（1）根据对称式的定义判断即可；
（2）①求出a+b＝﹣2，ab＝，利用整体代入的方法求值即可；
②利用整体代入的方法，构建关于m的代数式，可得结论．
【解答】解：（1）①③是对称式．
故答案为：①③；
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+n，
∴a+b＝m，ab＝n，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
①m＝a+b＝﹣2，n＝ab＝，
∴+＝＝＝2﹣2；
答：对称式+的值为2﹣2；
②若n＝﹣4，
对称式+＝，
∵n＝ab＝﹣4，
∴a2b2＝（ab）2＝16，
∴+＝＝（a2+b2）＝（m2+8）＝m2+．
∵m2≥0，
∴+≥，
∴+的最小值为．
【点评】本题考查了分式的化简求值、数字的变化类、完全平方式、非负数的性质，解决本题的关键是理解阅读材料．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:59:31；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111